高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)2考點(diǎn)精講例題解析

1、高等數(shù)學(xué)（一元函數(shù)微分學(xué)2考點(diǎn)精講例題解析一、主要內(nèi)容1.導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，平面曲線的切線方程和法線方程，左、右導(dǎo)數(shù)的概念及函數(shù)可導(dǎo)的充要條件.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.3.隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.高階導(dǎo)數(shù)的概念，萊布尼茲公式.5.微分的概念，函數(shù)微分的幾何意義，微分的四則運(yùn)算法則和一階微分不變性.6.羅爾定理、拉格朗日中值定理7.洛必達(dá)法則.8.函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性.9.函數(shù)的極值與最值.10.函數(shù)圖形的描繪.二、學(xué)習(xí)要求1.深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的

2、切線方程和法線方程，了解左、右導(dǎo)數(shù)的概念及函數(shù)可導(dǎo)的充要條件.2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，會求初等函數(shù)和分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，了解萊布尼茲公式，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).5.深刻理解微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與連續(xù)、微分的關(guān)系，了解函數(shù)微分的幾何意義，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分不變性.6.會求函數(shù)的微分.7.理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，會利用微分中值證明簡單的不等式及方程解的存在性.8.熟練掌握用洛必達(dá)法則求各種類型的未定式的極限的方法.9.掌握單調(diào)性、凹

3、凸性的判別，會利用它們證明某些不等式及方程解的唯一性.10.理解函數(shù)的極值概念，掌握求極值和最值和拐點(diǎn)的方法，會求簡單實際問題的最值.2.解題指導(dǎo)1. 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)或微分例1 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或微分：(1) 設(shè)，求；(2)設(shè)在連續(xù)且，求.解題思路： 由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或微分，一般是利用公式及法則先求出導(dǎo)函數(shù)，再將代入計算導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，但有時直接利用導(dǎo)數(shù)定義反而簡便。本例第(1)題若先用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)則麻煩，第(2)題由于僅有在連續(xù)而是否可導(dǎo)未知，不滿足求導(dǎo)法則的條件，故考慮利用導(dǎo)數(shù)定義求解。解：(1) 顯然，則 .(2) 因為，而 ，所以 .例2

4、 討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性。分析：討論分段函數(shù)在銜接點(diǎn)處是否可導(dǎo)，一般是先判斷函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù)，若不連續(xù)則必不可導(dǎo)；若連續(xù)，則用導(dǎo)數(shù)定義或左右導(dǎo)數(shù)是否存在與相等進(jìn)行判斷。解：因為且 ，所以在連續(xù)。又 ，而 ， ，所以不存在，即在不可導(dǎo)。例3 設(shè)，求.分析：這是含有絕對值符號函數(shù)的求導(dǎo)問題，一般是先去掉絕對值符號將其化為分段函數(shù)，然后對各區(qū)間段的函數(shù)利用初等函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)，再對銜接點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)。解：因為當(dāng)時，有而 ， ，所以不存在，從而 例4 設(shè)問為何值時處處可導(dǎo)并求.解題思路：與已知極限存在或函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)確定函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)一樣，這類問題需用導(dǎo)數(shù)定義求解，注意到可導(dǎo)必連續(xù)，因此利

5、用在連續(xù)與可導(dǎo)條件建立常數(shù)和所滿足的代數(shù)方程組，然后解方程組使問題得以解決。解：由初等函數(shù)的可導(dǎo)性，只要在可導(dǎo)，則處處可導(dǎo)，當(dāng)時可導(dǎo)則必連續(xù)，故有 因為 ，所以.又 ， ，故，即.綜上所述，當(dāng)，時處處可導(dǎo)，且 2. 利用法則與公式求導(dǎo)數(shù)或微分例5 解下面題目：設(shè)，求；解題思路：這是一組復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)問題，關(guān)鍵是弄清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，從外層到里層逐層求導(dǎo)。當(dāng)已知函數(shù)既有復(fù)合運(yùn)算也有四則運(yùn)算時，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式?jīng)Q定先用四則運(yùn)算求導(dǎo)法則還是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有時也可利用對數(shù)求導(dǎo)法或一階微分形式不變性簡化運(yùn)算。解：(1) 由，只要求出即可。利用乘法法則與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有 ，所以 .例6 求下列函數(shù)

