2023屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題突破-數(shù)列與不等式

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)試卷第 =page 5 5頁(yè)，共 =sectionpages 5 5頁(yè)2022年9月12日高中數(shù)學(xué)作業(yè)學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_一、單選題1已知數(shù)列滿足，令，若對(duì)于任意不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）ABCD2已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是其前和，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD3已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）ABCD4已知數(shù)列，滿足，若的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD5如圖是美麗的“勾股樹(shù)”，將一個(gè)直角三角形分別以它的每一條

2、邊向外作正方形而得到如圖的第1代“勾股樹(shù)”，重復(fù)圖的作法，得到如圖的第2代“勾股樹(shù)”，以此類推，記第n代“勾股樹(shù)”中所有正方形的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（）A7B8C9D106已知數(shù)列滿足，則（）ABCD7已知數(shù)列的首項(xiàng)是，前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（）ABCD8已知數(shù)列滿足，若對(duì)于任意，都有，則的取值范圍是（）ABCD9數(shù)列滿足，且，若，則的最小值為（）ABCD10已知函數(shù)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，使得恒成立，則的最小值是（）A2B3C4D511已知數(shù)列滿足，若，且存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）ABCD12若數(shù)列

3、的通項(xiàng)公式為，在一個(gè)行列的數(shù)表中，第行第列的元素為，則滿足的的最大值是（）ABCD13各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足其中數(shù)列的前項(xiàng)和為若恒成立，則的最小值為（）A8B9C10D2014已知數(shù)列，且滿足，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A若，當(dāng)時(shí)，有：B若，則C當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列D存在，使恒成立15對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“好數(shù)”，已知某數(shù)列的“好數(shù)”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則的取值范圍為（）ABCD16設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意，則的最小值為（）A3BC2D172021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)

4、和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)，這個(gè)政策就是我們所說(shuō)的“雙減”政策，“雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精疲力竭數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫(huà)法是這樣的：正方形的邊長(zhǎng)為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為，；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角

5、形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A從正方形開(kāi)始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為BC使得不等式成立的的最大值為4D數(shù)列的前項(xiàng)和18數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于任意的正整數(shù)n，都成立，且，則的最小值為（）A18B20C25D28二、填空題19已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.若對(duì)于任意的正整數(shù)，存在，使得恒成立，則的最小值是_.20已知數(shù)列滿足，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.21數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了 是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出.也就是說(shuō)不是質(zhì)數(shù)，這個(gè)猜想不成立設(shè) 是數(shù)列前n項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，則m的最大值是_22

6、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.答案第 = page 1 1頁(yè)，共 = sectionpages 2 2頁(yè)答案第 = page 15 15頁(yè)，共 = sectionpages 15 15頁(yè)參考答案：1D【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，利用裂項(xiàng)相消法，累加法求出，可得，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立求解即可.【詳解】，由累加法可得，又，符合上式，對(duì)于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D2A【分析】根據(jù)分類討論確定的表達(dá)式，再根據(jù)恒成立問(wèn)題的解法即可求出【詳解】當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式變形得，因?yàn)椋藭r(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式變形得，因?yàn)椋藭r(shí)符合題意；

7、當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則不等式變形得，即，若該不等式恒成立，則，即，所以設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)該不等式不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，若該不等式恒成立，只需，解得（舍去）或，綜上，；若為奇數(shù)，不等式變形得，滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A3C【分析】由已知得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此求得，然后利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.4D【分析】由求得，即得，把不等式分離變量變形后轉(zhuǎn)化為求新數(shù)列的最大項(xiàng)【詳解】由題意，時(shí)，綜上，題設(shè)不等式為，整理得，記，則，當(dāng)

8、時(shí)，時(shí)，所以是中的最大值，所以故選：D5C【分析】根據(jù)第1代“勾股樹(shù)”，第2代“勾股樹(shù)”中，正方形的個(gè)數(shù)，以此類推，得到第n代“勾股樹(shù)”中所有正方形的個(gè)數(shù)，即，從而得到求解.【詳解】解：第1代“勾股樹(shù)”中，正方形的個(gè)數(shù)為，第2代“勾股樹(shù)”中，正方形的個(gè)數(shù)為，以此類推，第n代“勾股樹(shù)”中所有正方形的個(gè)數(shù)為，即，所以，因?yàn)?，所以?shù)列為遞增數(shù)列，又，所以n的最小值為9故選：C6B【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出【詳解】，易得，依次類推可得由題意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；綜上：故選

9、：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.7C【分析】首先由數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求數(shù)列通項(xiàng)公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.【詳解】由，則當(dāng)時(shí)，得，兩式相減得，變形可得：，又，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，故，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項(xiàng)公式，即可得通項(xiàng)公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.8B【解析】利用排除法，將，代入驗(yàn)證排除，即可得

