兩體與質(zhì)心精品課件

1、兩體與質(zhì)心第1頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日1 兩體系統(tǒng)概論 兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)是最簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)統(tǒng)稱兩體問(wèn)題。兩體問(wèn)題最基本特征就是動(dòng)量角動(dòng)量守恒最簡(jiǎn)單的雙星和氫原子運(yùn)動(dòng)第2頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日2 兩體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題1 處理方法 （1）聯(lián)立方程法對(duì)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)分別寫(xiě)出牛頓動(dòng)力學(xué)方程，共兩個(gè)矢量方程（二維空間中，有四個(gè)標(biāo)量方程）。（2）等效一體法寫(xiě)出兩體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程和兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，也有兩個(gè)矢量方程。第3頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日 對(duì)于兩體問(wèn)題，用第（2）種方法是明智的，尤其對(duì)孤立系統(tǒng)的質(zhì)心不必通過(guò)動(dòng)力學(xué)方

2、程求解，直接由初始條件就可以得到質(zhì)心的速度，如此，只需求解兩體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程就可以了。值得指出的是，尤其當(dāng)兩體之間的相互作用內(nèi)力是兩體相對(duì)位矢的函數(shù)（例如萬(wàn)有引力，庫(kù)侖力，分子力等）時(shí)，用等效一體化方法求解此類(lèi)問(wèn)題，尤為便捷和有趣。第4頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日2 兩體系統(tǒng)的質(zhì)心兩體質(zhì)心的平面坐標(biāo) 兩體質(zhì)心的速度 同理可定義兩體質(zhì)心的加速度 第5頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日Om1m2設(shè)質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2的質(zhì)量分別為m1和m2，位矢分別為 和 ，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得令 相對(duì)加速度 折合質(zhì)量3 孤立兩體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程第6頁(yè)，共60頁(yè)，2022

3、年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日討論：（1）質(zhì)點(diǎn)1所遵循的動(dòng)力學(xué)方程的形式與質(zhì)點(diǎn)2形式相同，1 2。（1）（2）方程1既是質(zhì)點(diǎn)1在質(zhì)心系中的動(dòng)力學(xué)方程，又是質(zhì)點(diǎn)2在質(zhì)心系中的方程（證明從略）。質(zhì)點(diǎn)1和2在質(zhì)心系中的動(dòng)力學(xué)的另一種表達(dá)式為：其中第7頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日水平面上有一輛質(zhì)量為M的小車(chē)，車(chē)內(nèi)有一平臺(tái)，平臺(tái)上有一根輕質(zhì)彈簧，彈簧一端與小車(chē)的后壁固定，將彈簧壓縮一定線度后鎖定，并將一個(gè)質(zhì)量為m的小球靠在壓縮彈簧的自由端，解除鎖定，彈簧可將小球彈出，小球飛出平臺(tái)落在地板上。求下面兩種情況下小球在車(chē)內(nèi)落地點(diǎn)與平臺(tái)邊緣的水平距離之比，（1）小車(chē)固定；（2）小

4、車(chē)不固定。計(jì)算時(shí)忽略一切摩擦。第8頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日設(shè)彈簧彈性勢(shì)能為E，小車(chē)固定，小球彈出時(shí)速度為v1，有小車(chē)不固定，小球彈出時(shí)相對(duì)速度為v2，有兩次距離之比等于速度之比，即第9頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日如圖所示，一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m0m分析碰撞過(guò)程第一次碰撞用時(shí)第k次碰撞用時(shí)第45頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日A，B系統(tǒng)的質(zhì)心加速度在tk時(shí)間內(nèi)質(zhì)心位移A球的位移電場(chǎng)力對(duì)A所做的功第46頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分

5、，星期日FMmm12內(nèi)、外半徑幾乎同為R、質(zhì)量為M的均質(zhì)圓環(huán)，靜止地平放在水平桌面上，環(huán)內(nèi)某直徑的兩端各有一個(gè)質(zhì)量同為m的靜止小球。令從t=0開(kāi)始，用一個(gè)恒定的水平外力F拉環(huán)，F(xiàn)方向的反向延長(zhǎng)線通過(guò)環(huán)心，且與上述直徑垂直，如圖所示。設(shè)系統(tǒng)處處無(wú)摩擦，小球是剛性球，小球間的碰撞是完全彈性的。（1）計(jì)算碰撞前瞬間兩小球相對(duì)速度的大小；（2）計(jì)算碰撞前瞬間圓環(huán)相對(duì)桌面的加速度大小。第47頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日4 兩體系統(tǒng)能量和動(dòng)量問(wèn)題第48頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日3 孤立兩體系統(tǒng)的動(dòng)量守恒 由于孤立系統(tǒng)不受外力作用，它的基本特征就是系

