516 等差數(shù)列的認(rèn)識與計(jì)算提高(講師版)

1、 學(xué)科培優(yōu) 數(shù)學(xué)等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高授課日期學(xué)生姓名教師姓名授課時(shí)長知識定位本講知識點(diǎn)屬于計(jì)算板塊的部分，難度并不大。要求學(xué)生熟記等差數(shù)列各個(gè)公式，并在公式中找出對應(yīng)的各個(gè)量進(jìn)行計(jì)算。知識梳理一、等差數(shù)列的定義：若干個(gè)數(shù)排成一列，稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。例如：等差數(shù)列：3、6、996，這是一個(gè)首項(xiàng)為 3，末項(xiàng)為 96，項(xiàng)數(shù)為 32，公差為 3 的數(shù)列。注：一般情況下，等差數(shù)列是按照從小到大進(jìn)行排列的，有時(shí)會出現(xiàn)從大到小排列順序，此時(shí)

2、可以改變數(shù)列順序，從而讓數(shù)列變?yōu)閺男〉酱?，并避免出現(xiàn)公差小于零的情況。二、等差數(shù)列的相關(guān)公式： 通項(xiàng)公式：末項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)1）公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1求和公式：總和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2=平均數(shù)項(xiàng)數(shù)平均數(shù)公式：平均數(shù)（首項(xiàng)末項(xiàng)）2注：第一個(gè)公式中，有時(shí)會遇到求中間項(xiàng)、而非末項(xiàng)，此時(shí)可以截取一個(gè)新的數(shù)列，把該項(xiàng)作為“新的末項(xiàng)”，即可繼續(xù)用此公式。三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析1找出題目中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)。2必要時(shí)調(diào)整數(shù)列順序。四、競賽考點(diǎn)挖掘1找到數(shù)列規(guī)律。2適當(dāng)調(diào)整數(shù)列順序。例題精講【試題來源】【題目】2，5，8，11，14是按照規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，第21 項(xiàng)是多少？【答案】62【解析】此數(shù)列為一

3、個(gè)等差數(shù)列，將第 21 項(xiàng)看做末項(xiàng)。末項(xiàng)=2+（21-1）3=62【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題 【難度系數(shù)】1【試題來源】【題目】計(jì)算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【答案】78【解析】原式=（1+12）122= 78【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來源】【 】題目計(jì)算 11+12+13+14+15+16+17+18+19【答案】135【解析】原式=（11+19）92= 135【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1 【試題來源】【 】題目計(jì)算 100+99+98+97+96+

4、95+94+93+92+91+90【答案】1045【解析】原式=（100+90）112= 1045【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】1【試題來源】【 】題目把比 100 大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第 21 個(gè)是多少？【答案】141【解析】該數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為 101，公差為 2，第 21 個(gè)數(shù)的項(xiàng)數(shù)為 21.101+（21-1）2=141【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【 】題目已知一個(gè)等差數(shù)列第 9 項(xiàng)等于 131，第 10 項(xiàng)等于 137，這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)是多少？第 19 項(xiàng)是多少？ 【答案】83；

5、191【解析】公差=137-131=6131=首項(xiàng)+（9-1）6所以，首項(xiàng)=83末項(xiàng)（第 19 項(xiàng)）=83+（19-1）6=191【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【 】題目體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報(bào)數(shù)。如果冬冬報(bào) 17，阿奇報(bào) 150，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多 7，那么隊(duì)伍里一共有多少人？【答案】20【解析】首項(xiàng)=17，末項(xiàng)=150，公差=7項(xiàng)數(shù)=（150-17）7+1=20【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【 】題目已知一個(gè)等差數(shù)列第 8 項(xiàng)等于 50

6、，第 15 項(xiàng)等于 71.請問這個(gè)數(shù)列的第 1 項(xiàng)是多少？【答案】29【解析】71-50=2121（15-8）=3（公差） 50=首項(xiàng)+（8-1）3所以首項(xiàng)=29【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】一個(gè)數(shù)列共有 13 項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)小 7，并且末項(xiàng)為 125，求首項(xiàng)是多少？【答案】209【解析】將數(shù)列順序進(jìn)行調(diào)整：首項(xiàng)為 125，公差為 7，項(xiàng)數(shù)為 13.所以末項(xiàng)（所求的“首項(xiàng)”）=125+（13-1）7=209【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【 】題目已知等差數(shù)列 15，19，23，

7、27443，求這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是多少？【答案】216【解析】公差=19-15=4 項(xiàng)數(shù)=（443-15）4+1=108倒數(shù)第二項(xiàng)=443-4=439奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：15，23，31439，公差為 8，和為（15+439）542=12258偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：19，27，35443，公差為 8，和為（19+443）542=12474差為 12474-12258=216【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【 】題目建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第 2 層 6 塊磚 ，第 3 層 10 塊磚，依次每層都比其上面一層

8、多 4 塊磚，已知最下層 2106 塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？【答案】1054；555458【解析】項(xiàng)數(shù)=（2106-2）4+1=527因此，層數(shù)為奇數(shù)，中間項(xiàng)為（2+2106）2=1054數(shù)列和=中間項(xiàng)項(xiàng)數(shù)=1054527=555458所以中間一層有 1054 塊磚，這堆磚共有 555458 塊?！局R點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3 【試題來源】【 】題目把 248 分成 8 個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個(gè)數(shù)是多少？【答案】38【解析】平均數(shù)：2488=31第 4 個(gè)數(shù)：31-1=30第 1 個(gè)數(shù)：30-6=24末項(xiàng)：24+（8-1）2=38