10、結(jié)果.【詳解】解：用排除法：當(dāng)時(shí)，明顯有，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，成立，綜上：對(duì)任意，都有；另外，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，排除CD；當(dāng)時(shí)，若，則，因?yàn)椋藭r(shí)是有可能的，故排除A，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性，值域，利用排除法可方便得出結(jié)果，是一道難度較大的題目.9B【分析】分析可知數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分析數(shù)列的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)乘以可得，所以，且，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差都為，則，所以，因?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始單調(diào)遞減，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，

11、；當(dāng)時(shí)，.所以，則的最小值為.故選：B.10A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式求出，再求和后即可求解.【詳解】函數(shù)，數(shù)列滿足，且，可知數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，因此，使得恒成立整數(shù)的最小值是2，故選：A11D【分析】根據(jù)題意，令，進(jìn)而證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故可得，在結(jié)合題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再求數(shù)列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.【詳解】，令，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，存在，使得成立，令得則，或，即，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：D12B【解析】求得關(guān)于的表達(dá)式，利用數(shù)列的單調(diào)性可求得滿足的的最大值.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在一個(gè)行列的數(shù)表中，第行第列的元素為，所以令，則

12、，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，所有的元素之和為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的最大值為，故選：B【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列不等式的求解，解題的關(guān)鍵在于求出關(guān)于的表達(dá)式，在求解數(shù)列不等式時(shí)，要充分結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解.13D【分析】先由題給條件求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前項(xiàng)和，再由恒成立構(gòu)造關(guān)于的不等式，即可求得的最小值【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 則時(shí)，則又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)都不為0，則又由，可得則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為則則數(shù)列的前項(xiàng)和又，即恒成立，則恒成立又當(dāng)時(shí)的最大值為20，則故選：D14B【分析】先

13、根據(jù)題目條件得到，及與的符號(hào)相同.選項(xiàng)A，在等式兩邊減去8，再變形得，代入求解即可；選項(xiàng)B，先確定數(shù)列為遞增數(shù)列，再算出，而后利用放縮法得到，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，當(dāng)時(shí)，有，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，利用與的符號(hào)相同可判定；選項(xiàng)D，分，和討論的范圍.【詳解】由題知，因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所以，兩式相減整理得，因?yàn)闀r(shí)，所以，與的符號(hào)相同，選項(xiàng)A：由得，若，則，所以.當(dāng)時(shí)，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：若，則，因?yàn)?，所以，依次類推有，所以?shù)列是遞增數(shù)列；又，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋源嬖谡麛?shù)，當(dāng)時(shí)，有此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，有，所以，從而有，依次類推可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?/p>

14、，從而有，依次類推可得，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)C的解析知，數(shù)列是遞減數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，由解得，又，所以，同理可推導(dǎo)，依次類推，有；當(dāng)時(shí)，由及得，同理可推導(dǎo)，依次類推，有；令為和中的最大者，則對(duì)恒成立，故選項(xiàng)D正確；故選：B.15D【分析】由，可得，時(shí)，將換為，相減可得，通過(guò)說(shuō)明數(shù)列為等差數(shù)列，對(duì)任意的恒成立可化為，求解即可【詳解】解：由題意，則，當(dāng)時(shí)，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)上式也成立，故，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，故對(duì)任意的恒成立可化為，；即，解得.故選：D16B【分析】由已知得.再求得，從而有數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再利用分

15、組求和的方法，以及等比數(shù)列求和公式求得，從而求得得答案.【詳解】解：由，得，.又由，得，又，.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，.對(duì)任意，的最小值為.故選：B.17C【分析】找到規(guī)律，得到，推導(dǎo)出等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，判斷B選項(xiàng)，進(jìn)而得到從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和，判斷A選項(xiàng)，得到的通項(xiàng)公式，解不等式，判斷C選項(xiàng)，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行判斷D選項(xiàng).【詳解】由題可得，則，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，則，顯然B正確；由題意可得：，即，于是，為等比數(shù)列，對(duì)A：連續(xù)三個(gè)正方形面積之和，A正確；對(duì)C：令，則，而，C錯(cuò)誤；對(duì)D：，D正確故選：C18D【分

16、析】令，根據(jù)得到，再由累加法得到，結(jié)合求解.【詳解】令，由得，即.又，即，即，.故選：D.193【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，運(yùn)用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，經(jīng)分析得到，若對(duì)于任意的正整數(shù)，存在，使得恒成立，則有，進(jìn)而求出的最小值.【詳解】數(shù)列滿足，且，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，以上各式相加，得又，若對(duì)于任意的正整數(shù)，存在，使得恒成立，則有，的最小值是3.故答案為：.20【分析】分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得，由參變量分離法可得出，利用數(shù)列的單調(diào)性求得數(shù)列的最大項(xiàng)的值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在等式兩邊同時(shí)除以可得且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，因?yàn)閷?duì)任意恒成立