專題02 三角函數(shù)與解三角形

1、高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家課外補習(xí)專用PAGE 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。 PAGE 20高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。 專題二 三角函數(shù)與解三角形【高考考場實情】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重要內(nèi)容之一三角函數(shù)在高考考查中一般有兩種情形：其一，三道選擇、填空題，共15分；其二，一道選擇、填空題和一道解答題，共2道題，分值為17分高考對這一部分的考查難度相對穩(wěn)定，只考選擇、填空題時, 常有一道稍難題；解答題必在第17題位置，難度適中【考查重點難點】高考對三角函數(shù)的考查重點是基本概念、基本公式的理解和應(yīng)用以及運算求解能力，側(cè)重考查

2、任意角三角函數(shù)概念和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，突出考查形如的圖象與性質(zhì)，考查兩角和與差的三角函數(shù)公式及簡單的三角恒等變換，重點考查正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用下面對學(xué)生存在的主要問題進(jìn)行剖析，并提出相應(yīng)的教學(xué)對策【存在問題分析】（一）概念理解不透徹【指點迷津】本專題中，概念理解不透徹主要表現(xiàn)在三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式；三角函數(shù)的復(fù)合變換和三角函數(shù)的性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、對稱性）等?！纠?】（2016年課標(biāo)卷理7）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（ ）A B C D【名師點睛】本題有兩個考查重點，即三角函數(shù)的復(fù)合變換和三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的復(fù)合變換和三角函

3、數(shù)的幾何性質(zhì)（對稱軸方程，對稱點坐標(biāo)等）是考生的易錯點，比如，考生比較容易將平移以后的解析式寫為，或者將對稱軸方程寫為等在解決問題時，只有深刻地理解三角函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，提高應(yīng)用所學(xué)三角函數(shù)知識進(jìn)行運算的能力，才能正確地判斷三角函數(shù)圖象經(jīng)平移以后的圖象的對稱軸方程（二）整體意識較薄弱【指點迷津】在三角函數(shù)專題中，常常出現(xiàn)三角求值問題在求值過程中，整體意識薄弱，不能合理運用有關(guān)公式進(jìn)行恒等變形，是導(dǎo)致失分的主要原因，主要包括：找不準(zhǔn)已知式與待求式之間的差別與聯(lián)系，無法將角進(jìn)行合理的拆分；對角的結(jié)構(gòu)特征分析不透，不能從整體的意識上去分析和思考問題等【例2】（2016年課標(biāo)卷理

4、9）若，則A B C D【名師點睛】面對這樣的給值求值問題，學(xué)生整體的意識不強，沒有發(fā)現(xiàn)已知式的角與待求式的角的聯(lián)系；利用兩角差的公式，將展開得到后，沒有注意所求式與它的聯(lián)系，導(dǎo)致問題復(fù)雜化其實“從角的關(guān)系出發(fā)分析問題”與“從（同角）三角函數(shù)值的代數(shù)運算關(guān)系出發(fā)分析問題”，是我們在解決同類問題時最常用的兩種途徑（三）恒等變形欠靈活【指點迷津】化歸與轉(zhuǎn)化思想是三角恒等變形的主導(dǎo)思想在三角恒等變形中，學(xué)生存在的主要問題是對已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、式子結(jié)構(gòu)的差異等分析不到位，識別、選擇、應(yīng)用三角公式解決問題的能力不強，致使三角恒等變形轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確，造成后續(xù)求解繁瑣或錯誤?！纠?】（2016年

5、課標(biāo)卷理5）若，則 A B C 1 D 【解析】思路1： 對所求式子作等價變形：，再將代入，可求得選A思路2 ：將所求的式子等價變形為，由，可知，可得，所以選A思路3：由，可知，則，將，代入，可得選A【名師點睛】在本題的解答中，學(xué)生存在的主要問題是不能快速地識別、選擇、應(yīng)用三角公式，如面對待求式，不會巧妙地利用，將待求式恒等變形為；將待求式化為之后，無法從求出它的值。三角恒等變形的實質(zhì)是消除兩個式子的差異，認(rèn)真觀察、比較已知條件與待求式子之間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)途徑，將已知式與待求式化異為同，從而達(dá)到解題的目的（四）形數(shù)結(jié)合不靈巧【指點迷津】在本專題中，形數(shù)結(jié)合不靈巧主要表現(xiàn)在：對三角函數(shù)的圖象與

