最新高中數(shù)學(xué)教案教程6

1、高考考點(diǎn)1、對二項(xiàng)式定理的掌握與應(yīng)用：以二項(xiàng)展開式或多項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)的問題為主打試題；2、對二項(xiàng)展開式的性質(zhì)的掌握與應(yīng)用：二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和；組合多項(xiàng)式的求和等問題。知識要點(diǎn)1、定義 ，這一公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，其中1公式右邊的多項(xiàng)式叫做 的二項(xiàng)展開式；上述二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù) 叫做二項(xiàng)式系數(shù)，第r+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用 表示；2 叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式。2.認(rèn)知1二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)與功能二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開式共n+1二項(xiàng)式的指數(shù)+1項(xiàng)；指數(shù)：二項(xiàng)展開式各項(xiàng)的第一字母a依次降冪其冪指數(shù)等于相應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)的下標(biāo)與上標(biāo)的差，第二字母

2、b依次升冪其冪指數(shù)等于二項(xiàng)式系數(shù)的上標(biāo)，并且每一項(xiàng)中兩個(gè)字母的系數(shù)之和均等于二項(xiàng)式的指數(shù)n；系數(shù)：各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)下標(biāo)等于二項(xiàng)式指數(shù)；上標(biāo)等于該項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)減去1或等于第二字母b的冪指數(shù)；二項(xiàng)展開式的功能注意到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)均含有不同的組合數(shù)，假設(shè)賦予a，b不同的取值，那么二項(xiàng)式展開式演變成一個(gè)組合恒等式。因此，揭示二項(xiàng)式定理的恒等式為組合恒等式的“母函數(shù)，它是解決組合多項(xiàng)式問題的原始依據(jù)。又注意到在 的二項(xiàng)展開式中，假設(shè)將各項(xiàng)中組合數(shù)以外的因子視為這一組合數(shù)的系數(shù)，那么易見展開式中各組合數(shù)的系數(shù)依次成等比數(shù)列。因此，解決組合數(shù)的系數(shù)依次成等比數(shù)列的求值或證明問題，二項(xiàng)式公式也是不可或缺的理論依

3、據(jù)。2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對稱性：在二項(xiàng)展開式中，與首末兩項(xiàng)“等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。單調(diào)性：二項(xiàng)式系數(shù)數(shù)列在前半局部逐漸增大，在后半局部逐漸減小，在中間項(xiàng)取得最大值。其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) ， 相等，且最大。組合總數(shù)公式： 即二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于“一分為二的考察：二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即四、典型例題例1、 二項(xiàng)式 展開式中，末三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求此展開式中所有的有理項(xiàng)。解：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為由此得二項(xiàng)展開式中末三項(xiàng)的系數(shù)分別為 ， ，依題意

4、得注意到這里 ，故得n=8設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，那么有x的冪指數(shù) 為整數(shù)， r=0，4，8，這里T1，T5，T9為有理項(xiàng)，又由通項(xiàng)公式得： ， ，所求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)分別為 ， ，點(diǎn)評：二項(xiàng)展開式中關(guān)于某些項(xiàng)或某些項(xiàng)的系數(shù)問題，一般都要運(yùn)用通項(xiàng)公式。假設(shè) 為相對常數(shù)，x為變量，那么當(dāng)g(n,r)為自然數(shù)時(shí) 為整式項(xiàng)；當(dāng)g(n,r)為整數(shù)時(shí) 為有理項(xiàng)。例2、 的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于512，試求：1二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；2系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)；3系數(shù)最大的項(xiàng)。解：由題意得 n=10二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 1n=10，二項(xiàng)展開式共11項(xiàng)二項(xiàng)展開式的中間一項(xiàng)即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大又

5、所求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 2設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對值 最大，那么有 解之得 ，注意到 ，故得r=3第4項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大所求系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為 3由通項(xiàng)公式的特征可知，系數(shù)最大的項(xiàng)應(yīng)在項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)內(nèi)，即在r取偶數(shù)的各項(xiàng)內(nèi)又r取偶數(shù)0，2，4，6，8，10時(shí)，相應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)分別為 ， ， ， ，即分別為1， ， ， ， 由此可知，系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)(r=4)，即 點(diǎn)評：1解決二項(xiàng)式問題要注意區(qū)分兩種系數(shù)：一種是某一項(xiàng)的系數(shù)，按通常的多項(xiàng)式系數(shù)去理解、認(rèn)定；一種是某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，僅指這一項(xiàng)中所含的那個(gè)組合數(shù)。二者在特殊情況下方為同一數(shù)值。2這里 展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)，實(shí)際上是 展開式

