中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：動點路徑長問題的解法研究

1、類動點路徑長問題的解法研究 在近幾年的中考中頻頻出現(xiàn)由動點產(chǎn)生的求路徑長問題.這類問題的難點在于從動點(關(guān)聯(lián)點)的運動路徑不明確，而這正是解決問題的關(guān)鍵.本文通過一道典型題解法的探究，從中提煉模型，進而給出這類問題的通用解法. 問題 如圖1,己知線段，、是上兩點，且，是線段上一動點.在同側(cè)分別作等邊和等邊，為線段的中點，當(dāng)點由點移動到點時，點移動的路徑長度為 一、探究解法 1.準(zhǔn)確作圖 本題主動點是，從動點是。作圖要體現(xiàn)兩個方面，一方面要體現(xiàn)點的臨界位置(起點和終點)；另一方面要體現(xiàn)點的一般位置，如圖2.點由點移動到點，點、即為P運動的臨界點，此時點運動到、 在上任取一點，異于、，此時點運動到

2、 2.合理猜想 在同一張圖中畫出點的特殊位置、 ，一般位置，將不同的點位置連結(jié)起來，形成了對運動過程的直觀化，容易猜想點的運動路徑是一條線段.這一猜想是基于在同一張圖中畫出點的多個位置，每一個位置都要準(zhǔn)確無誤，這樣使得下一步的猜想更合理、更有價值，因此對作圖的要求很高. 3.嚴(yán)謹(jǐn)證明證法1 如圖3，過點分別作的垂線，垂足為。由梯形的中位線，得，由等邊三角形，得，而，所以因為點到的距離為定值，所以點的運動路徑為線段.如圖4，證法2 如圖5，延長交于點，可知四邊形為平行四邊形。因為為中點，所以為中點，所以的運動路徑為的中位線，易得 二、提煉模型 由上述第二種證法可知，點G的運動路徑之所以為的中位線

3、，關(guān)鍵在于始終是中點。由此可知只要/， /時，四邊形為平行四邊形，的運動路徑就是某個定三角形的中位線. 建立模型1 如圖6，己知線段，、是上兩點，且，是線段上一動點。分別以、為邊在線段的同側(cè)作、，滿足，為線段的中點，則點由點移動到點時，點移動的路徑長度為 建立模型2 如圖7，己知線段，、是上兩點，且，是線段上一動點，分別以、為邊在線段的兩側(cè)作、，滿足，為線段的中點，則點由點移動到點時，點移動的路徑長度為 分析如圖8，作點運動的臨界位置(與、重合)，/ / ， /。由平行四邊形性質(zhì)，可得. 因為點是中點，可得，因此點移動的路徑為線段. 過點作的平行線，交于點，則.在中，因此點移動的路徑長度為特別

4、地，當(dāng)時，點移動的路徑長度為 三、變式訓(xùn)練 1.如圖9，點、在線段上，且，C是線段上的動點。分別以、為斜邊在線段的同側(cè)作直角和直角，使，連結(jié)。設(shè)中點為，當(dāng)點從運動到點時，點的移動路徑長是 簡析 由題意可知/ ， / ，對應(yīng)模型1，點的移動路徑長是2. 5. 2.如圖10，已知線段，、是上兩點，且，是線段上一動點，在同側(cè)分別以和為直徑作半圓，點、分別為以和為直徑所作半圓的弧的中點，連結(jié)，點為線段的中點，則當(dāng)點由點移動到點時，點移動的路徑長度為 . 簡析 如圖11，連結(jié)，由為半圓弧的中點，可得/，/，對應(yīng)圖7所示模型，點移動路徑的長是2. 3.如圖12，四邊形是邊長為6的正方形，點、在邊上，且，點

5、是線段上的動點，分別以為邊在線段的同側(cè)作正方形和正方形，、分別為的中點，連結(jié).設(shè)的中點為，則當(dāng)點從運動到點時，點移動路徑的長是 . 簡析 如圖13，連結(jié)，可得/ ， / .對應(yīng)圖7所示模型，點移動路徑的長是=2. 4.如圖14，點，在線段上，且，是線段上的動點，分別以為邊在線段的同側(cè)作正方形和正方形，點是這兩個正方形的中心，連結(jié).設(shè)的中點為，則當(dāng)點從運動到點時，點移動路徑的長是 . 簡析 如圖15，連結(jié)，可得/ ，/ .對應(yīng)圖7所示模型，點移動路徑的長是3. 5.如圖16，點是線段上的動點，分別以為為邊向上、向下作正方形和正方形，設(shè)正方形對角線的交點分別為,當(dāng)點從運動到點時，線段中點的運動路徑長是 . 簡析 如圖17 ，和直角在AB的兩側(cè)，.對應(yīng)模型2，畫出如圖所示的圖形，的