6、性質(zhì)（周期性、單調(diào)性與對稱性）的掌握情況不理想；對三角概念及三角函數(shù)三種表征的理解與變換不透徹；對三角函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想的運用以及基于三角函數(shù)的邏輯推理能力不強，尤其是識圖、用圖能力及利用三角公式進(jìn)行三角恒變形的能力不強 【例4】（2016年課標(biāo)卷文6）將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為A B C D【解析】思路1： 求出給定三角函數(shù)的最小正周期，依據(jù)函數(shù)圖象平移的一般方法，把已知函數(shù)圖象平移因為的最小正周期為，所以的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，即，選D思路2 ：根據(jù)給定三角函數(shù)的特殊點，確定平移后的三角函數(shù)的初始相位在已知函數(shù)的圖象中找到一點，點向右平移個

7、單位長度后為點由于三角函數(shù)圖象的平移不改變原來三角函數(shù)的振幅、周期，假設(shè)平移后的三角函數(shù)為，則，故可取，即平移后的函數(shù)為，選D【名師點睛】本題看似簡單，但答題仍存在如下問題：審題不細(xì)致，本題用給定函數(shù)的周期作為圖象平移的條件，也就是將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，但學(xué)生卻誤認(rèn)為是個單位長度，致使結(jié)果不正確；概念不清晰，對三角函數(shù)三種表征的理解與變換不熟練，如平移后的函數(shù)解析式表示為，或表示為本題用給定函數(shù)的周期作為圖象平移的條件，是將函數(shù)周期性的代數(shù)表示轉(zhuǎn)化為函數(shù)周期性的幾何表示，其實質(zhì)就是將滿足的函數(shù)，將其圖象沿軸方向平移個單位長度后，判斷其圖象與的圖象是哪種關(guān)系函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，

8、以及根據(jù)圖象確定問題是高考的熱點，題型大多是選擇題或填空題，在這類問題中，考生要熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性與對稱性），建立三角函數(shù)的解析式表征與圖象表征之間的關(guān)聯(lián) （五）定理應(yīng)用欠思考【指點迷津】本專題的顯著特點就是公式多、定理多學(xué)生對相關(guān)的概念、公式理解掌握不到位，導(dǎo)致解決相應(yīng)的問題時，思維不順暢，定理應(yīng)用欠思考，如在應(yīng)用誘導(dǎo)公式解三角函數(shù)問題時，常出現(xiàn)公式記憶不準(zhǔn)確，不注意角的范圍和象限等；在解決有關(guān)的問題時，不能準(zhǔn)確應(yīng)用有關(guān)的三角函數(shù)性質(zhì)，不注意所給的角或者參數(shù)的范圍；在三角恒等變形中，選用公式不合理或轉(zhuǎn)化不準(zhǔn)確，造成后續(xù)求解繁瑣或錯誤；在解決三角形問題時，忘記或不會應(yīng)

9、用三角形中的隱含條件，求邊、角時忽略其范圍，不能熟練掌握正、余定理的幾種常見變形等，這些都是造成失分的主要原因?！纠?】（2016年課標(biāo)卷文15）的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 【名師點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角和與差的三角變換公式以及解三角形的基本方法思路2與思路1的解題方法相比，雖然最終也可以求得正確結(jié)果，但所涉及的知識更多，計算量更大，且在求得或后，易忽略根據(jù)三角形邊角關(guān)系舍去增根這一步驟由此可見，根據(jù)已知信息識別與設(shè)計合理的解決問題的途徑，是解決問題的關(guān)鍵（六）知識交匯不順暢【指點迷津】本專題的知識內(nèi)容較多，高考對本專題的考查常常將眾多知識進(jìn)行交匯如在誘導(dǎo)公式和

10、同角三角函數(shù)關(guān)系的考查中，常與三角函數(shù)式求值、化簡，和差公式及倍角公式等綜合進(jìn)行，容易產(chǎn)生錯誤；在研究函數(shù)問題時，不僅關(guān)注解析式及其圖象，還關(guān)注周期性、對稱性、單調(diào)性及最值等，綜合度較大，要求較高，學(xué)生常因考慮不周而失分不僅如此，高考對本專題的考查，還常將三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等進(jìn)行交匯，考查函數(shù)的相關(guān)問題，綜合性強，學(xué)生不容易得分 【例6】（2016年課標(biāo)卷文12）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A B C D思路2： 函數(shù)在上單調(diào)遞增，等價于當(dāng)時，由題設(shè)可得，當(dāng)，即時，取或，可知當(dāng)時，不恒成立；當(dāng)，即時，由于當(dāng)時，故當(dāng)時，等價于當(dāng)時，可得選C思路3：函數(shù)在上單調(diào)遞增，等價于

