初中數(shù)學(xué)人教九年級(jí)下冊(cè)（2023年新編）第二十七章 相似教學(xué)設(shè)計(jì)

1、相似三角形的判定“一線三等角”教師姓名：楊 冰 單位：綿陽外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1、內(nèi)容一線三等角相似模型的證明及應(yīng)用.2、內(nèi)容解析一線三等角是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是鈍角或銳角.一線三等角的探究是從特殊的直角90出發(fā)，到60和45，再到一般的任意角，體現(xiàn)了從特殊到一般的探究和研究方法.對(duì)于“一線三等角”這種特殊圖形中，因?yàn)橹灰嬖谟袃山M對(duì)應(yīng)角分別相等就一定會(huì)出現(xiàn)一對(duì)相似三角形，在不同背景中，特別是“一線三直角”這種情況在矩形、等腰三角形、等腰梯形、以及平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用都比較廣泛。所以把握住基本圖形對(duì)于學(xué)

2、生在復(fù)雜的圖形中迅速準(zhǔn)確的解決問題起到了關(guān)鍵的作用。二、學(xué)情分析我班學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情較高，樂觀向上，樂于參與，有較好的合作精神。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了四邊形、三角形、相似三角形一些基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于相似三角形的判定有了一些了解和認(rèn)識(shí)，但對(duì)于較復(fù)雜的直線型問題解決思路和方法還是比較局限，特別是對(duì)于需要添加輔助線構(gòu)造相似三角形的問題，學(xué)生解決起來是比較困難的，所以在復(fù)雜幾何圖形中觀察出簡單的基本圖形對(duì)于解決相關(guān)問題就非常關(guān)鍵，而前提是學(xué)生需要做到心中有圖，才能眼中有圖，從而在自己手中構(gòu)造出圖。在課堂中，要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，為學(xué)生營造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)氛圍，積極引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究發(fā)現(xiàn)、合作

3、交流。三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)知識(shí)與技能：探索“一線三等角”的基本特征，并且能夠在不同的背景中認(rèn)識(shí)和把握基本圖形；能利用“一線三等角”證明兩個(gè)三角形相似，并能構(gòu)造“一線三等角”解決相關(guān)計(jì)算和證明問題.（2）過程與方法：通過觀察分析，大膽猜想，探索“一線三等角”基本圖形，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、邏輯推理的能力；讓學(xué)生在經(jīng)歷“觀察猜想歸納驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)過程中體會(huì)從特殊到一般的思想方法；在解決相關(guān)問題時(shí)感受幾何基本圖形對(duì)幾何學(xué)習(xí)的重要性，并體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和“分類討論”思想.（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：在探索過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，感受數(shù)學(xué)之美. 四、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明

4、“一線三等角”相似模型.教學(xué)難點(diǎn)：能夠在不同的背景中認(rèn)識(shí)和把握基本圖形，并解決相關(guān)綜合性問題；在非“一線三等角”圖形中添加輔助線，構(gòu)造“一線三等角”解決相關(guān)計(jì)算和證明問題.五、教學(xué)方法（學(xué)法）：教師主導(dǎo)與學(xué)生合作探究相結(jié)合.六、教具準(zhǔn)備：PPT課件七、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1、復(fù)習(xí)回顧，引出課題問題1 通過前面的學(xué)習(xí)，我們掌握的相似三角形的判定方法有哪些？師生活動(dòng)：學(xué)生回答相似三角形的判定方法有：定義法、預(yù)備定理、兩角對(duì)應(yīng)相等、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等.追問：你還有其他判定方法嗎？你更喜歡哪一種判定方法？師生活動(dòng)：在判定三角形相似時(shí)，先分析問題條件的

5、特點(diǎn)，再選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，可以幫組我們獲得更簡便的解題方法.問題2 如圖，已知:ABC中, ACB=90,CDAB于D, DEBC于E.則圖中共有_個(gè)三角形和ABC相似.追問1：圖中有哪些相似三角形的基本圖形？師生活動(dòng)：學(xué)生回答A型，子母型（射影定理）追問2：圖中與ABC相似的有幾個(gè)？分別是哪些三角形？師生活動(dòng)：學(xué)生回答共有4個(gè)，分別是DBE，CDE，CBD，ACD.教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生重視幾何基本圖形在解決問題的作用和關(guān)鍵性，并提出本節(jié)課的課題：“一線三等角”設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的回顧和反思，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新的基本圖形“一線三等角”的求知興趣.新知探究，類比猜想，理性證明問題3 如圖所示