6、的導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)函數(shù)由方程所確定，求；（2）設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.分析： 這是一組隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的問題，一般用學(xué)習(xí)指導(dǎo)中所敘方法1求解。對題，注意由可得，求即為求曲線上點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。對題，由于函數(shù)已就解出，故視為函數(shù)，為自變量，對求導(dǎo)數(shù)得，再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則得.解： 將代入方程得，從而.對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得 ，將，代入得，所以為所求。 對方程兩邊關(guān)于變量求導(dǎo)數(shù)，得 ，由反函數(shù)求導(dǎo)法則得 .說明 題中求可由式解出后再將，代入，但計算較繁瑣，這表明選擇合適的代入時間可簡化計算。 題的結(jié)果中是的函數(shù)，不必將其化為的函數(shù)形式，這表明對隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)果中允許出現(xiàn)變量.注意對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，結(jié)果中不

7、能有中間變量而必須化為用自變量表示的形式。例7 設(shè) 求.分析：注意到函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，函數(shù)由參數(shù)方程所確定，故求，需先由隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出，再由參數(shù)方程求導(dǎo)法則求解。解：由已知條件知，當(dāng)時，.對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得 ， 解得 .而 ，所以 .將代入，得 .3. 求高階導(dǎo)數(shù)例8 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.分析：這是隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)的問題，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則可得，于是可用兩種方法求.解：對已知方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得 可用兩種方法求得.方法1 由式解得，注意到，故由商的求導(dǎo)公式得 .方法2 注意到及都是的函數(shù)，對式兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，得 ，解得 .例9 求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)： ； .解題思路：求階導(dǎo)

8、數(shù)的方法有直接法與間接法。所謂直接法，是指先求出已知函數(shù)的一階到三階或四階導(dǎo)數(shù)后，從中尋找規(guī)律寫出階導(dǎo)數(shù)的一般形式；所謂間接法，是指對已知函數(shù)通過四則運(yùn)算、變量代換等方法，利用幾個常用函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解。間接法是常用方法，應(yīng)注意掌握。解： 用直接法求解，因為， ， ，歸納可得. 用間接法求解。方法1 因為，利用 有 ，于是 .方法2 因為，所以利用有 ， 即 .說明：對題，若利用萊布尼茨公式可用間接法求，但結(jié)果的形式較復(fù)雜且不易合并。對題，若用直接法，即由求，則不易歸納出階導(dǎo)數(shù)的一般形式，且兩種方法表明，同一函數(shù)可用不同的公式求解。4. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例10 設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，求.分析：這是

9、型的極限，注意到，且時，利用導(dǎo)數(shù)定義與等價無窮小求解。解： .例11 設(shè)在有定義且，又對任意正實數(shù)，有，求.分析：已知在某區(qū)間有定義且存在，求這類題型的一般方法是，先由附加條件求出，再利用導(dǎo)數(shù)定義求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出.解：令，由得，又 ，所以.將代入得，故為所求。例12 設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，求時的切線方程。解：將代入已知方程，得，問題為求點(diǎn)處的切線方程，對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得 .將，代入上式，得，從而，故所求切線方程為，即 .例13 設(shè)求.錯解：當(dāng)時，.當(dāng)時，由上式得不存在，故考察.因為，不存在，所以不存在，從而不存在。故 分析：當(dāng)時，由于 ，所以在可導(dǎo)且.上面求解中所得的錯誤結(jié)果不

10、存在是由于錯將極限值與函數(shù)值等同起來。事實上，是在時求得的，因此不能用它在無意義去判定在不可導(dǎo)，而由不存在也不能推出不存在，因為極限值不存在并不能說明函數(shù)值不存在。正解：當(dāng)時，；當(dāng)時 ，故 例14 設(shè)求.錯解：因為時，時，所以，故. 分析：因為，所以不存在，從而是間斷點(diǎn)，即在不連續(xù)，故在不可導(dǎo)。上面錯解誤將分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與初等函數(shù)在點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)等同處理，從而產(chǎn)生錯解.正解：方法1 因為，所以不存在，故在不連續(xù)，從而在不可導(dǎo)，故不存在。方法2 因為，即不存在，從而不存在。例15 設(shè)，求.錯解：， .分析：上述求解過程中，一階導(dǎo)數(shù)的求法正確但二階導(dǎo)數(shù)的求法錯誤。這是因為是再對求導(dǎo)而不是對求導(dǎo)