9、即：最大的數(shù)為 38?！局R點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【 】題目求 99，89，88，79，77，69，11 這個(gè)數(shù)列的和【答案】928【解析】將該數(shù)列分解為兩個(gè)等差數(shù)列：99，88，7711；89，79，6919改變兩個(gè)數(shù)列順序并相加：（11+99）92=495（19+89）82=432495+432=928【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【 】題目在 289 和 715 之間插入 5 個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)列成為等差數(shù)列，求這 5 個(gè)數(shù)的和是多少？ 【答案】2510【解析】數(shù)列和=（289+715）72

10、=35143515-289-715=2510【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【 】題目小王和小高同時(shí)開始工作。小王第一個(gè)月得到 1000 元工資，以后每月多得 60 元；小高第一個(gè)月得到 500 元工資，以后每月多得 45 元。兩人工作一年后，所得的工資總數(shù)相差多少元？【答案】6990【解析】小王：1000+60（12-1）=1660（1000+1660）122=15960小高：500+45（12-1）=995（500+995）122=897015960-8970=6990即一年后兩人所得工資總數(shù)相差 6990 元?！局R點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算

11、提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】 【 】題目把 210 拆成 7 個(gè)自然數(shù)的和，使這 7 個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5，那么，第 1 個(gè)數(shù)與第 6 個(gè)數(shù)分別是多少？【答案】15；40【解析】由題可知：由 210 拆成的 7 個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為 2107=30，所以，這 7個(gè)數(shù)分別是 15、20、25、30、35、40、45.即第 1 個(gè)數(shù)是 15，第 6 個(gè)數(shù)是 40?！局R點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【試題來源】【 】題目100 個(gè)連續(xù)自然數(shù)（按從小到大的順序排列）的和是 8450，取出其中第 1 個(gè)，第 3

12、 個(gè)第 99個(gè)，再把剩下的 50 個(gè)數(shù)相加，結(jié)果是多少？【答案】4250【解析】我們考慮這 100 個(gè)自然數(shù)分成的兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列有相同的公差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大 1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大 50，又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?8450.所以，剩下的數(shù)的總和為（8450+50）2=4250?！局R點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【試題來源】 【 】題目求從 1 到 2000 的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。【答案】1000【解析】解法 1：可以看出，2，4，6，2000 是一個(gè)公差為 2 的等差

13、數(shù)列，1，3，5，1999 也是一個(gè)公差為 2 的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為 1000，所以：原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000解法 2：注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對應(yīng)項(xiàng)差 1，所以 1000 項(xiàng)就差了1000 個(gè) 1，即原式=10001=1000【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【試題來源】【 】題目在一次數(shù)學(xué)競賽中，獲得一等獎(jiǎng)的八名同學(xué)的分?jǐn)?shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，總分為656，且第一名的分?jǐn)?shù)超過了 90 分（滿分為 100 分）。已知同學(xué)們的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，那么第三名的分?jǐn)?shù)是多少？【答案】88【解析】他們的平均分為

14、 6568=8282+1、82+2、82+3都有可能成為第四名，相對應(yīng)的，公差分別為 12=2、22=4、32=6若第四名為 82+1=83 分，則第一名為 83+（4-1）2=89 分，不符合題意，舍；若第四名為 82+2=84 分，則第一名為 84+（4-1）4=96 分，不符合題意；若第四名為 82+3=85 分，則第一名為 85+（4-1）6=103 分，不符合題意。因此，第四名為 84 分，公差為 4，所以第三名為 84+4=88 分【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高 【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】4【試題來源】【 】題目把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請指出： 197 排在

15、第幾行的第幾個(gè)數(shù)？13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49 【答案】第 10 行第 18 個(gè)數(shù)【解析】197 是奇數(shù)中的第 99 個(gè)數(shù).數(shù)表中，第 1 行有 1 個(gè)數(shù).第 2 行有 3 個(gè)數(shù).第 3 行有 5 個(gè)數(shù)第幾行有 2行數(shù)-l 個(gè)數(shù)因此，前 n 行中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+（2行數(shù)-1）=1+（2行數(shù)-1）行數(shù)2=行數(shù)行數(shù)因?yàn)?99991010.所以，第 99 個(gè)數(shù)位于數(shù)表的第 10 行的倒數(shù)第 2 個(gè)數(shù)，即第 18 個(gè)數(shù)，即 197 位于第 10 行第 18 個(gè)數(shù)。【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和

16、計(jì)算提高【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】5 習(xí)題演練【試題來源】【題目】求值： （1）6+11+16+501 （2）101+102+103+104+999【答案】25350 ；494450【解析】25350；494450【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第 100 個(gè)算式的得數(shù)是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，【答案】699。【解析】699.【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】11 至 18 這 8 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和再加上 1992 后

17、所得的值恰好等于另外 8 個(gè)連續(xù)數(shù)的和，這另外 8 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？【答案】260?！窘馕觥?60.【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3 【試題來源】【題目】把 100 根小棒分成 10 堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應(yīng)如何分？【答案】分為 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19?！窘馕觥糠譃?1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】把一堆蘋果分給 8 個(gè)小朋友，要使每個(gè)人都能拿到蘋果，而且每個(gè)人拿到蘋果個(gè)數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應(yīng)該有幾個(gè)？【答案】36 個(gè)?！窘馕觥?6 個(gè)?！局R點(diǎn)】等差數(shù)列的認(rèn)識和計(jì)算提高【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】 下表是一個(gè)數(shù)字方陣，求表中所有數(shù)之和.1，2，3，4，5，698，99，1002，3，4，5，6，799，100，101 3，4，5，6，7，8100，101，102100，101，102，103，104，105197，198，199【答案】第一行平均數(shù)為（1+100）2=50.5，第二行為 51.5，第三行為 52.5每行平均數(shù)的公差為 1。第一行總和為 50.5100，第二行總和為 51.5100，第三行