抽象函數(shù)題型大全(例題含答案)

1、重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION 高考抽象函數(shù)技巧總結(jié)由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)f(x)的問(wèn)題感到困難，學(xué)好這部分知識(shí)，能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?，F(xiàn)將常見(jiàn)解法及意義總結(jié)如下：一、求表達(dá)式：1換元法：即用中間變量表示原自變量X的代數(shù)式，從而求出f(x)，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。x例1：已知f(J2x+1，求f(x).X+1-x,ucu42一u”，、2一x解：設(shè)1=u，則x=1f(u)=2+1f(x)=1TOC o 1-5 h z HYPERLINK

2、 l bookmark6x+11一u1一u1一u1一x2湊合法：在已知f(g(x)=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(u)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f(x).此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。例2：已知f(x+1)=x3+1，求f(x) HYPERLINK l bookmark0 xx3 HYPERLINK l bookmark121111111解：*/f(x+)=(x+)(x2，1+)=(x+)(x+)2，3)又TIx+1=1xI+1 HYPERLINK l bookmark14xxx2xxxIxIf(x)=x(x2-3)=x3-3x，(|x|三1)3待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類(lèi)型，設(shè)

3、定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3.已知f(x)二次實(shí)函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).解：設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則f(x+1)+f(x一1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x一1)2+b(x一1)+c2(a+c)=4=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4比較系數(shù)得0時(shí)，f(x)=lg(x+1)，求f(x)解:/f(x)為奇函數(shù)，.f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故先求x0lg(1x),xV0例5已知f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且有f(x)+g(x)=x1，求f(x)，g(x)-解：f(x)為偶函數(shù)，g(x)為

4、奇函數(shù)，f(x)=f(x),g(x)=g(x),不妨用-x代換f(x)+g(x)=x1中的x，f(x)，g(x)=即f(x)-g(x)顯見(jiàn)+即可消去g(x),求出函數(shù)f(x)=再代入求出g(x)=5賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f(x)的表達(dá)式例6：設(shè)f(x)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件f(x,1)=f(x),f(y),xy，及f(1)=1,求f(x)解：f(x)的定義域?yàn)镹,取y=1,則有f(x,1)=f(x),x,1f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2),3f(n)=f(n1),n、n(n,1)、1/八以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n=2/.f(x

5、)=2x(x,1),xeN二、利用函數(shù)性質(zhì)，解f(x)的有關(guān)問(wèn)題判斷函數(shù)的奇偶性：例7已知f(x,y),f(xy)=2f(x)f(y)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都成立，且f(0)豐0，求證f(x)為偶函數(shù)。證明：令x=0,則已知等式變?yōu)閒(y)，f(y)=2f(0)f(y)在中令y=0則2f(0)=2f(0)f(0)工0f(0)=1f(y)，f(y)=2f(y)f(y)=f(y)f(x)為偶函數(shù)。2確定參數(shù)的取值范圍例8：奇函數(shù)f(x)在定義域(-1，1)內(nèi)遞減，求滿足f(1m)+f(1m2)0的實(shí)數(shù)m的取值范圍。解:由f(1m)+f(1m2)0得f(1m)f(1m2)，f(x)為函數(shù)，f(1m)f(

6、m21)11一m1又f(x)在(-1，1)內(nèi)遞減，一1m2110mm2一13.解不定式的有關(guān)題目 重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION例9：如果f(x)=ax2bxc對(duì)任意的t有f(2t)=f2，t)，比較f(1)、f(2)、f的大小解：對(duì)任意t有f(2t)=f2，t).x=2為拋物線y=ax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸又其開(kāi)口向上f(2)最小,f(1)=f(3)V在:2,+切上,f(x)為增函數(shù)f(3)f(4),f(2)f(1)0時(shí)，f(x)0,f(1)=2,求f(x)在區(qū)間2,1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f(x)是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f(x)的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)

7、.當(dāng)，即，.：f(x)為增函數(shù)。在條件中，令y=X,貝y，再令x=y=0,則f(0)=2f(0),.f(0)=0,故f(x)=f(x),f(x)為奇函數(shù)，f(1)=f(1)=2,又f(2)=2f(1)=4,f(x)的值域?yàn)?,2。例2、已知函數(shù)f(x)對(duì)任意，滿足條件f(x)+f(y)=2+f(x+y)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)2,f(3)=5,求不等式的解。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f(x)是y=x+2的抽象函數(shù)，且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確,也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。解：設(shè).當(dāng)，則即，f(x)為單調(diào)增函數(shù)。V,又Vf(3)=5,.f(1)=3。重慶書(shū)之香教

