8歐式空間8.1定義與性質(zhì)

1、 高等代數(shù) 課件配合由清華大學(xué)出版社出版、陳小松主編、李俊平、劉金旺、劉慶平和王國(guó)富參編的 高等代數(shù)教材使用. 2015秋季教材征訂號(hào)為 . 目前可在京東或淘寶網(wǎng)上購(gòu)買. 8.2正交組、標(biāo)準(zhǔn)正交基8.3 同構(gòu)8.4 正交變換8.1 定義與性質(zhì)8.6 對(duì)稱變換 實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形8.7酉空間介紹8.8應(yīng)用和利用Maple計(jì)算舉例 8.5 正交補(bǔ)、向量到子空間的距離 第八章 歐氏空間 Euclidean Space 向量空間可以看成是通常幾何空間概念的推廣，然而幾何空間里有向量的長(zhǎng)度和夾角的概念，而一般的向量空間里卻沒有得到反映. 這一章我們將在實(shí)數(shù)域上的向量空間里引入內(nèi)積的概念，從而可以合理的定

2、義有向量的長(zhǎng)度和夾角. 大約在公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就建立了角和空間中距離之間聯(lián)系的法則，所以稱這樣的向量空間為歐氏空間. 歐氏空間的理論在許多領(lǐng)域里有廣泛的應(yīng)用.歐幾里得I 歐氏空間的定義8.1 定義與性質(zhì)II 柯西施瓦茲不等式III n維歐氏空間的度量矩陣問題的引入：般向量空間中沒有涉及.1) 向量空間的具體模型為幾何空間 ，幾何空間具有度量性質(zhì)(如長(zhǎng)度、夾角)等在一般長(zhǎng)度：但向量的長(zhǎng)度，夾角又都可以通過內(nèi)積反映出來(lái)：夾角 ：2) 在解析幾何中，向量的內(nèi)積是通過向量的長(zhǎng)度和夾角來(lái)定義的，即 所以先定義內(nèi)積作為基本的概念.滿足性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)定義8.1設(shè)V是實(shí)數(shù)域 R上的向量

3、空間，對(duì)V中任意兩個(gè)向量 定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，記作 ，若（對(duì)稱性）（2 3合起來(lái)稱為線性性）（正定性）1) V為實(shí)數(shù)域 R上的向量空間;2) V 除向量的線性運(yùn)算外，還有“內(nèi)積”運(yùn)算且則稱 為 和 的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的實(shí)數(shù)域 R上的向量空間V為歐氏空間.注意：例1在 中，對(duì)于向量 當(dāng) 時(shí)，1) 即為幾何空間 中內(nèi)積在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式 . 即這樣 對(duì)于內(nèi)積就成為一個(gè)歐氏空間.易證 滿足定義中的性質(zhì).1）定義 (1) 所以, 為內(nèi)積.2）定義 從而 對(duì)于內(nèi)積也構(gòu)成一個(gè)歐氏空間.由于對(duì) 未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.從而 對(duì)于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.易證 滿足定義

4、中的性質(zhì).所以 也為內(nèi)積.一般，歐氏空間Rn指對(duì)內(nèi)積而言的歐氏空間. .例2 為閉區(qū)間 上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成向量空間，對(duì)于函數(shù) ，定義(2) 則 對(duì)于(2) 作成一個(gè)歐氏空間.證明 且若則在某小區(qū)間上從而 故 因此， 為內(nèi)積. 又 是向量空間，從而 是歐氏空間 .內(nèi)積的簡(jiǎn)單性質(zhì)2) 若 ，則； 歐氏空間V中， , 有意義.歐氏空間中向量的長(zhǎng)度1). 引入長(zhǎng)度概念 在 向量的長(zhǎng)度（模） 稱為向量 的長(zhǎng)度.特別地，當(dāng) 時(shí)，稱 為單位向量. 定義 8.2 向量長(zhǎng)度熟知的性質(zhì) 非零向量 的單位化： （3） 在 中向量 與 的夾角 在一般歐氏空間中推廣(4)的形式，首先歐氏空間中向量的夾角應(yīng)證明不等式

5、： (4) 對(duì)歐氏空間V中任意兩個(gè)向量 ，有 (5) 定理8.1(柯西施瓦茲不等式)當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立.證明 當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)， 結(jié)論成立.當(dāng) 線性無(wú)關(guān)時(shí)，向量 由內(nèi)積的正定性，此二次三項(xiàng)式的判別式即 兩邊開方，即得關(guān)是嚴(yán)格不等號(hào)，故等號(hào)成立，必線性相關(guān).不等式(5)也稱為柯西-布涅柯夫斯基不等式.，因?yàn)榫€性無(wú)柯西施瓦茲不等式的應(yīng)用柯西不等式 (7)1）在 中施瓦茲不等式由柯西施瓦茲不等式有證：在 中， 與 的內(nèi)積定義為 2）在 中例3 ，有 中，取應(yīng)用柯西-施瓦茲不等式即可.例4 設(shè)大于零，且，求證：證明 取由柯西-施瓦茲不等式，兩邊開方，得.設(shè)V為歐氏空間， 為V中任意兩非零 歐氏

6、空間中兩非零向量的夾角定義8.3向量 ， 的夾角 定義為 由柯西施瓦茲不等式定義合理.(7) 證明 兩邊開方，即得 (7) 成立.對(duì)歐氏空間中的任意兩個(gè)向量 有三角不等式零向量與任意向量正交；注意： 即 .設(shè) 為歐氏空間中兩個(gè)向量，若內(nèi)積 則稱 與 正交或 垂直，記作 定義8.4若 為兩個(gè)非零向量，則勾股定理設(shè)V為歐氏空間，證明 若歐氏空間V 中向量 兩兩正交，推廣：則 證明 若 則 即例3 已知 在通常的內(nèi)積定義下，求解： 又 通常稱為與的距離，記作設(shè) 為歐氏空間V 的一組基，對(duì)V 中任意兩個(gè)向量III n 維歐氏空間V的度量矩陣令（8）定義8.5 矩陣 稱為基 的度量矩陣.(9)則 (10)1) 度量矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣. 2) 由內(nèi)積的正定性，度量矩陣A還是正定矩陣. 注意：事實(shí)上，對(duì) ，即 有為正定矩陣