初中數(shù)學(xué)華東師大九年級(jí)上冊(cè)（2023年新編）第24章 解直角三角形解直角三角形

1、 解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題 （一）是否有影響問(wèn)題：例1.如圖，點(diǎn)A是一個(gè)半徑為300米的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B、C兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在B、C兩村莊之間修一條長(zhǎng)為1000米的筆直公路將兩村連通經(jīng)測(cè)得ABC=45，ACB=30，問(wèn)此公路是否會(huì)穿過(guò)森林公園？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明例2.高考英語(yǔ)聽力測(cè)試期間，需要杜絕考點(diǎn)周圍的噪音如圖，點(diǎn)A是某市一高考考點(diǎn)，在位于A考點(diǎn)南偏西15方向距離125米的C處有一消防隊(duì)在聽力考試期間，消防隊(duì)突然接到報(bào)警電話，告知在位于C點(diǎn)北偏東75方向的F點(diǎn)處突發(fā)火災(zāi)，消防隊(duì)必須立即趕往救火已知消防車的警報(bào)聲傳播半徑為200米，若消防車的警報(bào)聲對(duì)聽力測(cè)試造成影響，則消防

2、車必須改進(jìn)行駛，試問(wèn)：消防車是否需要改道行駛？請(qǐng)說(shuō)明理由（取）例3.某號(hào)臺(tái)風(fēng)的中心位于O地如圖，某臺(tái)風(fēng)中心位于O地，臺(tái)風(fēng)中心以25千米時(shí)的速度向西北方向移動(dòng)，在半徑為240千米的范圍內(nèi)將受影響城市A在O地正西方向與O相距320千米處，試問(wèn)A城市會(huì)遭受此次臺(tái)風(fēng)的影響嗎？若受影響，請(qǐng)你算出受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)跟進(jìn)練習(xí)：1.如圖，大海中某燈塔P周圍10海里范圍內(nèi)有暗礁，一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60方向，該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45方向如果海輪繼續(xù)向正東方向航行，會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？試說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：)2.如圖，某貨船以20海里時(shí)的速度將一批重要物資由

3、A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí).接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里時(shí)的速度由A向北偏西60方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響.(1)問(wèn)：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：， 3.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30方向往

4、C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響：（1）該城市是否會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間會(huì)有多長(zhǎng)？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)? (二)是否有拆除問(wèn)題：例題1.（2023黔南州）如圖是一座人行天橋的示意圖，天橋的高度是10米，CBDB，坡面AC的傾斜角為45為了方便行人推車過(guò)天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面DC的坡度為i=若新坡角下需留3米寬的人行道，問(wèn)離原坡角（A點(diǎn)處）10米的建筑物是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)：，）變式：（2023廣安）如圖是一座人行天橋的示意圖，天橋的高是10米，坡面的傾斜角為

5、45，為了方便行人安全過(guò)天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面的傾斜角為30若新坡腳前需留米的人行道，問(wèn)離原坡腳10米的建筑物是否需要拆除？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：，）跟進(jìn)練習(xí)：1.（2023.廣西）如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，AD與地面的夾角為60為了提高傳送過(guò)程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45成為37，因此傳送帶的落地點(diǎn)B到點(diǎn)C向前移動(dòng)了2米（1）求點(diǎn)A與地面的高度；（2）如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米，那么請(qǐng)判斷距離D點(diǎn)14米的貨物是否需要搬走，并說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：sin37 ，cos37 ，tan37 ，）2.（2023.安徽）如圖是某滑板愛好者訓(xùn)練時(shí)的

6、斜坡示意圖，出于安全因素考慮，決定將訓(xùn)練的斜坡的傾角由45降為30，已知原斜坡坡面AB的長(zhǎng)為5米，點(diǎn)D、B、C 在同一水平地面上改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB會(huì)加長(zhǎng)多少米？（精確到） （2）若斜坡的正前方能有3米長(zhǎng)的空地就能保證安全，已知原斜坡AB的前方有6米長(zhǎng)的空地，進(jìn)行這樣的改造是否可行？說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：，） (三)大壩問(wèn)題：例題1.（2023資陽(yáng)）一座建于若干年前的水庫(kù)大壩的橫斷面如圖所示，其中背水面的整個(gè)坡面是長(zhǎng)為90米、寬為5米的矩形現(xiàn)需將其整修并進(jìn)行美化，方案如下：將背水坡AB的坡度由1：改為1：；用一組與背水坡面長(zhǎng)邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地

7、種草與栽花（1）求整修后背水坡面的面積；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么種植花草至少需要多少元？ 例題2.（2023眉山）如圖，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江邊一處長(zhǎng)500米，高10米，背水坡的坡角為45的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進(jìn)行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：（1）求加固后壩底增加的寬度AF；（2）求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米？（結(jié)果保留根號(hào)）例題3.為防止特大洪水沖擊而加固險(xiǎn)工險(xiǎn)段，如圖28-20，原大壩高23m，背水坡AB的坡度tanB=,臨水坡CD的坡度