8、育CHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION 即，解得不等式的解為一1a0。解：(1)令y=0代入，貝y，:。若f(x)=0,則對(duì)任意，有，這與題設(shè)矛盾，f(x)工0,f(0)=1。令y=x0，貝y，又由(1)知f(x)工0,.f(2x)0，即f(x)0,故對(duì)任意x,f(x)0恒成立。TOC o 1-5 h z例4、是否存在函數(shù)f(x)，使下列三個(gè)條件：f(x)0,xUN；f(2)=4。同時(shí)成立？若存在，求出f(x)的解析式，如不存在，說(shuō)明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f(2)=4可得a=2.故猜測(cè)存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：x=1時(shí)，J，又

9、TxUN時(shí)，f(x)0,結(jié)論正確。假設(shè)時(shí)有，則x=k+1時(shí)，x=k+1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)。3、對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f(x)是定義在(0,+)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：f(1)；若f(x)+f(x8)W2,求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f(1)=0,f(9)=2。解：(1)T,.f(1)=0。(2)，從而有f(x)+f(x8)Wf(9),Vf(x)是(0,+)上的增函數(shù)，故，解之得：8VxW9。例6、設(shè)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(

10、a+b)=g(a)g(b)是否正確，試說(shuō)明理由。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)y=f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又Vy=f(x)的反函數(shù)是y=g(x),：y=g(x)必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g(a+b)=g(a)g(b)正確。解：設(shè)f(a)=m,f(b)=n，由于g(x)是f(x)的反函數(shù)，.：g(m)=a,g(n)=b,從而,.：g(m)g(n)=g(m+n),以a、b分別代替上式中的m、n即得g(a+b)=g(a)g(b)。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且滿足以下三條件：當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；f(a)=l

11、(a0,a是定義域中的一個(gè)數(shù))；當(dāng)0VxV2a時(shí)，f(x)0。試問(wèn)：(1)f(x)的奇偶性如何？說(shuō)明理由。(2)在(0,4a)上,f(x)的單調(diào)性如何？說(shuō)明理由。分析：由題設(shè)知f(x)是的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：f(x)是奇函數(shù)且在(0,4a)上是增函數(shù)(這里把a(bǔ)看成進(jìn)行猜想)。解：(1)Vf(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且是定義域中的數(shù)時(shí)有在定義域中。V.f(x)是奇函數(shù)。(2)設(shè)0VxVxV2a,則0VxxV2a,V在(0,2a)上f(x)0,1221中的，于是f(x1)f(I,fq)，f(I均小于零，進(jìn)而知0,即在(2a,4a)上f(x)0。設(shè)2axx4a,則0 xx2a，從而知f

12、(x),f(x)均大于零。f(xx)0,T12211221,，即f(X)f(X2)，即f(x)在(2a,4a)上也是增函數(shù)。綜上所述，f(x)在(0,4a)上是增函數(shù)。5、幕函數(shù)型抽象函數(shù)幕函數(shù)型抽象函數(shù)，即由幕函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例8、已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(1)=1,f(27)=9,當(dāng)時(shí)，。判斷f(x)的奇偶性；判斷f(x)在0,+)上的單調(diào)性，并給出證明；若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f(x)是幕函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f(x)是偶函數(shù)，且在0,+)上是增函數(shù)。解：(1)令丫=1,則f(x)=f(x)f(1),Vf(1)=1,.f

13、(x)=f(x),f(x)為偶函數(shù)。(2)設(shè).時(shí)，,.f(X)0時(shí)，0f(x)l。(2)設(shè)解：(1)在,若中，令在O中，令因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)而，試確定a的取值范圍。得，因?yàn)?，所以關(guān)于點(diǎn)(0,2002)對(duì)稱(chēng)。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2002,0)對(duì)稱(chēng)。所以將上式中的x用代換，得評(píng)析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足對(duì)稱(chēng)圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題例9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n,總有(1)判斷f(x)的單調(diào)性； # # # #所以又當(dāng)x=0時(shí)，所以，綜上可知，對(duì)于任意，均有設(shè)，貝y所以所

14、以在R上為減函數(shù)。(2)由于函數(shù)y=f(x)在只上為減函數(shù)，所以即有又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有，所以直線與圓面無(wú)公共點(diǎn)。因此有，解得評(píng)析：(1)要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個(gè)問(wèn)題：一是f(0)的取值問(wèn)題，二是f(x)0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類(lèi)比思維都有助于問(wèn)題的思考和解決。重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)f(4-x)且f(2-x)+f(x2)0，求f(2000)的值。解：由f(2-x)+f(x-2)0,以t=x2代入，有f(t)=f(t),f(x)為奇函數(shù)且有f(0)0又由

