小學(xué)奧數(shù)幾何燕尾模型

1、燕尾定理 例題精講 燕尾定理： 在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一點(diǎn) O , 那么, S ABO : S ACO BD : DC A F E O B DC上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段,由于 ABO 和 ACO 的形狀很象燕子的尾巴,所 以這個(gè)定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用,它的特殊性在于,它可以存在于 任何一個(gè)三角形之中,為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間供應(yīng)相互聯(lián)系的途徑 . 通過一道例題 證明燕尾定理： 如右圖, D 是 BC 上任意一點(diǎn),請(qǐng)你說明： S1 : S4 S2 : S3 BD : DC A S2 E S3 B

2、 S1 S4 C D【解析】 三 角形 BED 與三角形 CED 同高,分別以 BD , DC 為底,所以有 S1 : S4 BD : DC ； 三角形 ABE 與三角 EBD 同高, S1 : S2 ED : EA ； 形 三角形 CED 同高, S4 : S3 ED : EA ,所以 S1 : S4 S2 : S3 ； ACE 與三角形 綜上可得, S1 : S4 S2 : S3 BD : DC . 可編輯 word, 供參考版！ 第 1 頁,共 5 頁【例 1】 （ 2022 年第七屆期望杯五年級(jí)一試試題）如圖,三角形 ABC 的面積是 1, E 是 AC 的中點(diǎn),點(diǎn) D 在 BC 上,

3、且 BD : DC 1: 2 , AD 與 BE 交于點(diǎn) F 就四邊形 DFEC 的面積等于 A A A B DF E B 3 F 233E CB F E C1CD D【解析】 方 法一：連接 CF , 依據(jù)燕尾定理, S ABF BD 1S ABF , S CBF AE 1, S ACF DC 2EC 設(shè) S BDF 1 份,就 S DCF 2 份, S ABF 3 份, S AEF S EFC 3 份,如圖所標(biāo) 所以 SDCEF 5S ABC 512 12 方法二：連接 DE ,由題目條件可得到 S ABD 1 S 3 ABC 1 , 3S ADE 1S ADC 12S ABC 1,所以

4、BF S ABD 1, FE S ADE 12233S DEF 1S DEB 11SBEC 111 S ABC 1, 22323212 而 S CDE 21S ABC 1所以就四邊形 DFEC 的面積等于 5 32312 【鞏固】如圖,已知 BD DC , EC 2 AE,三角形 ABC 的面積是 30 ,求陰影部分面積 . A A A E E E F F F B DCB DCB DC【解析】 題 中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值,其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系,由此我們可以初步 判定這道題不應(yīng)當(dāng)通過面積公式求面積 . 又由于陰影部分是一個(gè)不規(guī)章四邊形,所以我們需要對(duì)它 進(jìn)行改造,那么我們需

5、要連一條幫忙線, 法一 連接 CF ,由于 BD DC , EC 2AE ,三角形 ABC 的面積是 30, 1 1所以 S ABE S ABC 10 , S ABD S ABC 15 3 2依據(jù)燕尾定理, S ABF AE 1, S ABF BD 1 , S CBF EC 2 S ACF CD 1所以 S ABF S ABC , S BFD 15 7.5 , 4所以陰影部分面積是 30 10 1 法二 連接 DE ,由題目條件可得到 S ABE S ABC 10 , 3S BDE 1 S BEC 1 2 S ABC 10 ,所以 AF S ABE 1, 2 2 3 FD S BDE 1可編輯

6、 word, 供參考版！ 第 2 頁,共 5 頁S DEF 1 S DEA 1 1 S ADC 1 1 1 S ABC , 2 2 3 2 3 22 1而 S CDE S ABC 10 所以陰影部分的面積為 3 22【鞏固】 如圖,三角形 ABC 的面積是 200 cm ,E 在 AC 上,點(diǎn) D 在 BC 上,且 AE: EC 3:5 , BD : DC 2:3 , AD 與 BE 交于點(diǎn) F 就四邊形 DFEC 的面積等于 A A A E E E F F F B D C B D C B D C【解析】 連 接 CF , S ABF BD 2 6 S ABF AE 3 6依據(jù)燕尾定理, ,

7、, S ACF DC 3 9 SCBF EC 5 10 設(shè) S ABF 6 份,就 S ACF 9 份 , S BCF 10 份, S EFC 9 5 45 份, SCDF 10 3 6 份, 35 8 23所以 SDCFE 200 6 9 10 45 6 8 45 6 93 cm 28 8【鞏固】 如圖,已知 BD 3DC ,EC 2 AE ,BE 與 CD 相交于點(diǎn) O , 就 ABC 被分成的 4 部分面積各占 ABC 面積的幾分之幾？ A A 18 30 份,所以四部 O E 911E O 22B DCB 3D1C【解析】 連 接 CO ,設(shè) S AEO 1 份,就其他部分的面積如以下

