幾代習(xí)題課若當(dāng)形參考答案

1、第 3 次課參考Exercise 1 設(shè) 是實數(shù)域上 3 維線性空間 V 的一個線性變換，它關(guān)于 V 的某個基的矩陣是63 241 210 5 3求 的極小多項式 m(x)，并將 m(x) 在 Rx 內(nèi)分解為兩個首項系數(shù)為 1 的不可約多項式的乘積：m(x) = m1(x)m2(x)；令 Wi = V|mi() = 0, i = 1, 2，證明：Wi 是 的不變子空在每一個子空間 Wi 中選取一個基，湊成 V 的基，使得 關(guān)于這個基的矩陣里只出現(xiàn) 3 個非零元素。解：間，并且 V = W1 W2；(1) 計算 的特征多項式，得到 fA() = ( 2)(2 + 1)，從而可以知道特征多項式與極

2、小多項式的不可約因子集相同極小多項式為：mA(x) = (x 2)(x2 + 1)故 m1(x) = x 2, m2(x) = x2 + 1。(2) W1, m1() = m1() = 0，即 W1，故 W1 是 的不變子空間。同理可證，W2 也是 的不變子空間。下面來證 V = W1 W2：已知存在 u(x), v(x) 使得 u(x)m1(x) + v(x)m2(x) = 1，即：Bezout 不等式u()m1() + v()m2() = V，上式兩邊同時對 作用，得到： = u()m1() + v()m2()又有：m2() (u()m1() = u()m() = 0m1() (v()m2

3、() = v()m() = 0故有：u()m1() W2，v()m2() W1。所以 W1 + W2，即 W1 + W2 = V。又對于任意的 W1 T W2， = = u()m1()+v()m2() = 0，TWW = 0所以，。12故 V = W1 W2。?2200011 0(3) 因為+ I = 0，所以 A 可以相似于 001。0 1 01需要在 W2 中選取一組基 2, 3，使得 限制在 W2 上的方陣表示?，即 2 = 3, 3 = 2。01為1 0注意到 W2 = Ker(2 + 1)，故只要 2, 3 滿足 2 = 3，便有 3 =22 = 2。13所以任取 2 = 1W2，令

4、 3 = 2 = 3W2，再051取 1 = 0 W1。2200可知 關(guān)于 (1, 2, 3) 的方陣表示為001。0 1 0Exercise 2 設(shè) 是 n 維復(fù)線性空間 V 上的線性變換，試證明存在可對角化的線性變換 和冪零變換 ，使得 = + ,且滿足 = 。如果已知 在 V 的某個基下的矩陣是3 1 12 2 12 20試求出 和 ，使得 = + 。解：設(shè) 在 V 的某個基下的矩陣是 A，特征多項式為f () = ( 1)n1 ( s)ns則存在可逆方陣 P ，使得 P 1AP = diag(A1, A2, . . . , As)，其中 Ai 為對應(yīng)特征根 i 的若當(dāng)塊，階數(shù)為 ni,

5、 i = 1, 2, . . . , s。令 D = P diag(1I, 2I, . . . , sI)P 1，N = P diag(A1 1I, A2 2I, . . . , As sI)P 1， 并設(shè) D 所對應(yīng)的線性變換為 ，N 所對應(yīng)的線性變換為 ，則 可對角化。令 n = max(n1, n2, . . . , ns)，則 Nn = 0，即 是冪零變換。通過它們的定義，顯然有 = + ，且 = 。3 1 1給定方陣 A = 2 2 1，計算得 | = ( 2) (2 1)。I A2 2011 = 1 對應(yīng)的特征向量為0， = 2 對應(yīng)的特征向量只有1。2211解方程 (A 2I)x

