比較二次根式大小的巧妙方法

1、比較二次根式大小的巧妙方法（總10頁）比較二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)內(nèi)容；而比較二次根式的大 小又是二次根式知識(shí)中的難點(diǎn)，也是中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見的題型，經(jīng)常會(huì)考到不查表、不求二 次根式的值，來比較幾個(gè)不含分母的二次根式的大小的問題。盡管教材上介紹了比較二次根式大 小的幾種基本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法等，盡管很多教輔材料中也總結(jié)了不少諸如 “作差”、“做商”、“有理化”、“取倒數(shù)”、“平方”等方法，但許多學(xué)生在考試中仍顯得 力不從心，并不清楚到底什么時(shí)候用哪種方法最合適？解答這類題目時(shí)缺少方法與對(duì)策，以至于 無從下手。下面就舉例介紹

2、幾種比較二次根式大小的有效方法。一、移動(dòng)因式法此法好學(xué)，適用。就是將根號(hào)外的正因式移入根號(hào)內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小。例1：比較而與-成防 的大小。解：-5面=-屋總-屈-615 = * 工15 =-540-庭-位.5 2應(yīng)二、運(yùn)用平方法兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為比較冪的大小。此法的依據(jù)是：兩個(gè)正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大的數(shù)就 大；兩個(gè)負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小。例2 :比較+媚+3-由與后E的大小。解：.J3+ 應(yīng)+ 】3-龍 72+1四、分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。例4 :比較 *也與 2J5 的大小 TOC o 1-5 h z 摹-面 _1_1解:. 3也

3、 一3據(jù)（2很+亦廣6媚十新豆二6而十床3/2-7n_1_1_123 - 2&誦十 局 口后&用十很04漆-面 3也-而.戒 灌五、求差或求商法求差法的基本思路是：設(shè)八&為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出席與石的差，再根據(jù)“當(dāng)山70時(shí)，就力；當(dāng)企一占二時(shí),0時(shí)，就力；當(dāng)企一占二時(shí),度二占；當(dāng)皿h 0時(shí)就 石”來比較就與力的大小。求商法的基本思路是：設(shè)八右為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出*與占的商，再根據(jù)“八為同號(hào)：保保保當(dāng)舌1時(shí)，* 占；舌二1時(shí)，皿二石； 1時(shí)，就 石。*也異號(hào)：正數(shù)大于負(fù)數(shù)”來比較就與的大小。7?廂成2 一眨例5 :比較書 龍的大小。/6-75 _ 2-2 _ （旅 _擂）嫗_（2_很醇解：.書

4、 很扼例6 ：比較流與誠的大小。六、求倒數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)行比較。例7 :比較也而-出碗與如城-插而的大小解.也g M =也麗+插瓦V2008 -V2007 - J2008+V20077+2008 72008+2007扁七、運(yùn)用媒介法此法是借助中間量（定量或變量）巧妙轉(zhuǎn)換達(dá)到直觀比較的方法，類似于解方程中的換元 法。例8:已知=構(gòu)卯654物必87654孫，眼g第&5432*9第&54322，試比較A場(chǎng)的大小。解：設(shè)饋654321,則&項(xiàng)心+3） =&+項(xiàng)工,日二 J3 + D3 + 2） = & +以+2+* 營+3工+2,.Jb+互 JJ+2，即 AB八、設(shè)特定值法如果要比較的二次

5、根式中含有字母，為了快速比較，解答時(shí)可在許可的條件下設(shè)定特殊值來 進(jìn)行比較。例9 ：比較Jm -石（公與擊+ 2 -g+i （以河）的大小 解：設(shè)g ,則：Jh+1 -也二 1 擊 + 2 - 二很一 1,九、局部縮放法如果要比較的二次根式一眼看不出有什么特點(diǎn)，又不準(zhǔn)求近似值，可采取局部縮放法，以確 定它們的取值范圍，從而達(dá)到比較大小的目的。例10 :比較2而與4+ 2丕的大小。解：設(shè)皿=2應(yīng)，由= 4 + 2旅.2足=厄,7妊 8，艮口 7就 84 + 2思= 4+Vf, 84+Vf9,即 8b9*、即 2Vi 小&-屁7 3m。，口0）”，利用此結(jié)論也可以比較一些二次根式的大?。ńY(jié)論證明見