15、f(x,4)f4-(-x)f(-x)-f(x)f(x,8)-f(x,4)f(x)故f(x)是周期為8的周期函數(shù),f(2000)f(0)0例2已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x,y)=f(x),f(y)，且當(dāng)x0時(shí),f(x)0,f(-1)-2，求f(x)在-2，1上的值域。由條件當(dāng)x0時(shí)，f(x)0又f(x2)f(x2-x1)，x1f(x2-x1)+f(x1)f(x1)f(x)為增函數(shù),令y-x,則f(0)f(x),f(-x)又令xy0得f(0)0重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATIONf(-X)，-f(X),故f(X)為奇函數(shù)，f，-f，2,f(-2)，2f(-1)，-4f(

16、x)在-2,1上的值域?yàn)?4,2求參數(shù)范圍這類(lèi)參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“f”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3已知f(x)是定義在(-1,1)上的偶函數(shù)，且在(0,1)上為增函數(shù)，滿足f(a一2)一f(4一a2)0，試確定a的取值范圍。解：f(X)是偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)，f(X)在(-1，0)上是減函數(shù)，1a21由彳得3a5。-14-a21當(dāng)a，2時(shí)，f(a2)，f(4-a2)，f(0)，不等式不成立。當(dāng)3a2時(shí)，f(a-2)f(4-a2)-1a-20，f(a2-4)o-1a2-4a24解之得

17、，3a2當(dāng)2a5時(shí)，f(a-2)f(4-a2)0a-21，f(a2-4)o0a2-41a2a24解之得，2a5綜上所述，所求a的取值范圍是(3，2)U(2，5)。重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION # #例4已知f(x)是定義在(1上的減函數(shù)，若f(m2-sinx)，f(m+1+cos2x)對(duì)xR恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。m2sinx,3解：m+1+cos2x,3m2sinx，3對(duì)xR恒成立om2sinxm+1+cos2xm2sinxm+1+cos2x對(duì)xR恒成立oTOC o 1-5 h zS15m2m1sinx+cos2x(

18、sinx)2+vr4對(duì)xR恒成立,m23,1 HYPERLINK l bookmark40,5m2m141一10-2m2為所求。解不等式這類(lèi)不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f”,轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例5已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，yR有f(x)+f(y)0時(shí)，f(x)2，f5,求不等式f(a22a2)3的解集。解：設(shè)x、xR且xx1212f(x)f(xx)+x2211f(x)2111f(x)f(x)21故f(x)為增函數(shù),又f(3)f(2+1)f(2)+f(1)23f(1)40 # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATIONf=3f(a

19、22a2)3=f(1),即a22a211a3因此不等式f(a2-2a-2)3的解集為al-la3)o證明某些問(wèn)題例6設(shè)f(x)定義在R上且對(duì)任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求證：f(x)是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。分析：這同樣是沒(méi)有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進(jìn)行遞推，若能得出f(x+T)=f(x)(T為非零常數(shù))則f(x)為周期函數(shù)，且周期為T(mén)。TOC o 1-5 h z證明：f(x)=f(x+1)f(x+2)(1)f(x+1)=f(x+2)，f(x+3)(2)(1)+得f(x)=，f(x+3)(3)由(3)得f(x+3)=f(x+6)(4)由(3

20、)和(4)得f(x)=f(x+6)。上式對(duì)任意xeR都成立，因此f(x)是周期函數(shù)，且周期為6。例7已知f(x)對(duì)一切x,y，滿足f(0)豐0,f(x+y)=f(x)-f(y)，且當(dāng)x1，求證：(1)x0時(shí)，0f(x)0，則x1，而f(0)=f(x)-f(x)=1設(shè)x，xeR且x0 # #則0f(X),12即f(X)為減函數(shù)。綜合問(wèn)題求解抽象函數(shù)的綜合問(wèn)題一般難度較大，常涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高，解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“f”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f”例8設(shè)函數(shù)y，f(X)定義在R上，當(dāng)X0時(shí)，f(