8、tanC=1，現(xiàn)要將大壩加高2m，背水坡和臨水坡的坡度與原來(lái)相同，壩頂寬仍為4m，（1）求應(yīng)距壩底B多遠(yuǎn)處施工？ （2）已知堤壩總長(zhǎng)度為3000米，求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米？（結(jié)果保留根號(hào)）例題4.（2023重慶）某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中ABCD瞭望臺(tái)PC正前方水面上有兩艘漁船M，N，觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)漁船M的俯角=31，觀測(cè)漁船N的俯角=45已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為點(diǎn)E，PE長(zhǎng)為30米（1）求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；（2）已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度i=1：為提高大壩防洪能力，某施工隊(duì)在大壩的背水

9、坡填筑土石加固，加固后壩頂加寬3米，背水坡FH的坡度為i=1：施工12天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來(lái)的倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：tan31，sin31）跟進(jìn)練習(xí)：1.（2023泰州）如圖，某堤壩的橫截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tan）為1：，壩高為5米，現(xiàn)為了提高堤壩的防洪抗洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂CD加寬1米，形成新的背水坡EF，其坡度為1：，已知堤壩總長(zhǎng)度為4000米（1）求完成該工程需要多少土方？（2）該工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)合作完成按原計(jì)劃需要20天

10、準(zhǔn)備開工前接到上級(jí)通知，汛期可能提前，要求兩個(gè)工程隊(duì)提高工作效率，甲隊(duì)工作效率提高30%，乙隊(duì)工作效率提高40%，結(jié)果提前5天完成問(wèn)這兩個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天各完成多少土方？ 2.城市規(guī)劃期間，欲拆除一電線桿AB（如圖），已知距電線桿AB水平距離14米的D處有一大壩，背坡CD的坡度i=2：1，坡高CF為2米，在壩頂C處測(cè)得桿頂仰角為30，D、E之間是寬為2米的人行道，試問(wèn)：在拆除電線桿AB時(shí)，為確保行人安全，是否需要將此人行道封上？并說(shuō)明理由（在地面上，以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槲ｋU(xiǎn)區(qū)域，）3.為了灌溉農(nóng)田，某鄉(xiāng)利用一土堤修筑一條渠道，在堤中間挖出深為，下底寬為2m，坡度為1：的渠道

11、（其橫斷面為等腰梯形），并把挖出的土堆在兩旁，使土堤的高度比原來(lái)增加了，如圖所示，求：（1）渠面寬EF；（2）修400m長(zhǎng)的渠道需挖的土方數(shù)4.如圖，某水庫(kù)大壩的橫斷面是等腰梯形，壩頂寬AD=6m，壩高AG=10m，斜坡AB的坡度是i=1:2，現(xiàn)在加高2m ，在壩頂寬度和斜坡坡度均不變的情況下，加固成一條長(zhǎng)100m的大壩，需要多少土方 ?5.如圖所示，某縣為加固長(zhǎng)為90m，高為5m，壩頂寬為4m，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的橫斷面是梯形的防洪大壩，現(xiàn)要將大壩加高1m，背水坡坡度改為1：，已知迎水坡坡度不變，壩頂寬不變（1）大壩橫截面的面積增加了多少平方米？（2）要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成此次工程，

12、如果甲隊(duì)單獨(dú)做將拖延10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做將拖延6天完成.現(xiàn)在甲隊(duì)單獨(dú)工作2天后，乙隊(duì)加入一起工作，結(jié)果提前4天完成，則原來(lái)規(guī)定多少天完成？6.如圖所示，某縣為加固長(zhǎng)為90m，高為5m，壩頂寬為4m，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的橫斷面是梯形的防洪大壩，現(xiàn)要將大壩加高1m，背水坡坡度改為1：，已知迎水坡坡度不變，壩頂寬不變?nèi)粞厮畮?kù)攔水壩的背水坡，將壩頂加寬2m，坡度由原來(lái)的12改為1。已知壩高為6m，壩長(zhǎng)90m，加寬部分橫斷面的面積是多少？ (4) 影子問(wèn)題 （一）太陽(yáng)光下的影子1影子全落在地面上例1.某天同時(shí)同地，甲同學(xué)測(cè)得的竹竿在地面上影長(zhǎng)為，乙同學(xué)測(cè)得國(guó)旗旗桿在地面上的影長(zhǎng)為，則國(guó)旗旗

13、桿的高為多少米？2影子有一部分落在豎直的墻壁上2米米 例2.趙亮同學(xué)想利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖4，他在某一時(shí)刻立1米長(zhǎng)的標(biāo)桿測(cè)得其影長(zhǎng)為米，同時(shí)旗桿的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墻上，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為米和2米，則學(xué)校旗桿的高度為_米3.影子有一部分落在一個(gè)臺(tái)階上例3興趣小組的同學(xué)要測(cè)量樹的高度在陽(yáng)光下，一名同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為米，同時(shí)另一名同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上，測(cè)得此影子長(zhǎng)為米，一級(jí)臺(tái)階高為米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長(zhǎng)為米，則樹高為多少米？4.影子有一部分落在多個(gè)臺(tái)階上例4.如圖，有一朝西下降

