2024年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典解答題-立體幾何專項復(fù)習(xí)17題（附答案）

第第頁2024年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典解答題——立體幾何專項復(fù)習(xí)17題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________一．解答題1．已知三棱錐P?ABC中，AB⊥AC,??PA⊥平面ABC,??PA=AB=3,??AC=4,??M為BC中點，過點M（1）求直線PM與平面ABC所成的角的正切值；（2）證明：平面MEF//平面PAB，并求直線ME到平面PAB的距離.2．如圖，AA1是圓柱的一條母線，AB是圓柱的底面直徑，點C在圓柱下底面圓周上，M是線段A1C的中點．已知（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求BC與AM所成的角．3．如圖，已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，高為23（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）設(shè)OA、OB為該圓錐的底面半徑，且∠AOB=90°，M為AB的中點，求二面角P?AB?O的正切值4．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是以AC（1）求證：平面A1BC⊥平面（2）求點A到平面A15．如圖，在正方體ABCD?A（1）求證：B1D1（2）求二面角B?A16．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC，D是棱AC的中點，E（1）求證：A1B//（2）求證：C17．四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，F(xiàn)、E分別為AD、PC的中點.（1）證明：DE//平面PFB（2）求點D到平面PFB的距離.8．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若點F是棱AB的中點，求證：CF//平面PAE9．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱D（1）BD1//（2）BD10．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥（1）求證：AC⊥BC1（2）求證：AC1//11．如圖，長方體ABCD?A?B?C?D?的底面ABCD是正方形，點E在棱AA?上，BE⊥EC?.（1）證明:BE⊥平面EB?C?（2）若AA?=2，AB=1，求四棱錐E?BB?C?C的體積.12．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E為AP的中點，且AB=2,AP=4．（1）證明：CP//平面BDE；（2）求三棱錐P?BDE的體積．13．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形．（1）求證：AB//平面PCD（2）求證：AB⊥平面PAD．14．如圖，六棱錐P?ABCDEF的底面是邊長為1的正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=23（1）求證：直線BC//平面PAD；（2）求證：直線ED⊥平面PAE；（3）求直線PD與平面ABC所的成角.15．如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH的中點，PA=AC=2，BC=1．（1）求證：AH⊥BC；（2）求點C到平面ABH的距離；（3）在線段PB上是否存在點N，使MN//平面ABC？若存在，求出|PN||PB|16．如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF=1,AE=DE=2.（1）求證：CD//平面ABFE；（2）求證：平面ABFE⊥平面CDEF；（3）在線段CD上是否存在點N，使得FN⊥平面ABFE?說明理由．17．在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1是A1C和B（1）求證：AB⊥平面A1BC（2）求A1到平面ABC（3）求二面角A1?AC?B的

