高中數(shù)學(xué) 映射與函數(shù)

1、高中數(shù)學(xué) 映射與函數(shù)第1頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四 （2）象和原象：給定一個集合A到集合B的映射， 且aA，bB，如果元素a和元素b對應(yīng)，那么， 我們把元素b叫做元素a的 ，元素a叫做元素 b的 .2.函數(shù) （1）函數(shù)的定義 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān) 系f，使對于集合A中的 ，在集合B中 都有 ，稱f：AB為 從集合A到集合B的一個函數(shù).記作y=f(x),xA.x 的取值范圍A叫做函數(shù)的 ， 叫做函數(shù)的值域.象原象任意一個數(shù)x唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)定義域函數(shù)值的集合f(x)|xA第2頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四

2、 （2）函數(shù)的三要素 、 和 . （3）函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法： 、 、 .3.反函數(shù) （1）定義 函數(shù)y=f(x)（xA）中，設(shè)它的值域?yàn)镃，根據(jù)這 個函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出來，得到x= (y).如果對于y在C中的 ，通過x= (y)，x在A中都有 和它對應(yīng)，那么, x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這定義域值域?qū)?yīng)法則解析法列表法圖象法任何一個值唯一的值第3頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四樣的函數(shù)x=(y)(yC)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的 ，記作 ，習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示函數(shù)，把它改寫成 .（2）互為反函數(shù)的函數(shù)圖象

3、的關(guān)系函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線 對稱.反函數(shù)x=f -1(y)y=f -1(x)y=x第4頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四基礎(chǔ)自測1.設(shè)集合M=x|0 x2，N=y|0y2，那么下面 的4個圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的 有（） A. B. C. D.解析 由映射的定義，要求函數(shù)在定義域上都有圖象，并且一個x對應(yīng)著一個y，據(jù)此排除，選C.D第5頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四2.給出四個命題：函數(shù)是其定義域到值域的映射； f（x）= 是函數(shù)； 函數(shù)y=2x（xN）的圖象是一條直線； f（x）= 與

4、g(x)=x是同一個函數(shù). 其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析 由函數(shù)的定義知正確.滿足f（x）= 的x不存在，不正確.又y=2x（xN)的圖象是一條直線上的一群孤立的 點(diǎn)，不正確. 又f（x）與g（x）的定義域不同，也不正確. A第6頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四3.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是 （）第7頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四解析 排除A； 排除B；當(dāng) 即x1時,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故選D. 答案 D 第8頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四4.函數(shù)f(x)=3x+5,

5、x0,1的反函數(shù)f-1(x)= . 解析 y=3x+5, 又0 x1,5y8, f(x)的反函數(shù)為y第9頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四5.已知f（ ）=x2+5x,則f(x)= . 解析第10頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四題型一 求函數(shù)的解析式【例1】 （1）設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)，且圖象在y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為 ，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)滿足2f(x)+ =3x,求f(x). 問題（1）由題設(shè)f（x）為二次函數(shù)， 故可先設(shè)出f（x）的表達(dá)式，用待定系數(shù)法求解； 問題（2）已

6、知條件是一復(fù)合函數(shù)的解析式，因此 可用換元法；問題（3）已知條件中含x， ，可用 解方程組法求解. 題型分類 深度剖析思維啟迪第11頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四解 （1）f（x）為二次函數(shù)，設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a0)，且f(x)=0的兩根為x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.由已知得c=1.由、式解得b=2,a= ,c=1,f（x）= x2+2x+1.第12頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四第13頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四第14頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星

7、期四探究提高 求函數(shù)解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式；(2)拼湊法，對fg(x)的解析式進(jìn)行拼湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊的所有“g(x)”即可；(3)換元法，設(shè)t=g(x),解出x,代入 fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系數(shù)法，若已知f(x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值，確定相關(guān)的系數(shù)即可；(5)賦值法，給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式. 第15頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四知能遷移1 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）；(2)已知f（x）是一次

8、函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.解 (1) （2）設(shè)f（x）=ax+b（a0），則3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.第16頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四題型二 分段函數(shù)【例2】設(shè)函數(shù)f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關(guān)于x的方程f(x)=x解的個數(shù)為（）A.1 B.2C.3D.4 求方程f(x)=x的解的個數(shù)，先用待定系數(shù)法求f（x）的解析式，再用數(shù)形結(jié)合或解方程. 思維啟迪第17頁，共44頁，2022年，5