6、 =1 ，得到 x = 1。211 1 12 0 0于是 P =1 1 0 ， 的方陣表示為 P 0 2 0 P 1， 的方2 1 20 0 10 1 0陣表示為 P 0 0 0 P 1。0 0 02Exercise 3 設(shè) 是 n 維復(fù)線性空間 V 上的線性變換，舉一個 5 階矩陣為例，說明 的 r( n) 維不變子空間的一般方法。解：n 維復(fù)線性空間 V 上的線性變換 一定有 n 個特征根， 設(shè)它在基 1, 2, , n 下的矩陣是上三角陣 A = (aij)，其中 aij = 0，若 i j，則 L(1, 2, , r) 就了 V 的一個 r 維不變子空間。這是因為(b11+ +brr)

7、 = (b1a11+ +bra1r)1+(b2a22+ +bra2r)2+ +brarrr又若當(dāng)型即可。就是一類特殊的上三角陣，所以只需找一組基化成若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)例： 在基 1, 2, , n 下的矩陣為1 11 23 21 2A =1通過觀察，可以得出 L(5) 為一維不變子空間，L(1, 2), L(3, 4) 為二維不變子空間，L(1, 2, 5), L(3, 4, 5) 為三維不變子空間，L(1, 2, 3, 4)為不變子空間，V 為五維不變子空間。Exercise 4 試證明滿足 Am = I 的 n 階矩陣 A（其中 m 是某個正整數(shù)）相似于對角矩陣。證明：注意到 Am I = 0， 即

8、 xm 1 是化零多項式。又 xm 1 = 0 是沒有重根的，而 A 的極小多項式可以整除 xm 1，即 A 的極小多項式的根必為 xm 1 = 0 的根，所以 A 的極小多項式?jīng)]有重根。故 A 可以對角化。定理 4.24Exercise 5 設(shè) 是 n 維復(fù)線性空間 V 上的線性變換， 在基 1, 2, , n 下的矩陣是 A。(1) 怎樣求包含 1 的最小不變子空間？(2) V, 6= 0，怎樣求包含 的最小不變子空間？舉一個 4 階矩陣的例子，算一下。解：(1) 設(shè) V0 是包含 1 的不變子空間，則必有 A1 V0, A21 V0, 。因而 L(1, A1, , An11) V0。又

9、k n, Ak 必可由 1, A1, 線性表出，所以 L(1, A1, , An11) 就是包含 1 的最小不變, An11子空間。實際上，取 1, A1, , An11 的一個極大線性無關(guān)組來表示即可。(2) 與上面的方法類似，但是要首先寫出 在 1, 2, , n 下的坐標(biāo)，然后再計算 1, A1, , An11。例：變換 在10111111 =, =, =, =1020314100013下的矩陣是1111111A = 04131令 =則首先要寫出 在 , , , 下的坐標(biāo)，2123411125123717然后計算 A =A =A =，2，3，2512000由于 , A, A2 線性無關(guān)而

10、 , A, A2, A3 線性相關(guān)，故包含 的最小不變子空間為 L(, A, A2)。Exercise 6 設(shè) N1 和 N2 都是 3 階冪零矩陣。證明 N1 與 N2 相似當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的極小多項式。如果 N1 和 N2 都是 4 階冪零矩陣，上述論斷是否還成立？為什么？舉出兩個 4 階冪零矩陣說明之。證明：(1) 因為 3 階冪零矩陣的若當(dāng)只有以下三種形式： 0 0 001 00 1 00 0 0,00 0,0 0 10 0 000 00 0 0它們對應(yīng)的最小多項式分別為 x, x2, x3 互不相同。所以 N1 與 N2 有相同的最小多項式 它們具有相同的若當(dāng)它們相似(2) 4 階

11、時，上面的結(jié)論就不成立了。0 100 10例： 和 是兩個不同的若當(dāng)，00 100但它們具有相同的最小多項式 x2。Exercise 7 設(shè) 6 階復(fù)方陣 A 的特征多項式為 f (x) = (x 2)2(x + 3)4，極小多項式為 m(x) = (x 2)(x + 3)3，試寫出 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形。如果極小多項式為 m(x) = (x 2)(x + 3)2，A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形有幾種可能的形式？解：(1) A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為223131334(2) 共有兩種可能：22223131和3333133Exercise 8 設(shè)2000006 1 1A = 0010001求可逆矩陣 P 和 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 J ，使得 P 1AP = J 。解：0010