11、，正確解法應(yīng)為 .正解： ， 自測題自測題2.11. 填空題（28分）：函數(shù)在可導(dǎo)的必要條件是在該點(diǎn) ；設(shè)為可微函數(shù)，則 ；設(shè)，則 ；設(shè) 當(dāng) 時在可導(dǎo)；設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；設(shè)則 ；設(shè)，則 。2. 解下列各題（42分）：已知，求；設(shè)，求；設(shè)，求；設(shè)由方程組 所確定，求；設(shè)由方程所確定，求；已知，求。3.求曲線 在處的切線方程，（8分）4.討論函數(shù) 在處的連續(xù)性與可微性。（8分）5.設(shè)對任意實數(shù)和，函數(shù)滿足等式且，證明：.（7分）6.證明：若在處不連續(xù)，則在處必不可導(dǎo)。（7分）自測題2.21. 填空（20分）：設(shè)，則 ；設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；設(shè)，則 ；設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線

12、在點(diǎn)處的切線斜率是 ；設(shè)，則使存在的最高階導(dǎo)數(shù) 。2.解下列各題（40分）：設(shè)二階可導(dǎo)，且，求 ； 設(shè)，求；設(shè)，求；設(shè)由確定，求，；設(shè)，求 ；3.求過點(diǎn)并與曲線相切的直線方程，（10分）4.設(shè)在上處處可導(dǎo)，且存在，若函數(shù) 求。（10分）5.已知在有定義，且對任意都有，當(dāng)時，試判斷在處的可導(dǎo)性。（10分）6.設(shè)，且，證明： 。（10分）中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1 微分中值定理定義4.1.1 設(shè)在的某一鄰域內(nèi)有定義，若對一切有 則稱在取得極小(大)值，稱是的極小(大)值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值，極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)定理4.1.1（費(fèi)馬定理） 若在可導(dǎo)，且在取得極值，則xxxx圖 41

13、費(fèi)馬定理的幾何意義如圖4-1所示：若曲線在取得極大值或極小值，且曲線在有切線，則此切線必平行于軸習(xí)慣上我們稱使得的為的駐點(diǎn)定理4.1.1表明：可導(dǎo)函數(shù)在取得極值的必要條件是為的駐點(diǎn)定理4.1.2 （羅爾中值定理） 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得羅爾中值定理的幾何意義：在兩端高度相同的一段連續(xù)曲線上，若除端點(diǎn)外它在每一點(diǎn)都有不垂直于軸的切線，則在其中必至少有一條切線平行于軸例1 不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明有幾個實根，并指出它們所在的位置解：由于是內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且，故在區(qū)間上分別滿足羅爾中值定理的條件，從而推出至少存在，使得又因為是三次代數(shù)方程，它最多只有個實根，因此有且僅有個實根

14、，它們分別位于區(qū)間內(nèi)設(shè)，證明多項式在內(nèi)至少有一個零點(diǎn)證:令 則，且由假設(shè)知，可見在區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件，從而推出至少存在一點(diǎn)，使得 即說明是的一個零點(diǎn)定理4.1.3（拉格朗日中值定理）若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 (1.1)從這個定理的條件與結(jié)論可見，若在上滿足拉格朗日中值定理的條件，則當(dāng)時，即得出羅爾中值定理的結(jié)論，因此說羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形 例3 證明：若在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)是一個常數(shù)證：在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，對任意，在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得到其中介于與之間由假設(shè)知，故得，即這就說明在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù)例4證明：若在上連續(xù)，

15、在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在上嚴(yán)格單增證：任取，且，對在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得到 由假設(shè)知，且，故從上式推出，即所以在上嚴(yán)格單增類似可證：若，則在上嚴(yán)格單減證明不等式對一切成立證：令，對任意，在上滿足拉格朗日中值定理的條件，從而推出至少存在一點(diǎn)，使得由于，上式即又由，可得因此當(dāng)時就有4.2 洛必達(dá)法則定理4.2.1 ( 洛必達(dá)法則I ) 若(1) ，；(2) 與在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；(3) 存在，（或為），則求下列極限：(1) (2) (3) (4) 解：由洛比達(dá)法則可得(1) (2) (3) (4) 求下列極限：(1) (為正整數(shù))；(2) (為正整數(shù))；(3) ；(4) 解：(1) 由于

