初二數學春季講義 第6講.平移和幾何最值問題.尖子班.教師版

1、知識互聯網 知識互聯網題型切片題型切片題型切片（三個）對應題目題型目標平移例1，例2，練習1；面積例3，例4，例5，練習2，練習3最值問題例6，例7，練習4，練習5編寫思路編寫思路本講內容主要分為三個題型，題型一為平移，主要是使相等或有特殊關系的線段通過平移構造到同一三角形或四邊形中，本題型中探討的例1主要是過中點平移，在本講起承上啟下的作用，既可以做上講的總結，也可以引入本講題型一；題型二的面積問題可以與多個知識點進行綜合，本講的側重點主要在于思路導航中的幾組面積之間的等量關系，題目較為靈活，綜合性強；最后是題型三最值問題，主要是“將軍飲馬”模型在四邊形部分的應用，同學們做起這部分題應該有一

2、種得心應手的感覺，題目難度不大，主要在立體圖形展開圖部分，老師需要重點強調要注意分類討論本講的最后一部分是2013年清華附中期末考試真題，本題實質為尋找三角形的費馬點，而找費馬點的過程即為旋轉的過程，其旋轉角為60，而60旋轉不論是在三角形還是四邊形中都為?？純热?，需要同學們熟練掌握此題在題干部分已提示作法，并通過兩問進行了逐步引導，具有很強的可操作性和訓練價值題型一：平移題型一：平移思路導航 思路導航若，并相交，平移與共頂點，會出現平行四邊形和等腰；若，無交點，平移與共頂點，同樣會產生平行四邊形和等腰例題精講 例題精講如圖所示，為等邊三角形，是內任一點，若的周長為12，則等于多少？過F作，過

3、D作，四邊形FPEN和四邊形MDPF是平行四邊形ABC是等邊三角形AFN和MBD是等邊三角形PF=MD=MB,PE=FN=AF,PD=FM 等邊周長為12PF+PD+PE=BM+MF+AF=AB=4典題精練 典題精練在中，點為所在平面內一點，過點分別作交于點，交于點，交于點如圖1，若在邊上，此時，可得結論： 當點在內部，如圖2，上述結論是否成立？請寫出你的結論并證明 當點在外部，如圖3， 題中的結論還成立嗎？直接寫出你的結論，不用證明結論不變，仍為 結論變化了，為兩問均可過點作交于點，得到平行四邊形和等腰如圖，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在平面上移動，始終保持EFAB，

4、線段CF的中點為M，DH的中點為N，則線段MN的長為( )ABCD（2013年八中期中）.【解析】如圖，B一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形 請解答下列問題： 寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱； 探究：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為60時，這對60角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論 （北京中考） 矩形或正方形或等腰梯形 結論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長已知：四邊形中，對角線、交于點，且求證：證明：過點作，在上截取，使，連接、故，四邊形是平行四邊形所以是等邊

5、三角形，所以當與不在同一條直線上時（如圖1），在中，有所以當與在同一條直線上時（如圖2），則因此綜合、，得即等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長【探究】平移的輔助線構造方法【探究一】平移共端點1. 兩線段相交有交點【變式1】如圖，則線段的長為 【解析】如圖，32. 兩線段相交無交點【變式2】如圖，則線段的長為 【解析】如圖，3. 過中點平移如例1【探究二】平移使重合1. 平行【變式3】已知平行四邊形對角線上有點，連接、，且，求證：平行四邊形是菱形【解析】如圖，四邊形為等腰梯形，對角線相等可得2. 共線【變式4】在凸四邊形ABCD中，BAD +

6、 CBA 180，點E、F為邊CD上的兩點，且DE = FC求證：AD + BC AE + BF【解析】 利用平移，如圖(1)，將ADE沿著DC的方向平移，使得DE和FC重合得到GFC，故AD + BC = GF + BC，AE + BF = GC + BF，可證AD + BC AE + BF .題型二題型二：面積 思路導航 思路導航上圖中的面積關系依次是：；典題精練 典題精練如圖，、三點共線，分別以、為邊向直線同側作正方形和，若AB=a，BC=b，則ADF的面積 （十一學校期中）如圖，在矩形中，過上一點分別作矩形兩邊的平行線和，那么圖中矩形的面積，矩形的面積 連接，可知，如圖，矩形內有一點

7、求證： ； 如圖1，過點作，分別交、于點、，同理可證 方法一：如圖1，在、中，方法二：如圖2，過點作且，連接、可知四邊形、是平行四邊形，利用任意對角線垂直的四邊形的對邊平方和相等的結論可得，即【備選】如圖，當點在矩形外時，SBPC、SPAD、SPAB、SPCD有什么關系？AP2、CP2、BP2、DP2 又有怎樣的數量關系？，證明方法同例題4正方形ABCD邊長為2，若P為BC邊上任意一動點（可與B、C重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別為F、G、E，請求出DE+CG+BF的最值，并說明理由，題型三：題型三：最值問題思路導航 思路導航最值問題主要是利用三大變換實現線段的集散，解題核心

8、思想：兩點之間線段最短；點到直線之間垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊典題精練 典題精練 如圖1所示，正方形的面積為，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（ ） A B C D 如圖2，邊長為6的菱形中，、分別為、邊上的動點，則的最小值為 （人大附期中） 如圖3，長方體的長為，寬為，高為，點離點的距離為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是（ ）A B C D 圖1 圖2 圖3 A分析： ，如圖，將點對稱到點，過點作垂線，垂足即為， 交于點 先把問題轉化成平面上兩點間線段最短問題故需要把長方體的表面展開，有三種可能：按右上展開按右

