大學數學(高數微積分)21Laplace變換課件(課堂講義)

1、ssss2.1Laplace變換本節(jié)內容一、問題的提出二、Laplace變換的概念三、Laplace變換的存在定理四、周期函數的Laplace變換五、小結 拉普拉（P.S.Laplace，1749-1827），法國著名的天文學家和數學家，天體力學的集大成者.拉普拉斯和拉格朗日、勒讓德.法國的3L:一、 問題的提出 對于一個函數j(t), 有可能因為不滿足Fourier變換的條件, 因而不存在Fourier變換.因此, 首先將j(t)乘上單位階躍函數 u(t), 這樣t小于零的部分的函數值就都等于零. 而大家知道在各種函數中, 指數函數 e-bt (b0) 的上升速度是最快的了, 因而 e-bt

2、下降的速度也是最快的. 幾乎所有的實用函數j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt的Fourier變換都存在.二、Laplace變換的概念對函數 取Fourier變換, 可得其中若再設則得定義:設函數 當 時有定義, 而且積分 在s的某一域內收斂, 則由此積分所確定的函數可寫為(s為一個復參量)函數的Laplace變換式二、Laplace變換的概念記作:的Laplace變換.若 是 的Laplace變換,則稱為 的Laplace逆變換.記作:稱為二、Laplace變換的概念例1解求單位階躍函數的Laplace變換.根據Laplace變換的定義, 有這個積分在 時收斂,

3、 而且有例2解求指數函數的Laplace變換(k為實數).根據 , 有這個積分在 時收斂, 而且有例2試求指數函數 的Laplace變換.練習:(k為實數)三、Laplace變換的存在定理Laplace變換的存在定理:若函數 f (t) 滿足:1)在t 0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù); 2)當t時, 的增長速度不超過某一指數函數, 即存在常數 及 , 使得成立.在半平面 上一定存在, 右端的積分在 上絕對收斂而且一致收斂, 并且在 的半平面內, 為解析函數.則 的Laplace變換三、Laplace變換的存在定理例3解求正弦函數的Laplace變換.(k為實數)根據 , 有同理得余弦函數的Lapl

4、ace變換例3例4求周期性三角波且 f(t+2b)=f (t)的Laplace變換.解根據 , 有例4 則 而例4 因此例4 當 時 從而例4例6解根據 , 求單位脈沖函數 的Laplace變換.利用性質:有四、周期函數的Laplace變換 設函數 的周期為 ,即 ,當 在一個周期上是分段連續(xù)的,則周期函數的Laplace變換公式注意: 滿足Laplace變換存在定理條件的函數 在 處有界時, 積分的下限取 或 不會影響其結果.證明:函數 在 處有界時, 積分為零故注意: 但當 在 處包含脈沖函數時,Laplace變換的積分下限必須明確指出是 還是 ,因為注意:故 考慮上述情況.將進行Laplace變換的函數 ,當 時有定義擴大為在 及 的任意一個鄰域內有定義.因此應為注意:例6解求函數的Laplace變換. 根據 , 有例6例7解一根據附錄,得到求 的Laplace變換.解二根據定義,由歐拉公式有從而得例7例8解在附錄中沒有現成的結果,但是求 的Laplace變換. 根據附錄可以得到例8五、小結思