6、文末）。例12 :比較1與后-招的大小。解：.1 = 5-4=妨-依，由Ju+g - Jb + u (就 b H 0 , u 0)可知： 而-行 必 + 2 - J1& + 2即屈_而77-面又.后-面局而.樣*際-而，即1扃而總的來說，比較二次根式大小的方法不僅僅局限于以上十種，除此之外諸如移項(xiàng)、拆項(xiàng)法， 類比推理法，數(shù)形結(jié)合法，數(shù)軸法，還有假設(shè)推理法等等，但不管使用哪種方法，都必須在掌握 二次根式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則上進(jìn)行，要根據(jù)問題的特征，二次根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，多角度地探 索思考，做到具體問題具體分析，針對(duì)不同問題采取不同的策略，另外還應(yīng)多做這方面的訓(xùn)練， 方能達(dá)到熟練而又快捷，運(yùn)用自如的

7、程度。附.成頂附.成頂 JTd 3 方丑0,0)”的證明。_ a b-ja -be 十 0 十口-ja -be 十 0 十口,aha-h有+也 皿+c +整+u.扁項(xiàng) 血+。-4 (就b 立 ， 口 0)【典題新練】：1、比較2上與3的大小；2、比較2 +思與占+ M的大小;3、比較的-上與右-成的大小;4、比較確-炳與I療-而的大??；5、比較涌與2很的大??；6、比較山+ 2-J#+1與也+ 1-&的大?。ㄆ渲戌鏋檎麛?shù)）-7、設(shè)招=/弭藝U4孫，號(hào)J54323活花22，試比較它們的大??；8、比較而與際+占的大??；9、比較而+2與47-2的大??；10、比較應(yīng)-應(yīng)與應(yīng)-面的大??；11、比較 20

8、08 - 72007 與 J2Q07 - J2QQ6 的大??；12、比較2而與3 +誠的大??；十十_+_十_13、比較思毒也把與芯的大小；14、比較出+必+】3 與而的大?。?5、若淤為正整數(shù)，試比較橇-沸與蛔準(zhǔn)一 2QQ9的大?。?6、比較73-1-3-75的大小；17、比較桓+后+ 2面與論的大小?！镜漕}新練參考答案:1、提示上=厄，3也=面2、提示：平方后再進(jìn)行比較。0+ 擂）5 + 475= 9+ 應(yīng) （容+ 艱V = 9 + 仲=9+ -屈 ,. 2+右 +*3、提示：可利用也-,/山+口-TT+7（*，0）。$_ 后 J5 + 2 - J3 + 2，即方 _捐由_成4、提示：分母有

9、理化后再進(jìn)行比較。而-扼=仿+的，龍=占+志，斤+萬+而,后北 2龍或+右）.戒或十脂 如g 十妗 ,孑-贓 賄-相 即戒 十1）二&十云十2了 + 衣妒 +3x+2U+3x+2A 盡，.8 + 2扼8+7.偵i）LM+府.而方+上 ,9、 提示：.2 川 3, 7 8,.痼+ 2 5 2 ,.痼+ 2 757- 210、提示：分子有理化后再進(jìn)行比較。2_2因?yàn)槎?厄二；BF,斤-而二切而，而命+如面+而22所以十屈 面十面，故屈-屈 而-面11、提示：分別求其倒數(shù)后，再進(jìn)行比較。一）= 7008 + J2007= J2007 +J2006.+7 .K-雨 頑-、頑 ,12、提示：.好=依，而7妊8,.2后的整數(shù)部分為7。同樣可得 乂擊12的整數(shù)部分為8,.2后 3+2,I11111111_5_13、提示：*克*3 +石,節(jié),+富+茂*苫+由=孑1111. Fmpw14、提示：平方后再比較大小。（3 +名心-妁 =6+22 = 10 （加尸=1115、提示：由偶次根式的定義得20。8-部上0 ,.漁E 2008 20