8、圖,所以 S ABC 129分按從小到大各占 ABC 面積的 1 2 , 30 30 13 9 , 60 30 3 , 30 910 20 CA , BQ 與 AP 相交于 【鞏固】 2022 年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng) 如以下圖,在 ABC 中, CP 1 2CB , CQ 13賽 點(diǎn) X ,如 ABC 的面積為 6 ,就 ABX 的面積等于 CCCP Q 41P 1 X 4B Q P Q X X B A A B A 【解析】 方 法一：連接 PQ CA ,所以 S ABQ 2 1S ABC , S BPQ S BCQ 3 21S ABC : S ABC 4:1 , 61S ABC 由于 CP 1C

9、B , CQ 1236S ABQ : S BPQ 2由蝴蝶定理知, AX : XP 3可編輯 word, 供參考版！ 第 3 頁,共 5 頁所以 S ABX 4S ABP 4 1S ABC 2S ABC 26 5 5 2 5 5方法二：連接 CX 設(shè) S CPX 1 份,依據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積, 所以 S ABX 6 1 14 4 4【鞏固】如圖,三角形 ABC 的面積是 1, BD 2DC , CE 2 AE , AD 與 BE 相交于點(diǎn) F ,請(qǐng)寫出這 4 部分 的面積各是多少 .A A E 6 1 E 2F 8 F 4B B D C D C【解析】 連 接 CF ,設(shè) S AEF

10、1 份,就其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如以下圖,所以 S AEF 1 , S ABF 6 2 , S BDF 8 , SFDCE 24 221 21 7 21 21 7【鞏固】 如圖, E 在 AC 上,D 在 BC 上,且 AE : EC 2:3 , BD : DC 1: 2 ,AD 與 BE 交于點(diǎn) F 四邊形 DFEC 2的面積等于 22 cm ,就三角形 ABC 的面積 A A A E E E F F 2 F B B B 1 2D C D C D C【解析】 連 接 CF ,依據(jù)燕尾定理, S ACF S ABF BD DC 1 , 2 S ABF S CBF EC AE 2 ,

11、3設(shè) S BDF 1 份 , 就 S D C F 2 份 , S ABF 2 份 , S AFC 4 份 , S AEF 4 21 . 623份 , S EFC 4 3 2.4 份,如圖所標(biāo) ,所以 SEFDC 2 份 , S ABC 23 4 9 份 2 32所以 S ABC 22 9 45 cm 【鞏固】三角形 ABC 中, C 是直角,已知 AC 2 , CD 2 , CB 3, AM BM ,那么三角形 AMN 陰影 部分 的面積為多少？ A A M MN NC D B C D B 【解析】 連 接 BN ABC 的面積為 3223CD : BD 2:1 ； 依據(jù)燕尾定理, ACN :

12、 ABN 可編輯 word, 供參考版！ 第 4 頁,共 5 頁同理 CBN :CAN BM : AM 1:1 設(shè) AMN 面積為 1 份,就 MNB 的面積也是 1 份,所以 ANB 的面積是 1 1 2份, ACN 的面積就是 224 份, CBN 也是4 份,這樣 ABC 的面積為 4 4 11而 10 份,所以 AMN 的 面積為 310 1 【鞏固】如圖,長方形 ABCD 的面積是 2 平方厘米, EC 2DE , F 是 DG 的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少 平方厘米 .A G F DA A 3Dy D5平方厘米 . 1 3 F x2F E 3 x y C G E E B CB B G

13、 C【解析】 設(shè) S DEF 5 S BCD 12 1 份,就依據(jù)燕尾定理其他面積如以下S 陰12 圖 影 【例 2】 如 圖所示,在四邊形 ABCD 中, AB 3BE , AD 3AF ,四邊形 AEOF 的面積是 12,那么平行四邊 形 BODC 的面積為 A A F 4F B E O CDB E 12O 686CD【解析】 連 接 AO, BD ,依據(jù)燕尾定理 S ABO : S BDO AF : FD 1: 2 , S AOD : SBOD AE : BE 2 :1 ,設(shè) S BEO 1 , 就其他圖形面積,如圖所標(biāo),所以 SBODC 2SAEOF 2 12 24 . 【例 3】 ABCD 是邊長為 AGCD 的面積是 12 厘米的正方E , F 分別是 AB , BC 邊的中點(diǎn), AF 與 CE 交于 G ,就四邊形 形, 平方厘米 DCDCG F G F A E B A E B 11） 2