2024年高中數(shù)學(xué)立體幾何專項復(fù)習(xí)17題【參考答案】1．答案：（1）54；（2）證明見解析；解析：（1）

因為PA⊥平面ABC，連接AM，則∠PMA即為直線PM與平面ABC所成的角，又PA=AB=3，AC=4，AB⊥AC，M為BC中點，可得BC=5，AM=5所以tan∠PMA=即直線PM與平面ABC所成的角的正切值為65（2）由題知，ME//平面PAB，MF//平面PAB，ME∩MF=M，ME,MF?平面MEF，所以平面MEF//平面PAB.因為PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以PA⊥AC，又AC⊥AB，AB,PA?平面PAB，AB∩PA=A，所以AC⊥平面PAB，又ME//平面PAB，所以AE就是直線ME到平面PAB的距離，又M為BC中點，則AE=1即直線ME到平面PAB的距離為2.2．答案：（1）20π；（2）解析：（1）由題意可得AC=4，BC=3，l=AA所以在Rt△ABC中，AB=所以底面半徑r=1所以圓柱的側(cè)面積S=2π（2）由題意可得BC⊥AC，又因為AA1是圓柱的一條母線，可得AA因為BC?底面ABC，所以BC⊥AA因為BC⊥AC，且AC∩AA1=A，AC,A所以BC⊥平面ACA又AM?平面ACA所以BC⊥AM，所以BC與AM所成的角為90°．3．答案：（1）8π；（2）解析：（1）由題意知，OP⊥平面OAB，OB?平面OAB，所以O(shè)P⊥OB，所以圓錐的母線l=(2所以圓錐的側(cè)面積S=π（2）如圖，連接PM，M為AB的中點，PA=PB，則PM⊥AB，又△OAB為等腰三角形，OA=OB，所以O(shè)M⊥AB，所以∠PMO為二面角P?AB?O所成角.在等腰直角△OAB中，OA=OB=2，所以O(shè)M=2在Rt△POM中，OP=23,OM=2所以∠PMO=arctan4．答案：（1）證明見解析；（2）2解析：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C∵BC?平面ABC,∴AA又∵BC⊥AB,AB∩AA1=A,AB,A∴BC⊥平面ABB∵BC?平面A1BC，∴平面A1（2）由（1）可知BC⊥平面ABB又A1B?平面由題意可知，AB=BC=2,AA1=2∴S設(shè)點A到平面A1BC的距離為由VA1?ABC即13×2×2=1所以點A到平面A1BC的距離為5．答案：（1）證明見詳解；（2）2解析：（1）正方體ABCD?ABB故四邊形BDD則B1又B1D1?平面A1故B1D1（2）設(shè)正方體棱長為1，作BE⊥A1C于E由正方體的性質(zhì)知，△A所以DE⊥A1C,∠BED且BE=DE=2所以cos∠BED=故∠BED=2即二面角B?A16．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析解析：（1）連接CA1交C1D于點

在三棱柱ABC?A1B所以∠GA1C所以△GA1C1∽又D是棱AC的中點，AC=A1C1又E是棱BC上的一點，且BE=2CE，所以GCGA1又A1B?平面C1ED，GE?平面C（2）在△ABC中，AB=BC，D是棱AC的中點，所以BD⊥AC.在直三棱柱ABC?A1B1C又BD?平面ABC，所以AA又AA1∩AC=A，AA1，AC?平面AC又C1D?平面ACC7．答案：（1）證明見解析；（2）6解析：（1）取PB中點G，連接EG，F(xiàn)G，

因為E,G分別是PC,PB的中點，所以EG//BC而DF//BC，DF=12BC因此四邊形DEGF是平行四邊形，所以DE//又DE?平面PFB，F(xiàn)G?平面PFB，所以DE//平面PFB（2）設(shè)點D到平面PFB的距離d，點D到平面PFB的距離可以看成三棱錐D?PFB以PFB為底面的高，由VD?PFB=由于PF=PD2PB=PD故S△PFB=1故13×6故D到平面PFB的距離為638．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；解析：（1）由PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，又因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，易知PA∩AC=A，PA,AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC；（2）連接AE，CF，如下圖所示：由底面ABCD為菱形可得AB//CD，且又因為E為CD的中點，點F是棱AB的中點，所以可得CE=AF=12AB所以可知四邊形CEAF為平行四邊形，所以CF//又CF?平面PAE，AE?平面PAE，所以CF//平面PAE9．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析解析：（1）

如圖，連結(jié)OE，在正方體ABCD?A因為OB=OD，E為棱DD所以O(shè)E為△BDD1的中位線，所以又因為OE?平面ACE，BD1不在平面所以BD1//（2）在正方體ABCD?A由DD1⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以DBD?面BDD1，DD1?面BDD1又由BD1?面BD10．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析解析：（1）證明：由CC1⊥底面ABC，且AC?底面ABC又因為AC⊥BC，BC∩CC1=C，且BC,C所以AC⊥平面BCC因為BC1?（2）證明：設(shè)CB1與C1B的交點為因為D是AB的中點，E是BC1的中點，所以因為DE?平面CDB1，且AC1?平面CD