16、 ，所以 (2) 由于，所以 (3) (4) 由于 ，且 ，所以對于其它類型的未定式，如等類型，我們可以通過恒等變形或簡單變換將它們轉(zhuǎn)化為或型，再應(yīng)用洛比達(dá)法則求下列極限：(1) (2) (3) (4) (5) 解：(1) (2) (3) 由于，所以(4) 由(1)得 ，所以 (5) 由于 ，所以我們已經(jīng)看到，洛比達(dá)法則是確定未定式的一種重要且簡便的方法使用洛比達(dá)法則時我們應(yīng)注意檢驗定理中的條件，然后一般要整理化簡；如仍屬未定式，可以繼續(xù)使用使用中應(yīng)注意結(jié)合運(yùn)用其他求極限的方法，如等價無窮小替換，作恒等變形或適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q等，以簡化運(yùn)算過程此外，還應(yīng)注意到洛比達(dá)法則的條件是充分的，并非必要如果

17、所求極限不滿足其條件時，則應(yīng)考慮改用其它求極限的方法極限存在嗎?能否用洛比達(dá)法則求其極限?解：，即極限存在但不能用洛比達(dá)法則求出其極限因為盡管是型，可是若對分子分母分別求導(dǎo)后得，由于不存在，故不能使用洛比達(dá)法則4.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)單調(diào)性判別法單調(diào)函數(shù)是一個重要的函數(shù)類本節(jié)將討論單調(diào)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，從而提供一種判別函數(shù)單調(diào)性的方法4.1的例4已給出函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)的充分條件，其實我們有更一般的結(jié)論定理4.3.1 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在上嚴(yán)格單增（嚴(yán)格單減）的充要條件是在內(nèi)（或），且在內(nèi)任何子區(qū)間上不難看出定理中的閉區(qū)間可以換成其他各種區(qū)間，相應(yīng)的結(jié)論亦成立例1 判定函數(shù)的

18、單調(diào)性解：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)： 且等號僅當(dāng)時成立所以由定理4.4.1推知在上嚴(yán)格單增我們還可以利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例2 證明：當(dāng)時，證：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，故在上嚴(yán)格單增，從而對任意，都有即當(dāng)時，作為練習(xí)我們?nèi)菀鬃C明下述定理定理4.3.2 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在上單增(單減)的充要條件是 (或)函數(shù)的極值由費(fèi)馬定理我們知道，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)但是反過來卻不一定例如是函數(shù)的駐點(diǎn)，可它并不是極值點(diǎn)，因為是一個嚴(yán)格單增函數(shù)所以只是可導(dǎo)函數(shù)在取得極值的必要條件，并非充分條件另外，對于導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，函數(shù)也可能取得極值例如，它在處導(dǎo)數(shù)不存在，但在該點(diǎn)卻取得極小值0綜上所論

19、，我們只須從函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)中去尋求函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而求出函數(shù)的極值定理4.3.3（極值的第一充分條件） 設(shè)在連續(xù)，且在的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)(1) 若當(dāng)時，當(dāng)時，則在取得極大值；(2) 若當(dāng)時，當(dāng)時，則在取得極小值；若對一切都有(或)，則在不取極值例3 求的極值點(diǎn)與極值解：在內(nèi)連續(xù)，當(dāng)時，有令得駐點(diǎn)當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在列表討論如下(表中表示單增，表示單減)： +不存在 0 + 極大值 極小值 故得函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值；極小值點(diǎn)，極小值順便指出，我們也可以利用函數(shù)的駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例如上例中函數(shù)的單增區(qū)間為及；單減區(qū)間為當(dāng)函數(shù)二階可導(dǎo)時，我們也往往利用二階導(dǎo)數(shù)的

20、符號來判斷的駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)定理4.3.4(極值的第二充分條件) 設(shè)在二階可導(dǎo)，且(1) 若，則在取得極大值；(2) 若，則在取得極小值例4 試問為何值時，函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？求此極值解：由假設(shè)知，從而有，即又當(dāng)時，且，所以在處取得極大值，且極大值函數(shù)的最大值與最小值及其應(yīng)用問題根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，若函數(shù)在上連續(xù)，則在上必取得最大值和最小值本段將討論這樣求出函數(shù)的最大值和最小值對于可導(dǎo)函數(shù)來說，若在區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)取得最大(小)值，則在不僅有即是的駐點(diǎn)，而且為的極值點(diǎn)一般而言，最大(小)值還可能在區(qū)間端點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)上取得因此，若在上至多有有限個駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，為了避免對