6、中系數(shù)最大的項(xiàng)，必要時(shí)可適時(shí)轉(zhuǎn)化。3此題解法“一題兩制：對于2，我們運(yùn)用一般方法進(jìn)行推導(dǎo)；對于3，我們運(yùn)用認(rèn)知、列舉、比擬的方法導(dǎo)出目標(biāo)。當(dāng)指數(shù)n數(shù)值較小時(shí)，3的解法頗為實(shí)用。例3、 a0，b0，2m+n=0， ，且在 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，求 的取值范圍。解：設(shè)二項(xiàng)展開式中 為常數(shù)項(xiàng)，依題意令 那么將式 代入得 注意到這里 ，由得r=4展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 于是有 因此可知，所求 的取值范圍為例4、 求證：1 能被 整除 ；2證明：1為利用二項(xiàng)式定理，對 中的底數(shù)n變形為兩數(shù)之和或差。，且 ， 于是有 注意到 ，且 ，故 ，因此由式知 能被 整除；2證法一倒序相加法：設(shè)注意到二項(xiàng)

7、式系數(shù)的性質(zhì)：將式右邊各項(xiàng)倒序排列： +得 =即證法二分項(xiàng)求和法：注意到左邊各項(xiàng)的相同結(jié)構(gòu)，且各項(xiàng)的通項(xiàng)：據(jù)此變形左邊各項(xiàng)得左邊= = = 右邊 原等式成立點(diǎn)評：證明組合恒等式，除去利用二項(xiàng)公式這一組合的母函數(shù)外，上述兩種方法特別是證法二是根本證明方法。例5、設(shè) ，求展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和；展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和； 的值 的值 的值解：令注意到這里n=200，故展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和注意到 仿得 又 解法一直面原式： 又再由二項(xiàng)式的展開式知，點(diǎn)評：對于二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和或各偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和或其它有關(guān)多項(xiàng)式中系數(shù)的和，一般可根據(jù)問題的具體情況，對未知數(shù)x賦予適當(dāng)?shù)臄?shù)

8、值，運(yùn)用特取法求出和式的值。例6、 化簡以下各式1 ；2分析：注意到二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的特征： ，其中b的方冪與組合數(shù)上標(biāo)相同。為利用二項(xiàng)式公式求解，依次對原式實(shí)施湊因子和湊項(xiàng)，即使各項(xiàng)中有關(guān)因子的方冪等于組合數(shù)上標(biāo)，又使以原式為根底湊出的式子符合二項(xiàng)展開式的特征。解：1令x= ，那么 ，即故得2令x= ，那么由 得故得即點(diǎn)評：對于組合數(shù)系數(shù)成等比數(shù)列的組合式求和，一般是在適當(dāng)作以湊因子或湊項(xiàng)的構(gòu)造之后，運(yùn)用二項(xiàng)式公式本身化簡或求值。例7、 試求以下二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)：1 的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)；2 的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)；3 的展開式中 項(xiàng)的系數(shù)；4 的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)；5 的展開式中 項(xiàng)

9、的系數(shù)；解：1借助“配方轉(zhuǎn)化：原式 原展開式中 項(xiàng)的系數(shù)，即 展開式中 項(xiàng)的系數(shù)又 展開式的通項(xiàng)公式為 令 得r=3 展開式中 所求原展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為-960；2注意到 的冪指數(shù)3較小，借助“局部展開：原式展開式中 的系數(shù)為 =-5903解法一求和轉(zhuǎn)化：原式所求原展開式中 項(xiàng)的系數(shù)即為 展開式中 項(xiàng)的系數(shù)，所求展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為解法二集零為整：考察左式各部，展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為4解法一兩次利用二項(xiàng)式定理： 設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)為含有x的項(xiàng)，又 要使x的冪指數(shù)為1，必須且只需r=1即 而 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ，故得原展開式中x的系數(shù)為解法二利用求解組合應(yīng)用題的思路：注意到 欲求 展開式中x

