淺談一階微分方程的初等解法

1、 方程整理得一3udx+2x(u2+2)du=0變量分離，再積分，整理得u4eu2二Cx3C為任意常數).證畢代回原變量，得原方程的通解y4exy2=C為任意常數).證畢dy”，ax+by+c、dydyy此外子=f(才)yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 x2-二f(xy)二xf(dxax+by+c，dxdxx2222,以及M(x,-)(xdx+ydy)+N(x,-)(xdy-ydx)二0(其中M,N為x,y的齊次函數，次數可以不相同)等一些類型的方程，均可以通過適當的變量變換化為變量分離方程。線性方程形如二P(x)-+Q(x)(2.28)dx的方程稱為一階線性微分方程，這里假設P(x),

2、Q(x)在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數。若Q(x)三0，(2.28)變?yōu)閷W=P(x)-(2.18)dx(2.18)稱為一階齊線性方程。若Q(x)豐0,(2.28)稱為一階非齊線性方程.(2.18)是變量分離方程，在上面的例8中求得它的通解為-=cep(x)-x(2.19)這里c是任意常數.現(xiàn)在主要討論非齊線性方程(2.28)的通解的求解方法:在(2.19)中,將常數c變易為x的待定函數c(x)，使它滿足方程(2.28),從而求出c(x).為此，令微分之,得到-=c微分之,得到-=c(x)eJP(x)dx二dc(x)eJP(x皿+c(x)P(x)eJP(x皿dxdx(2.29)(2.30)以(2.

3、29)(2.30)代入(2.28),得到dc(x)eJP(x)dx+c(x)P(x)eJP(x)dx=P(x)c(x)eJP(x)dx+Q(x)dx(2.31)即dcx二q(x)ep(x)dx積分后得到c(x)=JQ(x)eP(x)dxdx+c(2.31)dx1這里c1是任意常數，將(2.31)代入(2.29),得到y(tǒng)=eP(x)dx(JQ(x)eP(x)dxdx+)這就是方程(2.19)的通解.這種將常數變易為待定函數的方法，我們通常稱為常數變易法.例15求方程2xy二-x的解.dx解這是一階線性方程，按公式求解J丄dxe2x1Je2xdxdx+c=etlnlx1Je-2lnlxdx+c22

4、當x0時,當x0時,當xo時，方程還有解y=0.例17求方程竽=_-+a(Inx)y2的通解.dxx解這是n二2的伯努利方程令z二y_1算得眾=_y_2孚dxdxdzz代入原方程得到二一_aInxdxx這是線性方程，求得它的通解為z=xc_a(lnx)22代回原來的變量y代回原來的變量y,得原方程的通解為y=xc一一(lnx)2這里c是任意常數此外方程還有解y二0.x2例18x2例18求解二=+.dx2x2y解這是n=_1的伯努利方程令z二y2算得dz二2y字dxdx代入原方程得到二-+代入原方程得到二-+x2這是線性方程，求得它的通解為dxx,1z=Cx+x32代回原來的變量y代回原來的變量

5、y,得原方程的通解為C是任意常數).一階隱微分方程的初等解法一階隱微分方程一般形式可表為F(x,y,y)=一階隱微分方程一般形式可表為F(x,y,y)=01.3)3.1形如y二/x,dIdx丿3.1)類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法為：引進參數學二P，則(3.1)變?yōu)閥二f(x,p)dx3.2)將(3.2)兩邊對x求導數，并以字二p代入，得到p=f+詈字dxoxcpdx3.3)方程（3.3）是關于x,p的一階微分方程，但它的導數已解出于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解這里假設函數ffx,字有連續(xù)的偏導數。Idx丿若求得（3.3）的通解的形式為p=9（x,c）則得到（3.1）的通解為y=