21、X)1，且對(duì)任意m，n，有f(m+n)，f(m)f(n)，當(dāng)m豐n時(shí)f(m)豐f(n)。(1)證明f(0)，1；證明：f(X)在R上是增函數(shù)；設(shè)A，(,y)1f(x2)f(y2)f(1)，B，(X，y)1f(ax+by+c)，1，a，b，cgR，a豐0，若AB，1，若X10時(shí),(2)設(shè)X10，由已知得f(X2X1)1，因?yàn)閄1n，10,f(X)1，由f(0)，fOf(-X1)f(X)，1f(-X)重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION0 # #f(X2)，f(X2-X1)f(X1)f(X1)f(x)在R上為增函數(shù)。重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION0 # #重慶書(shū)之

22、香教育CHONGQINGEDUCATION(3)由f(X2)f(y2)f得x2,y21(1由f(ax,by,c)=1得ax,by,c=0(2)從(1)、(2)中消去y得(a2,b2)x2,2acx，-cb20，因?yàn)锳B=A=(2ac)2一4(a2,b2)(cb-0,(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)判斷f(x)的單調(diào)性;(3)求證f(5)+f(；)+f(3.)f(2)。511n2+3n2分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。再令y=-x可得解：(1)對(duì)條件中的x,y,令x=y=0,f(0)，f(0)=f(0)f()x，f(-x)=

23、0f(0)=0f(-x)=一f()x,所以f(x)是奇函數(shù)。(2)設(shè)-1x1則fO-2)=+f(W)=f(:-J120，00 # # #x-x121-xx12xx)0，從而有f(x1)一f(x2)0，即f(x1)f(jf(2)n2+n+1)f(2)。f(；)+f(111)+f(抽象函數(shù)問(wèn)題分類(lèi)解析我們將沒(méi)有明確給出解析式的函數(shù)稱(chēng)為抽象函數(shù)。近年來(lái)抽象函數(shù)問(wèn)題頻頻出現(xiàn)于各類(lèi)考試題中，由于這類(lèi)問(wèn)題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無(wú)從下手。本文試圖通過(guò)實(shí)例作分類(lèi)解析，供學(xué)習(xí)參考。1.求定義域這類(lèi)問(wèn)題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)fg(x)中的g(x)看作一個(gè)整體，相當(dāng)于f(x)中的X這一特性，問(wèn)題就

24、會(huì)迎刃而解。例1.函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?1，則函數(shù)yflog(x22)的定義域是_。2分析：因?yàn)閘og(x22)相當(dāng)于f(x)中的X,所以log(x22)1，解得222x2或，2x，2。例2.已知f(x)的定義域?yàn)?0，1)，則yf(x+a)+f(xa)(|al；)的定義域是分析：因?yàn)閤+a及xa均相當(dāng)于f(x)中的x,所以0 x+a1f，ax,0 x一a1ax+a0時(shí)，則xe(，a，12時(shí)則xe(a，重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION2.判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求f(X)與f(x)的關(guān)系。重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION2.判斷奇偶

25、性根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求f(X)與f(x)的關(guān)系。 -7 -7 #例3.已知f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)X,y滿足fXy)=fX，fQy，求證：f(X)是偶函數(shù)。分析：在fXy)=fX，fQy中，令x=y=1，得f(1)=f(1)，f(1)=f(1)=0令x=y=1，得f(1)=f(1),f(1)=f(1)=0于是fx-)=f(1齊)f(1)+#(x)f(x)故f(x)是偶函數(shù)。例4.若函數(shù)y=f(M()x0)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求證：函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)。證明：設(shè)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)為P(x，y)00y=f(x與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P

26、(x0，y0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(-x0，一y0)在y=-f(x)的圖象上,y=f(x)00y=f(x)00又y0=f(x0)f(-x0)=化)即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意x都有f(x)=f(x)，所以y=f(x)是偶函數(shù)。判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問(wèn)題迅速獲解。例5.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且有最小值為5,那么f(x)在區(qū)間7，3上是A.增函數(shù)且最小值為-5B.增函數(shù)且最大值為-5C.減函數(shù)且最小值為5D.減函數(shù)且最大值為5分析：畫(huà)出滿足題意的示意圖1,易知選B。-33-5重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION #例6.已

27、知偶函數(shù)f(x)在(0,)上是減函數(shù)，問(wèn)f(x)在(-8,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖2所示，易知f(x)在(-0)上是增函數(shù)，證明如下:任取xx-x01212y因?yàn)閒(x)在(0，+)上是減函數(shù)，所以f(，x)f(，x)。12又f(x)是偶函數(shù)，所以O(shè)xf(，x)=f(xf)，(，x)=f(x)，1122從而f(x)f(x)，故f(x)在(0)上是增函數(shù)。12圖2探求周期性這類(lèi)問(wèn)題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過(guò)類(lèi)似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過(guò)對(duì)函數(shù)原型的分析或賦值迭代，獲得問(wèn)題的解。例7.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的x,y有cf(x+y)+f(xy)=2

