不定積分知識點復(fù)習(xí)課件

1、不定積分知識點復(fù)習(xí)課件不定積分知識點復(fù)習(xí)課件知識總述原函數(shù)與不定積分概念不定積分性質(zhì)不定積分基本解法習(xí)題小結(jié)知識總述原函數(shù)與不定積分概念不定積分性質(zhì)不定積分基本解法習(xí)題 一, 知識總述 前面我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)微分學(xué). 但在實際的科學(xué)領(lǐng)域中, 我們常常遇到與此相反的問題: 即尋求一個(可導(dǎo))函數(shù), 要求其導(dǎo)數(shù)等于一個已知函數(shù). 這樣就產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學(xué). 積分學(xué)分為不定積分和定積分兩部分. 本章我們學(xué)習(xí)的是不定積分, 先從導(dǎo)數(shù)的逆運算引出不定積分的概念. 然后介紹了其性質(zhì), 最后系統(tǒng)地介紹一些常用的積分方法. 返回 一, 知識總述 前面我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)微分學(xué).不定積分的基本概念和性質(zhì)-理解基

2、本積分公式-熟記分部積分法和換元積分法-熟練運用換元積分法-如何做變量代換分部積分法-如何選取分部積分公式中的“u”和“v”難點：重點：分部積分公式: 返回不定積分的基本概念和性質(zhì)-理解基本積分公式-熟記基本要求正確理解原函數(shù)和不定積分概念熟記基本積分公式熟練地運用換元積分法和分部積分法能用待定系數(shù)法求基本的有理函數(shù)積分 返回基本要求正確理解原函數(shù)和不定積分概念熟記基本積分公式熟例定義： 二, 原函數(shù)與不定積分概念 返回例定義： 二, 原函數(shù)與不定積分概念 返回若存在可導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)的研究須討論解決下面兩個問題(1) 是否任何一個函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子則由的定義關(guān)于原函數(shù)的說明： 返

3、回若存在可導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)的研究須討論解決下面兩個問題(1) 是（左、右極限存在且相等）而已知這樣得到矛盾.這說明沒有原函數(shù). 既然不是每一個函數(shù)都有原函數(shù), 那么具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)? 連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù). 對此我們有如下的結(jié)論: 返回（左、右極限存在且相等）而已知這樣得到矛盾.這說明沒有原函數(shù)（2）原函數(shù)是否唯一? 若不唯一, 它們之間有 什么聯(lián)系? 若 ，則對于任意常數(shù) ，若 和 都是 的原函數(shù)，則（ 為任意常數(shù)） 返回（2）原函數(shù)是否唯一? 若不唯一, 它們之間有若 任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量 為求不定積分,只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù),再加上積分常

4、數(shù)即可. 返回任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量 例1 求解:解:例2 求 返回例1 求解:解:例2 求 返回例3 設(shè)曲線通過點(1，2), 且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線方程.解:設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為 返回例3 設(shè)曲線通過點(1，2), 且其上任一點處的切線斜率由不定積分的定義，可知微分運算與求不定積分(不考慮后面的常數(shù)C )是逆運算。結(jié)論： 返回由不定積分的定義，可知微分運算與求不定積分(不考慮后面的常數(shù)此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況 三, 不定積分的性質(zhì) 返回此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況

5、三, 不定積分的性質(zhì)即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合. 注意到上式中有n個積分號, 形式上含有n個任意常數(shù), 但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù), 故實際上只含有一個任意常數(shù). 結(jié)合結(jié)論(1)與(2), 我們可以得到 返回即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合. 注意到上式實例提問: 能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？ 既然積分運算和微分運算是互逆的, 因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式. 四, 不定積分的基本解法 返回實例提問: 能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？ 既然積分基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為 返回基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為 返回 返回 返回 以上13個公式是求不定積

6、分的基礎(chǔ), 稱為基本積分表, 必須熟練掌握. 返回 以上13個公式是求不定積分的基礎(chǔ), 稱為基本積分表,例4 求積分解:根據(jù)積分公式（2） 返回例4 求積分解:根據(jù)積分公式（2） 返回例5 求積分解:注1, 從該題中我們可以看出熟記基本積分表的重要性.2, 檢驗積分結(jié)果是否正確, 只要把最后的結(jié)果求導(dǎo), 看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù). 返回例5 求積分解:注1, 從該題中我們可以看出熟記基本積分(第一類換元法)例6 求積分解:原式 令u=2x+1,上式 返回(第一類換元法)例6 求積分解:原式 令u=2x+1令(第二類換元法)例7 求積分那么解:原式 返回令(第二類換元法)例7 求積分那么解:原式

7、 返回考慮公式(分部積分法)例8 求積分那么解: 原式 將看做公式中的看做公式中的 返回考慮公式(分部積分法)例8 求積分那么解: 原式 例9 求積分解: 原式(有理函數(shù)積分法) 返回例9 求積分解: 原式(有理函數(shù)積分法) 返回解:所求曲線方程為 返回解:所求曲線方程為 返回說明求不定積分時一定要加上積分常數(shù), 它表明一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個, 即要求的是全體原函數(shù), 若不加積分常數(shù)則表示只求出了其中一個原函數(shù).寫成分項積分后, 積分常數(shù)可以只寫一個.積分的結(jié)果在形式上可能有所不同, 但實質(zhì)上只相差一個常數(shù). 返回說明求不定積分時一定要加上積分常數(shù), 它表明一個函數(shù)的原函求下列不定積分. 五, 習(xí)題 返回求下列不定積分. 五, 習(xí)題 返回 不定積分作為高等數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容,前后連接著導(dǎo)數(shù)(或微分)與定積分的內(nèi)容. 它既是求導(dǎo)思想的逆向運用, 也是定積分的基礎(chǔ). 同時它本身在數(shù)學(xué), 物理等領(lǐng)域的實