10、的一次項(xiàng)，只要從上式右邊5個(gè)因式中有1個(gè)因式取3x，其余四個(gè)因式都取常數(shù)2即可。原展開式中x的一次項(xiàng)為所求原展開式中x的系數(shù)為240；5解法一兩次利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：注意到其展開式的通項(xiàng) 又 的展開式的通項(xiàng) 依題意 ， 由此解得 ， ，由、得所求展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為解法二利用因式分解轉(zhuǎn)化：所求即為 展開式中 的系數(shù)，于是利用“局部展開可得其展開式中 的系數(shù)為 =-168小結(jié)：多項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)系數(shù)的主要求法1等價(jià)轉(zhuǎn)化：配方轉(zhuǎn)化；求和轉(zhuǎn)化；分解轉(zhuǎn)化；化整為零。2局部展開；3兩次利用二項(xiàng)式定理或兩次利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；4借助求解組合應(yīng)用題的思想例8、 數(shù)列 的通項(xiàng) 是二項(xiàng)式 與 的展開

11、式中所有x的次數(shù)相同的各項(xiàng)的系數(shù)之和，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式。解：將 與 的展開式按升冪形式寫出 由可知，只有 的展開式中出現(xiàn) 的偶數(shù)次冪時(shí)，才能與 的展開式中x的次數(shù)相同。由、得所求數(shù)列 的通項(xiàng)公式為；其前n項(xiàng)和公式為 五、高考真題一選擇題1.在 的展開式中 的系數(shù)是 A. 14 B. 14 C. 28 D. 28分析：對于多項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的總數(shù)的尋求，“化整為零為根本方法之一， ，又 的展開式中 的系數(shù)為 ， 的系數(shù)為 原展開式中 的系數(shù)為 ，應(yīng)選B。2.設(shè)k=1，2，3，4，5，那么 的展開式中 的系數(shù)不可能是 A. 10 B. 40 C. 50 D. 80分析：立足于二項(xiàng)展

12、開式的通項(xiàng)公式：當(dāng)k=1時(shí)，r=4， 的系數(shù)為 ；當(dāng)k=2時(shí)，r=3， 的系數(shù)為 ；當(dāng)k=3時(shí)，r=2， 的系數(shù)為 ；當(dāng)k=4時(shí)，r=1， 的系數(shù)為 。綜上可知應(yīng)選C。點(diǎn)評：關(guān)于二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的問題，一般要利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式。3.在 的展開式中， 的項(xiàng)的系數(shù)為 A. 74 B. 121 C. 74 D. 121 分析：考慮求和轉(zhuǎn)化，原式又 的展開式中 系數(shù)為 的展開式中 系數(shù)為原展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為 ，應(yīng)選D。4.假設(shè) 展開式中含 項(xiàng)的系數(shù)與含 項(xiàng)的系數(shù)之比為-5，那么n等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10分析：設(shè)第r+1項(xiàng)是含 的項(xiàng)，又 這一項(xiàng)的系數(shù)為 ，且 再設(shè)第s+1項(xiàng)是含 的項(xiàng)，那么這一項(xiàng)的系數(shù)為 ，且 由、得 ，故 又由、得 化簡得 于是由、解得 n=6，r=4，應(yīng)選B。5.如果 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，那么展開式中 的系數(shù)是 A. 7 B. 7 C. 21 D. 21 分析：設(shè) ，那么 由得 ，解得n=7令 得r=6.，故所求系數(shù)為 ，應(yīng)選C。6.假設(shè) 的展開式的第3項(xiàng)為288，那么 的值是 A. 2 B. 1 C. D. 分析：由題設(shè) ，應(yīng)選A。二填空題1. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是用數(shù)字作答分析： 當(dāng) 得 r=2.，即所求常數(shù)項(xiàng)為240。2.假設(shè)在 展開式中 系數(shù)為-80，那么a=。解： 當(dāng)r=3時(shí)有 由題設(shè)得 a=-