9、前展開按后上展開綜上，選B 真題賞析 真題賞析如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉60得到，連接證明：當點在何處時，的值最小，并說明理由；當的最小值為時，則正方形的邊長為 (2013清華附期末)是等邊三角形，.，即.又，（SAS）如圖，連接，當點位于與的交點處時，的值最小FEA DB CNMFEA DB CNM，.，是等邊三角形，.根據“兩點之間線段最短”，得最短當點位于與的交點處時，的值最小，即等于的長正方形的邊長為 過點作交的延長線于，906030.設正方形的邊長為，則，.在中， 解得，（舍去負值）.正方形的邊長為 【分析】本題實質為尋找三角形

10、的費馬點，而找費馬點的過程即為旋轉的過程，其旋轉角為60，而60旋轉不論是在三角形還是四邊形中都為?？純热荩枰瑢W們熟練掌握此題在題干部分已提示作法，并通過兩問進行了逐步引導，具有很強的可操作性和訓練價值，程度好的班級可適當拓展費馬點的相關知識點思維拓展訓練(選講)思維拓展訓練(選講)如圖，在中，點在上，且，在上，且，與相交于求證： 由45角想到等腰直角三角形，所以平移使其過點或點，或者平移使其過點或點，將離散的線段集中在特殊三角形中，就能解決問題方法一：如圖1，分別過、作、的平行線相交于點，連接，可得到弦圖模型的全等、平行四邊形以及等腰直角三角形，從而可證方法二：如圖2，分別過點、點作平行

11、線，可得、平行四邊形、等腰直角三角形從而可證方法三四：如圖3，4，分別過、點作平行線從而可證已知：如圖1，為邊長為2的等邊三角形，、分別為、中點，連接、將向右平移，使點與點重合；將向下平移，使點與點重合，如圖2設、的面積分別為、，則 （用“、”填空）已知：如圖3，設、的面積分別為、；問：上述結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 結論成立證明：如圖，延長到使，延長到使，連接，是等邊三角形，在上取點，使，在和中，同理可證：，由圖形可知：，即如圖，中，、是、上的點且求證：方法一：通過構造平行四邊形把和平移成共頂點的線段（如上圖，作中位線，利用斜邊大于直角邊）方法二：通過構造平行四邊

12、形平移，使得和共頂點下面寫出方法二的解析：（如下圖2） 過點作，且，連接、，又 即，當且僅當為的中位線時，取到等號另外，此題還可以如圖1，3，4那樣平移，每次均產生一個平行四邊形、一對全等三角形，和一個新的等腰三角形如圖，四邊形中，若，則必然等于請運用結論證明下述問題：如圖，在平行四邊形中取一點，使得，求證： 此題為信息題，難點在于如何理解已知條件，經觀察我們發(fā)現，若和，位置為時可得出和相等（本質為四點共圓）圖中，與關系并不像條件所示，因此，需要改變角位置，而這點可以通過構造平行四邊形來解決而構造平行四邊形，恰可以達到改變角位置作用，為使與成形，我們可有如下四種方法分別過點、作，交于點，連接，

13、 ， ，四邊形為平行四邊形 在四邊形中， 復習鞏固復習鞏固題型一 平移 鞏固練習如圖，將一塊斜邊長為12cm，的直角三角板，繞點沿逆時針方向旋轉90到的位置，再沿 向右平移，使點剛好落在斜邊上，那么此三角板向右平移的距離為_ 題型二 面積 鞏固練習如圖，ABCD中，、交于點，作，連結交于點，作，連結交于點，以此類推若，則的面積是 （2013人大附期中）如圖1，已知矩形ABCD中，點E是BC上的一動點，過點E作EFBD于點F，EGAC于點G，CHBD于點H，試證明CH=EF+EG；若點E在BC的延長線上，過點E作EFBD于點F，EGAC的延長線于點G，CHBD于點H，則EF、EG、H三者之間具有

14、怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想； 圖1證明：過E點作ENCH于N EFBD，CHBD，四邊形EFHN是矩形EF=NH，FHENDBC=NEC 四邊形ABCD是矩形，AC=BD，且互相平分DBC=ACB NEC =ACBEGAC，ENCH，EGC=CNE=90，又EC=EC，EGCCNEEG=CN CH=CN+NH=EG+EF 猜想題型三 最值問題 鞏固練習如圖，長方體的邊長為2，寬為，高為，螞蟻從點A沿著正方體的表面爬到點B，需要爬行的最短距離是 （假設下面能爬）前上（后下）兩面展開的最短距離一樣；前右（后左）兩面展開的最短距離一樣；下右（上左）兩面展開的最短距離一樣綜上，最短距離為如圖，點

15、位于內，點、分別是射線、上的動點，求的最小周長 分別作點關于、的對稱點、，連接、，顯然的周長，由兩點間線段最短，故的最小周長為，是等邊三角形，學會感恩一次，美國前總統(tǒng)羅斯福家失盜，被偷去了許多東西，一位朋友聞訊后，忙寫信安慰他，勸他不必太在意。羅斯福給朋友寫了一封回信：“學會感恩一次，美國前總統(tǒng)羅斯福家失盜，被偷去了許多東西，一位朋友聞訊后，忙寫信安慰他，勸他不必太在意。羅斯福給朋友寫了一封回信：“親愛的朋友，謝謝你來信安慰我，我現在很平安。感謝上帝：因為第一，賊偷去的是我的東西，而沒有傷害我的生命；第二，賊只偷去我部分東西，而不是全部；第三，最值得慶幸的是，做賊的是他，而不是我。”對任何一個人來說，失盜絕對是不幸的事，而羅斯福卻找出了感恩的三條理由。 在現實生活中，我們經常可以見到一些不停埋怨的人，“真不幸，今天的天氣怎么這樣不好”、“今天真倒霉，被老師罵了一頓”、“真慘啊，丟了錢包，自