11．答案：（1）證明見解析；（2）2解析：（1）證明：由長方體的性質(zhì)可知，B1C∴BE⊥因為B1C1所以B∴BE⊥平面EB（2）取棱BB?的中點F，連接EF、C?F則EF//AB由（1）知，∠BEB?=90°，由題設(shè)可知，

∴∠AEB=∠A?EB?=45°∵在長方體ABCD?A?B?C?D?中，AA?//平面BB?C?CAB⊥∴點E到平面BB?C?C的距離d=EF=AB=2∴四棱錐E?BB?C?C的體積V=12．答案：（1）證明過程見解析；（2）4解析：（1）連接AC交BD于點H，連接EH，因為底面ABCD是正方形，所以H為AC的中點，因為E為AP的中點，所以EH//PC，因為EH?平面BDE，PC?平面BDE，所以PC//平面BDE；（2）因為AB=2,AP=4，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，所以VP?ABD因為E為AP的中點，所以VP?BDE13．答案：（1）證明見詳解；（2）證明見詳解解析：（1）由題意，底面ABCD是矩形，即AB//CD?平面PCD，AB?平面PCD，所以AB//平面PCD（2）由題意，PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PD，又底面ABCD是矩形，即AB⊥AD，AD∩PD=D,AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．14．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）π解析：（1）證明：∵正六邊形ABCDEF，∴∠FAB=∠B=120°，∠DAB=1∴∠DAB+∠B=180°，∴BC∥AD，∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴直線BC//平面PAD.（2）在△AFE中AF=FE=1，∠F=120°，易得AE=21?在△ADE中ED=1，AD=2，AE=3∴AE2+E因為PA⊥平面ABC，ED?平面ABC，故PA⊥ED，∵PA∩AE=A,PA,AE?平面PAE，故直線ED⊥平面PAE.（3）∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA即為直線PD與平面ABC所的成角，在Rt△PAD中，PA=23，AD=2，∴∴∠PDA=π即為直線PD與平面ABC所的成角為π315．答案：（1）證明見解析；（2）63；（3）線段PB上當(dāng)點N滿足|PN||PB|=3，使MN//解析：（1）因為PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又因為AC⊥BC，AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因為AH?平面PAC，所以AH⊥BC.（2）設(shè)點C到平面ABH的距離為d.因為PA⊥底面ABC，PA=2，H為PC的中點，所以點H到平面ABH的距離為12又因為在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=1．則AB=2VC?HAB又因為PA⊥底面ABC，AC?平面ABC，所以PA⊥AC，又因為PA=2，AC=2，H為PC的中點，所以PC=22，又因為由（1）知BC⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以BC⊥PC，則BH=B所以AB2=A則△ABH的面積為12所以VC?HAB=1（3）線段PB上當(dāng)點N滿足|PN||PB|=34，使證明：取CH的中點K，連接MK，NK．因為M為AH的中點，所以由MK為△HAC的中位線，可得MK//AC.又因為MK?平面ABC，AC?平面ABC，所以MK//平面ABC；由PKKC=3,PNNB=3又因為NK?平面ABC，BC?平面ABC，所以NK//平面ABC．又因為MK∩NK=K,MK,NK?平面ABC，所以平面MNK//平面ABC，又因為MN?平面MNK，所以MN//平面ABC．16．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析解析：（1）在五面體ABCDEF中，因為四邊形ABCD是正方形，所以AB//CD.又CD?平面ABFE，AB?平面ABFE，所以CD//平面ABFE.（2）因為AE=DE=2所以AE2+DE2因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.因為平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD，所以AB⊥平面ADE.因為DE?平面ADE，所以AB⊥DE.因為AB∩AE=A,AB、AE?平面ABFE,所以DE⊥平面ABFE.因為DE?平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF.（3）在線段CD上存在點N，使得FN⊥平面ABFE.證明如下：取CD的中點N，連接FN.由（1）知，CD//平面ABFE，又CD?平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以CD//EF.因為EF=1,ND=12CD=1