11、當(dāng)時，由題設(shè)可得當(dāng)時，；當(dāng)時，等價于由于在為增函數(shù)，在的最大值為，故；當(dāng)時，等價于由于在為增函數(shù)，在的最小值為，故，綜上可得選C【名師點睛】本題精心構(gòu)造函數(shù)，使得的研究可以化為一個二次函數(shù)的研究雖然問題情境非常熟悉，但涉及的是含參數(shù)的恒成立問題，所考查的知識內(nèi)容多、要求高，不論采用何種思路，綜合性都很強，而且運算量也不小，對學(xué)生在矩時間內(nèi)完成該問題，是不小的考驗細(xì)節(jié)決定成敗，細(xì)微之處見真功，只有我們扎扎實實搞好每一個章節(jié)的復(fù)習(xí)，讓知識復(fù)習(xí)做到全覆蓋，才能突破思維障礙，在高考中取得好成績【解決問題對策】（一）重溫概念的來龍去脈，理清知識網(wǎng)絡(luò)，切實掌握三角函數(shù)的概念與性質(zhì)【指點迷津】高考對三角函數(shù)

12、的考查，尤其是選擇題、填空題對三角函數(shù)的考查，往往以三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、和差倍角公式等作為出發(fā)點，考查三角函數(shù)的求值問題；以三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)為載體，考查三角函數(shù)的解析式、周期性、單調(diào)性、對稱性、最值等復(fù)習(xí)過程中，要關(guān)注三角函數(shù)的定義，以此為基礎(chǔ)掌握同角公式、誘導(dǎo)公式、和差倍角公式；要關(guān)注正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象的重要性，它們都是重要的解題輔助工具；要關(guān)注思想方法的滲透，特別是化歸與轉(zhuǎn)化思想，它是三角恒等變形的主導(dǎo)思想【例】（2013年課標(biāo)卷理15）設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則 思路2：由題設(shè)當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，所以，則，所以，即，解得思路3： ，依題設(shè)得

13、，即，又，解得或當(dāng)時，；當(dāng)時，故滿足題設(shè)的是思路4： ，依題設(shè)得，即，又，所以（二）強化三角函數(shù)公式的記憶，關(guān)注公式的正用、逆用與公式的變形，提高三角函數(shù)求值和三角恒等變換問題的解題能力【指點迷津】理清三角函數(shù)求值的常見類型，特別是給角求值、給值求值問題給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)；給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用，同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的【例8】（2016年課標(biāo)卷文6）若，則A B C D【解析】本題考查了同角

14、三角函數(shù)關(guān)系、倍角公式等基本知識由，可知，即，又由，解得，由此可選擇余弦函數(shù)二倍角公式的任一種形式解決問題，如，選D【名師點睛】三角恒等變換是高考對三角函數(shù)考查的重點內(nèi)容在三角恒等變換中，一要熟悉公式正用、逆用，也要注意公式的變形，如，等；二要注意拆角、拼角的方法和技巧，如，等；三要關(guān)注常用的解題思路，如“1”的代換、“正切為弦”、“化異為同”等三角恒等變換的核心是角的變化，注意角的變化，靈活地選用三角公式是正確進(jìn)行三角恒等變換的關(guān)鍵【例9】（2016課標(biāo)卷文14）已知是第四象限角，且，則 思路3：思路4：展開求出，運用兩角和的正切公式因為，所以，因為是第四象限角，所以，解得，所以，故思路5：

15、 運用兩角和的正弦公式求出，再運用兩角和的正切公式因為，是第四象限角，所以，從而 ，所以，故（三）重視函數(shù)三種表征的理解和應(yīng)用【指點迷津】加強函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究突破三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的關(guān)鍵是識圖、用圖能力的形成以及利用三角公式進(jìn)行三角恒等變換能力的培養(yǎng)高考復(fù)習(xí)中，要重視對正弦型三角函數(shù)概念及正弦型三角函數(shù)三種表征的理解與轉(zhuǎn)換；重視對三角函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；重視基于三角函數(shù)的邏輯推理能力及運算求解能力的培養(yǎng)【例10】（2016年課標(biāo)卷理12）已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為A11 B9 C7 D5【解析】思路1 由正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性推出滿足的關(guān)系因為在單