28、f(x)(fy)，并存在正實(shí)數(shù)c,使f(?)=0。試問(wèn)f(x)是否為周期函數(shù)？若是,求出它的一個(gè)周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。兀分析:仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：y=COSx滿足題設(shè)條件，且cos2=0，猜測(cè)f(x)是以2c為周期的周期函數(shù)。ccccccf(x+2)+2+f(x+2)-2=2f(x+2)f(2)=0f(x+c)=_f(x)f(x+2c)=，f(x+c)=f(x)故f(x)是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期。求函數(shù)值緊扣已知條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過(guò)程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性,利用周期性使問(wèn)題巧妙獲解。例8.已知f(x)的定義域?yàn)镽+，且+=)f

29、()+f()對(duì)一切正實(shí)數(shù)X,y都成立，若f=4，則f(2)=分析：在條件fy+=)+f)中，令x=y=4，得f(8)=f(4)+f(4)=2f(4)=4,重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATIONf=2又令x=y=2,得f(4)=f(2),f(2)=2,f=1例9.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f(x,2)1-f(x)=1,f(x),f(1)=1997，求f(2001)的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)f(x)是周期函數(shù)，顯然f(x)1，于是f(x,2)=1，f(x)，1-f(x)f(x,4)-1+f(x+2)

30、-f)1f(x，2)1,1+f(x)1f(x)-111+f(x)f(x)1f(x)所以f(x+8)=f(x)f(x，4)故f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，從而f(2001)=f(8250,1)冷1997比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問(wèn)題獲解。例10.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，x0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，若x0，且|xllx丨,1212則f(x),f(x)的大小關(guān)系是。12分析：x0且|x|x|，12120 xx=一xx01221又x0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，f(x)f(X)12討論方程根的問(wèn)題例11.已知函數(shù)f(X)對(duì)一切

31、實(shí)數(shù)X都滿足f(1，X)=f(1X)，并且f(x)=0有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)TOC o 1-5 h z實(shí)根之和是。分析：由f(1，X)=f(1X)知直線X=1是函數(shù)f(X)圖象的對(duì)稱(chēng)軸。又f(X)=0有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱(chēng)性知X=1必是方程的一個(gè)根，其余兩根X，X關(guān)于直線X=1對(duì)稱(chēng),123所以x,x=212=，故x,x,x=3。23123&討論不等式的解求解這類(lèi)問(wèn)題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。例12.已知函數(shù)f(X)是定義在(-，1上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式fk-sinx)fk2sin)x恒成立，求k的值。分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得k2一sin2x1Vk一sinxk2一si

32、n2xTOC o 1-5 h zk2(sinx一)2(2)I42由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切xeR恒成立，則有k2(sinx一)2=I0,g(1)=2,g(x)是增函數(shù).g(x)+lg(m)g(n)=g(m+n)(m、nWR)求證：f(x)是R上的增函數(shù)n當(dāng)neN,n三3時(shí),f(n)n+1解：設(shè)xx12g(x)是R上的增函數(shù)，且g(x)0重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATIONg(xi)g(x2)012g(X)+lg

33、(x2)+102g(x)+1220g(x)+112g(x)+122-0g(x)+11重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #g(x)11g(x)+11g(x)12g(x)+1222=1-(1g(x)+1g(x)+112重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHON

34、GQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #22=-0g(x)+1g(x)+121f(xi)f(x2)f(x)是R上的增函數(shù)g(x)滿足g(m)g(n)=g(m+n)(m、nWR)且g(x)0g(n)=g(1)n=2n當(dāng)nGN,n三3時(shí)，2nnf(n)=1-n1=1-n+1n+12n=(1+1)n=1+n+C+n+12n+1n.2n+12n+221211-2n+1n+12n+1n+1 H

35、YPERLINK l bookmark161,n當(dāng)nGN,n三3時(shí),f(n)n+13.設(shè)f/x)f2(x)是(0,+R)上的函數(shù)，且fx)單增，設(shè)f(x)=f(x)+f2(x)，且對(duì)于(0,+8)上的任意兩相異實(shí)數(shù)X,x2恒有|f(X)f(x2)|f2(X)f2(x2)|求證：f(X)在(0,+8)上單增.設(shè)F(x)=xf(x),a0、b0.求證：F(a+b)F(a)+F(b).證明：設(shè)xx02重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #重慶書(shū)之香教育hCHONGQING