6、統(tǒng)的動(dòng)量守恒，系統(tǒng)對(duì)某一參考系（姑且稱為實(shí)驗(yàn)室系）的總動(dòng)量等于該系統(tǒng)在質(zhì)心的質(zhì)心動(dòng)量，因此，對(duì)于動(dòng)量守恒的系統(tǒng)，以質(zhì)心為系有極大的優(yōu)越性，故在高能物理和核物理中，研究粒子散射問(wèn)題時(shí)，科學(xué)家經(jīng)常利用質(zhì)心坐標(biāo)系是非常方便的。第49頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日質(zhì)心系是系統(tǒng)動(dòng)量為零的坐標(biāo)系，也就是說(shuō)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量的矢量和（不是速度的矢量和）等于零，對(duì)于在原子核物理高能物理中的兩體散射（碰撞）問(wèn)題或粒子衰變問(wèn)題中，反應(yīng)前后的產(chǎn)物的動(dòng)量大小一定相等，方向相反，對(duì)分析和計(jì)算此類(lèi)問(wèn)題非常簡(jiǎn)便。實(shí)驗(yàn)室系質(zhì)心系第50頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日13.

7、兩個(gè)具有相同能量和相同質(zhì)量的粒子1和2在實(shí)驗(yàn)室系中作如圖所示的碰撞，在實(shí)驗(yàn)室系中粒子的速度大小為u，碰撞角為。在質(zhì)心系看來(lái)，這兩個(gè)粒子作對(duì)心正碰撞。（1）求質(zhì)心系的速度；（2）將碰撞前質(zhì)心系中的總動(dòng)能和實(shí)驗(yàn)室系中的總動(dòng)能作比較，將結(jié)果用速度u和碰撞角表示出來(lái)。）xymuum12第51頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日第52頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日對(duì)于孤立的兩體系統(tǒng)，其動(dòng)能定理可表述為：兩體孤立系統(tǒng)的動(dòng)能定理無(wú)論是質(zhì)心系還是實(shí)驗(yàn)室系，相對(duì)動(dòng)能都可表示為第53頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日核反應(yīng)中的資用能第54頁(yè)，共6

8、0頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日14.粒子物理中的夸克碎裂可用下面力學(xué)模型模擬。有三個(gè)質(zhì)量相等的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)1與質(zhì)點(diǎn)2中間夾置一個(gè)被充分壓縮了的輕質(zhì)極短彈簧，并用輕質(zhì)細(xì)線束縛在一起（此時(shí)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)可以當(dāng)成是一個(gè)整體），靜止地放在光滑水平面上，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)3沿該平面射向它們，質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)3相碰撞并粘在一起運(yùn)動(dòng)（由于彈簧極短，此時(shí)只考慮整體的平動(dòng)），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用遙控使輕質(zhì)細(xì)線繃斷，彈簧釋放，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)分成兩部分：一部分是質(zhì)點(diǎn)2，另一部分是粘在一起的質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)3。已知彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能是EP。第55頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日為了使被釋放的質(zhì)點(diǎn)2的散射角保

9、持在30之內(nèi)，求質(zhì)點(diǎn)3入射時(shí)的動(dòng)能應(yīng)滿足什么條件？注：此處散射角是指質(zhì)點(diǎn)2射出后的運(yùn)動(dòng)方向與質(zhì)點(diǎn)3入射時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向之間的夾角。第56頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日解：質(zhì)點(diǎn)1、2、3的共同速度為v，有（1）下面在質(zhì)心系中討論：設(shè)質(zhì)點(diǎn)散射后，質(zhì)點(diǎn)2的速率為 ，1、3的速率為 ，由動(dòng)量守恒和能量守恒，得（2）（3）解的（4）第57頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日質(zhì)點(diǎn)2在實(shí)驗(yàn)室系中的速度 滿足（5）由矢量示意圖，可以看出（6）故質(zhì)點(diǎn)2的入射動(dòng)能（7）第58頁(yè)，共60頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)33分，星期日質(zhì)心系問(wèn)題小結(jié)對(duì)于復(fù)雜的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)有質(zhì)心系的動(dòng)量定理和功能關(guān)系會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，因?yàn)橘|(zhì)心的運(yùn)動(dòng)加速度決定于系統(tǒng)的外力，而對(duì)于孤立系統(tǒng)，應(yīng)用質(zhì)心系處理顯得尤為簡(jiǎn)明。這是因?yàn)椋?（1）孤立系統(tǒng)的質(zhì)心速度不變，質(zhì)心的總動(dòng)能不變，在質(zhì)心系中討論能量問(wèn)題時(shí)，只研究不同狀態(tài)下各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能變化，或質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)動(dòng)能變化（主要對(duì)兩體問(wèn)題）第59頁(yè)