16、調(diào)，所以區(qū)間不能包含函數(shù)的最值點，即，化簡得因為為的零點，為圖象的對稱軸，所以因此可得又，故或當(dāng)時，而且，可得的可能值為1，5，9；當(dāng)時，而且，可得的可能值為3，7，11驗證有一個最值點，不滿足題設(shè)；驗證滿足題設(shè)，故選B思路：由正弦型三角函數(shù)的零點及對稱軸分析與滿足的條件因為為的零點，為圖象的對稱軸，所以因此可得，又，故或因為在單調(diào)，所以區(qū)間不能包含函數(shù)的最值點，即，化簡得當(dāng)時，的可能值為1，5，9；當(dāng)時，的可能值為3，7，11驗證有一個最值點，不滿足題設(shè)；驗證滿足題設(shè)，故選B思路：畫出的示意圖如下：根據(jù)函數(shù)示意圖，因為因為在單調(diào)，因為為的零點，為圖象的對稱軸，所以因此可得，又，故或當(dāng)時，的可

17、能值為1，5，9；當(dāng)時，的可能值為3，7，11驗證有一個最值點，不滿足題設(shè)；驗證滿足題設(shè)，故選B【名師點評】在得到與的范圍后，容易把作為的最大值，這個錯誤的原因是在由零點與最值點推導(dǎo)與的過程，產(chǎn)生了增根，因此需要驗證由三角函數(shù)值的關(guān)系誘導(dǎo)的等式關(guān)系，往往產(chǎn)生增根，這是三角函數(shù)的基本性質(zhì)（周期性）導(dǎo)致的（四）強化正、余弦定理的合理應(yīng)用，理清量與量之間的關(guān)系【指點迷津】在解決三角形問題時，要高度關(guān)注：充分挖掘三角形中的隱含條件；熟練掌握正、余定理及幾種變形，合理選用公式；利用正、余弦定理求邊角時，尤其要關(guān)注其范圍的確定【例11】（2017年課標(biāo)卷理17）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

18、的面積為（1）求；（2）若，求的周長由余弦定理，可以得到，所以，因此，則，則的周長思路2：（1）因為的面積為，所以，即，由正弦定理得 ，所以（2）因為，所以，即，又，所以，則，則因為，所以，又，所以，由正弦定理得，則的周長（五）重視知識的交融交匯，切實提高綜合運用三角知識解決問題的能力【指點迷津】從高考對三角函數(shù)考查的試題來看，每一個試題都考查多個的知識點，如以三角求值為載體，綜合考查三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識和基本方法；以函數(shù)為依托，考查三角函數(shù)的三種表征，考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性、最值等基礎(chǔ)知識和基本方法內(nèi)容高考復(fù)習(xí)中，要關(guān)注三角函數(shù)知識

19、脈絡(luò)，重視知識的交融交匯，既要重視三角函數(shù)間的知識交匯，也要重視三角函數(shù)與其他知識領(lǐng)域的交匯，如三角函數(shù)與平面向量、三角函數(shù)與平面幾何、三角函數(shù)與指對數(shù)函數(shù)等知識的交融交匯等，讓學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上有新的收獲【例12】（2015年課標(biāo)卷文17） 中，D是BC上的點，AD平分BAC，（1）求 ；（2）若，求【解析】（1）思路1：由正弦定理得,，因為AD平分BAC，所以思路2：如圖，作，垂足分別為，則，由AD平分BAC，得，又，所以思路3： 由正弦定理得和之間的關(guān)系，進(jìn)而由余弦定理得和之間的關(guān)系由（1）和正弦定理得由余弦定理得，于是，即是直角三角形，所以思路4： 取的中點，連接，則可證明是等邊三角形

20、，是等腰三角形由（1）和正弦定理得，如圖，取的中點，連接，則，因為，所以是等邊三角形，從而，所以思路5： 如圖，延長至點，使，連接，由（1）由（1）和正弦定理得，因為，所以是等邊三角形，又因為是的中點，所以【新題好題訓(xùn)練】1已知函數(shù), 其圖象與直線相鄰兩個交點的距離為若對恒成立，則的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D2已知函數(shù)（ ）圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關(guān)于軸對稱，那么函數(shù)的圖象（ ）A. 關(guān)于點對稱 B. 關(guān)于點對稱C. 關(guān)于直線對稱 D. 關(guān)于直線對稱【答案】A3已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得到， 結(jié)合兩式得到.故答案為：C。4若函數(shù)的最大值為，則的