6、/（x,9（x,c）若求得（3.3）的通解的形式為x=虹p,c）則得到（3.1）的通解為x(p,c)y=f(0(p,c),p)其中p則得到（3.1）的通解為x(p,c)y=f(0(p,c),p)其中p是參數，c是任意常數）若求得（3.3）的通解的形式為屮(x,p,c)=0則得到（3.1）的通解為屮(x,p,c)=0y=f(x,p)其中p是參數，c是任意常數）3.2形如x=ffy,dIdx丿3.4)類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法與方程（3.1）的求解方法完全類似。這里假設fy,字有連續(xù)的偏Idx丿導數。引進參數dy=p，則（3.4）變?yōu)閤=f（y,p）dx3.5)將（3.5）兩邊對y求導數

7、，然后以=丄代入，得到丄+f-dfdyppcyopdy3.6)dp方程（36）是關于y,p的一階微分方程，但它的導數石已解出于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解，于是我們可以按前面介紹的方法求出它的解設求得通解為0（y,p,c）=0則得（3.4）的通解為x=f(y,p)0(y,p,c)=03.3形如F（x,y）=0（3.7）類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法為：記p=y=dy從幾何的觀點看，F(xiàn)（x,p）=0代表xp平面上的dx(3.8)一條直線設把這條直線表為適當的參數形式，x=申(t),p=屮(t)(3.8)這里t為參數.再由沿方程(3.4)的任何一條積分曲線上，恒滿足基本關系dy二pd

8、x以(3.7)代入上式得dy二屮(t網(t)dt，兩邊積分得yJ屮(t)0(t)dt+c,于是得到方程(3.7)的參數形式的通解為x=的參數形式的通解為x=申(t)y=J屮(t)申(t)dt+c是任意常數).形如F(y,y)=0(3.9)類型的隱方程.這種類型的隱方程的解法與方程(3.7)的求解方法完全類似：記p=y，引入參數t，將方程Q(t).Q(t)表為恰當的參數形式：y=Q(t)，p=屮(t)由此得dx=dt，x=dt+c于是屮(t)屮(t)x=比dt+c屮(t)為方程的參數形式的通解，其中c為任意常數.y=Q(t)此外，不難驗證，若F(y,0)=0有實根y=k，則y=k也是方程的解.例

9、1x2例1求方程y=y2-xy+的解.厶x2解令y=p，得到y(tǒng)=p2-xp+一2兩邊對x兩邊對x求導并整理化簡后，得(2p-x)(字-1)=0dxTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark190 xx2取2p=x，得p=-代入上式的解y=-厶I HYPERLINK l bookmark412 取dp-1=0，即學=1，積分得p=x+C，代入上式得原方程的通解為dxdxC是任意常數)xC是任意常數)y=T+Cx+C2例2求方程y3-4xyy+8y2=0的解.解解出x得(3.10)令y=p，得(3.10)x二對y求導，并整理后得對y求導，并整理后得I2yp2丿dp取p34

10、y2二0，得p=(4y2)3，代入(3.10),得到解y二2x3厶/dpp小丄C22y2取于卡，得解p=Cy2，代入(3.io),得到解x=+-dy2y4C1將它寫成8y24Cx+C3=0，消去根號得64y=(4CxC3)2.C2令C=，則上式可以寫成較整齊形式y(tǒng)=C(xC)2.1411另外，y=0也是原方程的解.例3求方程X、汁+y2=y的解fx=sint解不顯含y，令|.y=tantfx=sint于是dy=tantdx=tantcostdt=sintdt，y=一cost+CC是任意常數)消去t得到通解為x2+(yC)2=1.C是任意常數)y=1例4求方程丐=2=1的解.1+y2dysinhtdt解令y=smht,y=cosht，于是dx=dt.ysinht從而x=t+C,由y=cosht,消去t,得到通解y=cosh(xC)(C為任意常數).通過上文的介紹，使我們了解了多種類型的一階微分方程的初等解法，特別是在介紹恰當方程的一般解法時又介紹了一種新的解法，這種新的解法淺顯