平面向量的正交分解及其加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 學(xué)案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

1、高 高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案 學(xué)數(shù)學(xué)不做題猶如入寶山而空手返 6.3.2、6.3.3 平面向量的正交分解及其加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示班級(jí)_ 姓名_ 組別_一、目標(biāo)導(dǎo)學(xué)通過平面向量的正交分解及其加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，了解平面向量的正交分解，理解向量坐標(biāo)的概念,掌握向量的坐標(biāo)表示.掌握兩個(gè)向量和、差的坐標(biāo)運(yùn)算法則，理解向量的坐標(biāo)與平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).二、自主學(xué)習(xí)閱讀教材第27頁-第30頁，結(jié)合上節(jié)內(nèi)容回顧，回答問題問題1:平面內(nèi)任一向量能否用兩個(gè)互相垂直的向量表示?問題2:如圖,向量i,j是兩個(gè)互相垂直的單位向量,向量a與i的夾角是30,且|a|=4,以向量i,j為基底,

2、則向量a如何表示?三、互助探究探究1.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示思考:我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(即它的坐標(biāo))表示,那么如何表示坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)向量呢?新知：1.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫作把向量作正交分解.2.平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i,j,取i,j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj.我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫作向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫作a在x軸上的坐標(biāo),y叫作a在y軸上的坐標(biāo),a=(x

3、,y)叫作向量a的坐標(biāo)表示.3.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a,設(shè)OA=xi+yj,則向量OA的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo);反過來,終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo).特別提醒:(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式,只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直.(2)由向量坐標(biāo)的定義,知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等,即a=bx1=x2且y1=y2,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).(3)向量的坐標(biāo)只與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),而與它們的具體位置無關(guān).(4)當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定

4、的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變.例1.課本第29頁例3.自主訓(xùn)練1.如圖所示,在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30角.求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)以及AB與AD的坐標(biāo).探究2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)i,j分別是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.問題1:根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì),分別用基底i,j表示向量a+b,a-b.問題2:向量的加、減運(yùn)算,可以類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行嗎?新知：設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),R,則有加法a+b=(x1+x2,y1+y2)減法a-b=(x1-x2,y1-y2)重要結(jié)論

5、已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2-x1,y2-y1)例2.課本第29頁例4.自主訓(xùn)練2.(1)設(shè)向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,2),(3,-5),則a+b=,b-a=.(2)已知平面上三個(gè)點(diǎn)A(4,6),B(7,5),C(1,8),求AB,AC,AB+AC,AB-AC.例3.課本第30頁例5.自主訓(xùn)練3.已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC,頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn),AB邊在x軸上,C在第一象限,D為AC的中點(diǎn),分別求向量AB,AC,BC,BD的坐標(biāo).四、課堂練習(xí)反饋：課本第30頁練習(xí)1、2、3以及以下問題1.已知AB=(-2,4),則下列說法正確的是(). A.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4) B.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)C.當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,4) D.當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-2,4)2.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,AB=(2,4),CA=(-1,-3),則DB=.思考：已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10)