14、的階梯，陽(yáng)光從正西邊照過(guò)來(lái)，在距離階梯6米處有一根柱子，其影子的前端恰好到達(dá)階梯的第三階。此外，樹立一根長(zhǎng)70cm的桿子，測(cè)量其影子的長(zhǎng)度為175cm，又知階梯各階的高度與寬度均為50cm，則柱子的高度為 米。5影子有一部分落在向上的斜坡上例5.小明想測(cè)量電線桿的高度，發(fā)現(xiàn)電線桿的影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，與地面成的角，且此時(shí)測(cè)得米桿的影長(zhǎng)為米，則電線桿的高度約為多少米（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）6.影子落在向下的斜坡上例6.如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽(yáng)光的照射下，塔影DE留在坡面上已知鐵塔底座寬CD=12 m，塔影長(zhǎng)DE=18 m，小明和小

15、華的身高都是，同一時(shí)刻，小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長(zhǎng)分別為2m和1m，那么塔高AB為多少米？圖16圖17圖18圖1919圖16圖17圖18圖1919（二）燈光下的影子類型一：由燈求影例1.如圖：路燈P距離地面8米，身高米的小麗從距離路燈的底部 （點(diǎn)0）20米的A處 ,沿AO所在的直線 行走14米到例1.達(dá)B時(shí)，人影長(zhǎng)度怎樣改變？ 改變了多少? 類型二：由影求燈例2.如圖：花叢中有一路燈桿PO,燈光下，小麗在B點(diǎn)處的影長(zhǎng) BN3米，沿OB方向行走到達(dá)A點(diǎn)，BA5米，這時(shí)小麗的影長(zhǎng)AM5米，如果小麗的身高為米，求路燈桿 PO的高度。 類型三：雙燈雙影問(wèn)題

16、例3.如圖：小例1.麗晚上在路燈下散步，已知小麗的身高ABh,燈柱的高OPOPL,兩燈柱之間的距離OOm ，（1）若小麗距燈柱OP的水平 距離OAa,求她影子AC的長(zhǎng)。 （2）若小麗在兩路燈之間行走，則她前后的影子的長(zhǎng)度之和（DAAC） 是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明由。 強(qiáng)化練習(xí)：1.在同一時(shí)刻，小明測(cè)得他的影長(zhǎng)為1米，距他不遠(yuǎn)處的一棵檳榔樹的影長(zhǎng)為5米，已知小明的身高為米，則這棵檳榔樹的高是多少米？2.如圖,一名同學(xué)(用AB表示),站在陽(yáng)光下,通過(guò)鏡子C恰好看到旗桿ED的頂端,已知這名同學(xué)的身高是米,他到影子的距離是2米,鏡子到旗桿的距離是8米,求旗桿的高。3.某數(shù)學(xué)課外實(shí)習(xí)小組想利用樹影測(cè)量樹高，他

17、們?cè)谕粫r(shí)刻測(cè)得一身高為米的同學(xué)的影子長(zhǎng)為米，因大樹靠近一棟建筑物，大樹的影子不全在地面上，他們測(cè)得地面部分的影子長(zhǎng)BC=米，墻上影子高CD=米，求樹高AB。4.（2023鞍山）如圖小明想測(cè)量電線桿AB的高度，發(fā)現(xiàn)電線桿的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD與地面成30角，且此時(shí)測(cè)得1 m桿的影子長(zhǎng)為2 m，則電線桿的高度約為多少米？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，）5.數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想利用樹影測(cè)量樹高課外活動(dòng)時(shí)他們?cè)陉?yáng)光下測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的竹竿的影子長(zhǎng)是米，但當(dāng)他們測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面，而是有一部分落在教學(xué)樓的臺(tái)階，且影子的末端剛好落在

18、最后一級(jí)臺(tái)階的上端C處同學(xué)們認(rèn)為繼續(xù)量也可以求出樹高，他們測(cè)得落在地面的影長(zhǎng)為米，臺(tái)階總的高度為米，臺(tái)階水平總寬度為米（每級(jí)臺(tái)階的寬度相同）請(qǐng)你和他們一起算一下，樹高為多少。（假設(shè)兩次測(cè)量時(shí)太陽(yáng)光線是平行的）6.如圖，一斜坡的傾斜角為30，斜坡上有一棵樹AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成70沿樹頂照下時(shí)，在斜坡的樹影BC長(zhǎng)為4米，求樹高AB。（精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin70，cos70，tan70）7.如圖,小明測(cè)得樹AB落在水平地面上的影長(zhǎng)BC為米，落在坡面上的影長(zhǎng)CE為米，身高是米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，長(zhǎng)度為2米。已知坡面的鉛直高度CH與水平距離DH的比為3:4，試求樹AB的高度。8.如圖,小明測(cè)得樹AB落在水平地面上的影長(zhǎng)BC為米，落在坡面上的影長(zhǎng)C