9、月20日，8點(diǎn)55分，星期四解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,x0時，顯然x=2是方程f(x)=x的解；x0時，方程f（x）=x即為x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.綜上，方程f（x）=x解的個數(shù)為3.答案 C 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵要抓住在不同的分段內(nèi)研究問題.如本例，需分x0時，f（x）=x的解的個數(shù)和x0時，f（x）=x的解的個數(shù).探究提高第18頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四知能遷移2 （2009山東理，10）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足則f(2 009)的值為（）A.-1 B.0 C

10、.1D.2 解析 當(dāng)x0時，f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x-1). f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x) f(x+6)=f(x). 即當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)的周期是6. 又f(2 009)=f(3346+5)=f(5), 由已知得f(-1)=log2 2=1，f(0)=0,f(1)=f(0)- f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1- (-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.C第19頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分

11、，星期四題型三 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例3】 （12分）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托 車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年 銷售量為1 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高 產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增 加的比例為x(0 x1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例為 0.75x, 同時預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.已知年 利潤=(出廠價-投入成本)年銷售量. （1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例 x的關(guān)系式；第20頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四（2）為使本年度利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 準(zhǔn)確理解

12、題意，構(gòu)建函數(shù)模型.解題示范解 （1）依題意，本年度每輛摩托車的成本為1+x(萬元)，而出廠價為1.2(1+0.75x) (萬元)，銷售量為1 000(1+0.6x) (輛).故利潤y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000(1+0.6x),4分整理得y=-60 x2+20 x+200 (0 x0, 8分即-60 x2+20 x+200-2000,即3x2-x0.10分解得0 x ,適合0 x1.故為保證本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范圍是0 x0,且a1)的反函數(shù)，且f(2)=1,則 f(x)= （ ） A. B.2x-2 C. D.log2x 解析 函數(shù)y=a

13、x(a0,且a1)的反函數(shù)是 f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2, 故f(x)=log2x.D第32頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四4.（2008山東）設(shè)函數(shù) 的值為（） 解析A第33頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四5.（2008陜西）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,則f(-3)等于（ ）A.2 B.3C.6D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201=f(0)+f(1),f(0)=0.f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1

14、)+2(-1)1=f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0.f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1=f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2.f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1=f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6. C第34頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四6.函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間1,2上存在反函數(shù)的 充要條件是（ ） A.a(-,1 B.a2,+) C.a1,2 D.a(-,12,+) 解析 由二次函數(shù)的對稱軸為x=a可得答案.D第35頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四二、填

15、空題7.某出租車公司規(guī)定“打的”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米 以內(nèi)為起步價8元（即行程不超過3千米，一律收費(fèi)8元），若超過3千米除起步價外，超過部分再按1.5元/千米收費(fèi)計(jì)價，若某乘客再與司機(jī)約定按四舍五入以元計(jì)費(fèi)不找零錢，該乘客下車時乘車?yán)锍虜?shù)為7.4，則乘客應(yīng)付的車費(fèi)是 元. 解析 車費(fèi)為8+（7.4-3）1.5=14.615（元）. 15第36頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四8.（2009北京文，12）已知函數(shù)若f(x)=2,則x= .解析 當(dāng)x1時，3x=2,x=log32;當(dāng)x1時，-x=2,x=-2(舍去). log32第37頁，共44頁，2022年，5月20日，8

16、點(diǎn)55分，星期四9.已知符號函數(shù)sgn x= 解析(x+1)sgn x2的解集是 .x|x1則不等式第38頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四三、解答題10.已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且 f(x)=x2+2x. （1）求g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)f(x)-|x-1|. 解 （1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點(diǎn)Q(x0，y0) 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P（x，y）， 第39頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四點(diǎn)Q（x0,y0）在函數(shù)y=f(x)的圖象上，-y=x2-2x，即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x.（2）由

17、g(x)f(x)-|x-1|可得:2x2-|x-1|0.當(dāng)x1時，2x2-x+10,此時不等式無解.當(dāng)x1時，2x2+x-10,因此，原不等式的解集為第40頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四11.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金 為3 000元時，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元. （1）當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時，能租出 多少輛車？ （2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司 的月收益最大？最大月收益是多少？第41頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四解 （1）當(dāng)每輛車的月租金定為3 600元時，未租出的車輛數(shù)為 ，所以這時租出了88輛車.（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月所以,當(dāng)x=4 050時,f(x)最大,最大值為f(4 050)=307 050. 即當(dāng)每輛車的月租金定為4 050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307 050元. 第42頁，共44頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)55分，星期四12.已