數(shù)學相關微積分

1、上節(jié)內(nèi)容回顧一、 高斯公式注意Gauss公式的條件：1、 X,Y,Z在閉域V上有一階連續(xù)偏導數(shù)；2、 曲面S為封閉曲面；3、 曲面S取外側。 簡化曲面積分的計算(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(輔助面一般取平行坐標面的平面)Gauss公式的實質：揭示了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.注意：曲面的側；X,Y,Z; 高斯公式的條件。二、高斯公式的應用思考1：所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2) 為注意Guass公式的條件，積分曲面方程！正確解法:思考2：09年考研題分析：理解高斯公式高斯公式對空間的單連通區(qū)域，復連通區(qū)域都成立。類似于格林公式解答：為此，需做封閉

2、曲面，將原點挖掉，在復連通區(qū)域上應用高斯公式取外側由高斯公式，有取決于被積表達式！三、向量場的通量與散度1. 通量的定義:引例定義：若S為方向向外的閉曲面, 當 0 時,說明流入S的流體質量少于流出的, 當 0 時,說明流入S的流體質量多于流出的, 則單位時間通過S的通量為 當 = 0 時,說明流入與流出S的流體質量相等 . 表明S內(nèi)有源; 表明S內(nèi)有洞 ;表明S內(nèi)無源。 2. 散度的定義:divergence散度的計算：積分中值定理,兩邊取極限,數(shù)量高斯公式可寫成表明該點處有正源, 表明該點處有負源, 表明該點處無源, 散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場 A 處處有 , 則稱 A 為無

3、源場. 說明: 散度是通量對體積的變化率, 且例4解是無源場。通量與散度小結： 設向量場X,Y,Z, 在域V內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù),則 向量場通過有向曲面 的通量為 V 內(nèi)任意點處的散度為 數(shù)量第七節(jié) 斯托克斯公式與旋度一、斯托克斯公式二、環(huán)量與旋度一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式 是有向曲面 的正向邊界曲線右手法則證明略。注意：1 X,Y,Z在閉域V上有一階連續(xù)偏導數(shù)；2 曲線 為封閉曲線；提供了空間曲線積分的又一種計算方法！另一種形式便于記憶形式常用Stokes公式的實質: 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.斯托克斯公式格林公式特例解按斯托克斯公式, 有

4、或轉化為第一類曲面積分：解2直接計算在AB上：由輪換對稱性，有解則即用斯托克斯(stokes)公式計算曲線積分時，注意曲面的選取，使曲面上的積分易于計算；通常選?。浩矫妫蛎娴?。二、環(huán)量與旋度L為場中的閉曲線，則稱曲線積分由斯托克斯公式及兩類曲面積分的關系，有向量rotation由此，斯托克斯公式的向量形式例3解場論中概念比較：通量，散度，環(huán)量，旋度對數(shù)量場對向量場方向導數(shù)：梯度：方向導數(shù)，梯度通量：散度：環(huán)量：旋度：例4(1)用對面積的曲面積分計算I;(2)用對坐標的曲面積分計算I;(3)用Gauss公式計算I;(4)用斯托克斯公式計算I.解（1）（2）（3）添加輔助面：（4）由斯托克斯公式，有或由格林公式作業(yè)P209 3(2)（3）P213 1(2)(4)(5) 3 內(nèi)容小結1. 斯托克斯公式注意三點，曲面的選??！為空間曲線積分的計算又提供了一種方法！常用形式！2. 場論中的三個重要概念設 梯度:散度:旋度:則 思考題 設