21、極值的考察，可直接比較這三種點(diǎn)的函數(shù)值即可求得最大值和最小值例5 求函數(shù)在上的最大值與最小值解：在上連續(xù)，故必存在最大值與最小值令 ，得駐點(diǎn)和，因為 所以在取得最大值10，在取得極小值 在求最大(小)值的問題中，值得指出的是下述特殊情形：設(shè)在某區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的駐點(diǎn)如果還是的極值點(diǎn)，則由函數(shù)單調(diào)性判別法推知，當(dāng)是極大值時，就是在上的最大值；當(dāng)是極小值時，就是在上的最小值例6 求數(shù)列的最大項解：設(shè)則 令得當(dāng)時當(dāng)時所以在時取得極大值由于是唯一的駐點(diǎn)，故為在內(nèi)的最大值直接比較與有，從而推知是數(shù)列的最大項如果遇到實際生活中的最大值或最小值問題，則首先應(yīng)建立起目標(biāo)函數(shù)(即欲求其最值的那個函

22、數(shù))，并確定其定義區(qū)間，將它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題特別地，如果所考慮的實際問題存在最大值(或最小值)，并且所建立的目標(biāo)函數(shù)有唯一的駐點(diǎn)，則必為所求的最大值(或最小值)4.4 函數(shù)圖形的討論在討論函數(shù)圖形之前先研究曲線的幾種特性曲線的凸性4.4對函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值進(jìn)行了討論，使我們知道了函數(shù)變化的大致情況但這還不夠，因為同屬單增的兩個可導(dǎo)函數(shù)的圖形，雖然從左到右曲線都在上升，但它們的彎曲方向卻可以不同如圖44中的曲線為向下凸，而圖45中的曲線為向上凸 圖 44 圖 45定義4.4.1 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，若曲線位于其每點(diǎn)處切線的上方，則稱它為在內(nèi)下凸(或上凹)；若曲線位于其每點(diǎn)處切線的下方

23、，則稱它在內(nèi)上凸(或下凹)相應(yīng)地，也稱函數(shù)分別為內(nèi)的下凸函數(shù)和上凸函數(shù)(通常把下凸函數(shù)稱為凸函數(shù))從圖44和圖45明顯看出，下凸曲線的斜率(其中為切線的傾角)隨著的增大而增大，即為單增函數(shù)；上凸曲線斜率隨著的增大而減小，也就是說，為單減函數(shù)但的單調(diào)性可由二階導(dǎo)數(shù)來判定，因此有下述定理定理4.4.1 若在內(nèi)二階可導(dǎo)，則曲線在內(nèi)下凸(上凸)的充要條件是 () ，例1 討論高斯曲線的凸性解：，所以當(dāng)，即當(dāng)或時；當(dāng)，即當(dāng)時因此在區(qū)間與內(nèi)曲線下凸；在區(qū)間內(nèi)曲線上凸拐點(diǎn)定義4.4.2 曲線上的下凸與上凸部分的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)根據(jù)例1的討論即知，點(diǎn)與都是高斯曲線的拐點(diǎn)我們從定義4.5.1及其說明部分已經(jīng)看出利用二階導(dǎo)數(shù)研究曲線的凸性與利用一階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，兩者有相對應(yīng)的結(jié)果其實曲線的拐點(diǎn)同樣有類似于函數(shù)極值點(diǎn)的性質(zhì)，也是利用更高一階導(dǎo)數(shù)而得出的定理4.4.2（拐點(diǎn)的必要條件） 若在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且為曲線的拐點(diǎn)，則下面是判別拐點(diǎn)的兩個充分條件定理4.4.3 設(shè)在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，若在的左、右兩側(cè)分別有確定的符號，并且符號相反，則是曲線的拐點(diǎn)，若符號相同，則不是拐點(diǎn)定理4.4.4 設(shè)在三階可導(dǎo)，且，則是曲線的拐點(diǎn)此外對于的二階不可導(dǎo)點(diǎn)，也有