36、EDUCATION #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #f(x)在(0,+s)上單增f(x)f(x)011121f1(X1)-f1(X2)I=f1(X1)-f1(X2)01(X1)f1(X2)llf/Rf2(X2)1f(x)-f(x)f(x)f(x)f(x)+f(x)11211222f(x1)f(x2)f(x)在(0,+s)上單增F(x)=xf(x),a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)二af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+s)上單增F(a+b)af(a)+bf(b)二F(a

37、)+F(b)函數(shù)y=f(x)滿足f(a+b)=f(a)f(b),f(4)=16,m、n為互質(zhì)整數(shù),nMOm求玖)的值nf(0)=f(O+O)=f(O)f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0則f(4)=16二f(0+4)=f(0)f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2)f(2)=f(l)f(1)f(1)f(1)=161f(l)=f2(2)20f(1)=2.仿此可證得f(a)20.即y=f(x)是非負(fù)函數(shù).f(0)=f(a+(-a)=f(a)f(-a)f(-a)=nWN*時(shí)f(n)二fn(1)=2n,f(-n)=2-n1111f(1)=f(+)=fn()=2nnnn重慶書(shū)

38、之香教育.CHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- 重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #1JTOC o 1-5 h zf()=2nnm1mf()=f()m=2n HYPERLINK l bookmark143nn定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足x+y任意x、yW(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),xW(-1,0)時(shí),1+xy有f(x)0判定f(x)在(-1,1)上的奇偶性，并說(shuō)明理由判定f(x)在(-1,0)上的單調(diào)性，并給出證明,111TOC o

39、 1-5 h z求證：f()=f()f()n2+3n+1n+1n+21111或f(u)+f()+(c.)f(C)(nWN*)511n2+3n+12解：1)定義在(-1,1)上的函數(shù)f(X)滿足任意X、yW(-1,1)x+y都有f(x)+f(y)=f()，則當(dāng)y=0時(shí),f(x)+f(0)=f(x)1+xyf(0)=0當(dāng)x=y時(shí)，f(x)+f(-x)=f(0)f(x)是(-1,1)上的奇函數(shù)2)設(shè)0 xx-1.12xx、f(x)-f(x)=f(x)+f(-x)=f(12)12121一xx120)時(shí),x-x0120 xx-1,xW(-1,12有f(x)0,1-Xx0,x，x、fC12)01一xx12

40、重慶書(shū)之香教育.CHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- 1- #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #重慶書(shū)之香教育.CHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #3)即(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增.11f(n2+3n+1)=f(n2+3n+2-1)重慶書(shū)之香教育.CHONGQINGEDUCATION重

41、慶書(shū)之香教育.CHONGQINGEDUCATION1- #1- #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #(n+1)(n+2)=f(n+1)(n+2)1_1n+1n+2、w11)1-n+1n+2重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #=f(1)-f(2)n1n21()+f1111f(5)+f(n23n1)11=f()-f()+f()-f()+f()

42、+-+f(23344111-f(2)=f(2)+f(-2)22n211n1)-f(n2)1=f(2)x(T,0)f(-1n2)0,11即f(5)+f(11)+f(時(shí)，有f(x)0111f(2)+f(-n2)f(2)1-1n23n1)f(2)重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #1)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意x、x，0,2都有f(x+x)=12212f(X)f(x2),且f(l

43、)=aO.求f(2)及f(4)；證明f(x)是周期函數(shù)記a=f(2n+2n),求lim(嘰)ngxx解：由f(x)=f(2+2)=f(x)20,f(x)a=f(1)=f(2n)=f(21n+2n+-+2n)=f2n2n2n2n解得f(2n)=a2重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION #重慶書(shū)之香教育CHONG

44、QINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #1111(2)=a2,f(4)=a4.f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=fl+(l+x)=fl-(l+x)=f(x)=f(-x).f(x)是以2為周期的周期函數(shù).111叮f(2n+2n)=f(2n)=2重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # #重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #lna血(lnan)=応2a=0ngng重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION重慶書(shū)之香教育hCHONGQINGEDUCATION # 重慶書(shū)之香教育CHONGQINGEDUCATION關(guān)系易知，f(X4)的反函數(shù)的圖象必過(guò)定點(diǎn)(1,-4)。 #設(shè)yf(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對(duì)任意X、yWR都有f