6、，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，若B=APD=C=90，ABP與PCD有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：ABPPCD，學(xué)生利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明.追問：在上圖中若AP=PD，ABP與PCD有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：ABPPCD（AAS）問題4 如圖（1）在等邊ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，若B=APD=C=60，請(qǐng)直接猜想ABP與PCD的關(guān)系.如圖（2）在等腰直角ABC中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，若B=APD=C=45，請(qǐng)直接猜想ABP與PCD的關(guān)系. （1） （2） 師生活動(dòng)：學(xué)生大膽猜想：ABPPCD問題5 如圖所示，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，若B=APD=C=，ABP與PCD有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生大膽

7、猜想：ABPPCD追問：你們能證明上述猜想嗎？師生活動(dòng)：對(duì)于問題4中的猜想，要求學(xué)生口頭證明；對(duì)于問題5的猜想，要求學(xué)生自己選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行書面證明，并讓一位同學(xué)上講臺(tái)板書證明過程.下面以問題5的圖形為例進(jìn)行證明.已知：如圖所示，B=APD=C=.求證：ABPPCD證明：B=APD= APD+DPC=B+BAPDPC=BAPB=C=ABP PCD歸納：通過從特殊的直角90出發(fā)，到60和45，再到一般的任意角，并經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，我們歸納出一線三等角的基本特征：一線三等角是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是鈍角或銳角。設(shè)計(jì)意圖：

8、通過讓學(xué)生從特殊到一般的研究過程體會(huì)到類比和轉(zhuǎn)化思想，從大膽猜想到嚴(yán)格證明的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，從而為后面解決相關(guān)計(jì)算和證明打下基礎(chǔ)，加深學(xué)生對(duì)幾何基本圖形的掌握.運(yùn)用模型，解決問題簡單應(yīng)用1 如圖3，等邊ABC的邊長為3，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且BD=1，在AC上取點(diǎn)E，使ADE=60，AE長為（ ） A. B. C. D.簡單應(yīng)用2 如圖4，在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平分DAE,EFAE，則CF= . （3） （4） 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生先觀察出基本圖形，再進(jìn)行求解，學(xué)生直接運(yùn)用一線三等角模型找到解題思路，并口訴解題過程.設(shè)計(jì)意圖：通過基本圖形明確，思路較簡單的兩道題

9、，讓學(xué)生初步體會(huì)到一線三等角的作用，并讓學(xué)生感知到在不同幾何圖形背景下的變化.例1如圖所示，一次函數(shù)y=-x+4與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含A、B兩個(gè)端點(diǎn)），C是線段OB 上一點(diǎn)，OPC=45，若OPC是等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo).師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考.若學(xué)生有想法，則由學(xué)生先說明思路，然后教師追問：你是如何想到的？并對(duì)學(xué)生的思路中的合理成分進(jìn)行總結(jié)；若學(xué)生沒有思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析：從條件出發(fā)，你能聯(lián)想到的結(jié)論有哪些？從要求的問題出發(fā)，得到一個(gè)三角形是等腰三角形需要什么條件？啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考問題.最后由教師板演.設(shè)計(jì)意圖：本題直接運(yùn)用一線三等角模型解題

10、，但具有有較強(qiáng)的綜合性，不僅需要將代數(shù)和幾何進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，還能讓學(xué)生體會(huì)分類討論的思想，通過平面直角坐標(biāo)系為解題背景，可以看出一線三等角模型應(yīng)用的廣泛性.變式1：在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=6，ABC=60，點(diǎn)E,F分別在線段AD,DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A,D不重合），且BEF=120，設(shè)AE=x,DF=y.求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考形成思路后，由學(xué)生口訴解題過程，教師在PPT上展示答案.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)例1進(jìn)行簡單的變式，通過一線三等角與梯形知識(shí)的結(jié)合，促進(jìn)知識(shí)的遷移，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.例2在ABC中，AB=2，B=45，

11、以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)做等腰直角ADE,點(diǎn)D在BC 上，點(diǎn)E在AC上，若CE =,則CD的長為多少？ 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，觀察圖中有沒有基本圖形？如何構(gòu)造基本圖形？學(xué)生可以在交流討論的過程中找尋思路，若學(xué)生提出不同的思路，應(yīng)對(duì)不同思路進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，然后再讓學(xué)生獨(dú)立完成解題過程.設(shè)計(jì)意圖：本題只出現(xiàn)了一線二等角，需要添加輔助線構(gòu)造成一線三等角的基本圖形，通過轉(zhuǎn)化的思想讓學(xué)生提升對(duì)幾何圖形的辨識(shí)能力，并突破本節(jié)課的難點(diǎn).變式2：如圖，正方形ABCD的邊長為10，內(nèi)部有6個(gè)全等的正方形，小正方形的頂點(diǎn)E、F、G、H分別落在邊AD、AB、BC、CD上，則DE的長為 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考解題過程，教

12、師鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度添加輔助線構(gòu)造一線三等角，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解決問題.設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)例2 的變式，結(jié)合正方形的性質(zhì)體會(huì)一線三等角的重要性，題目載體的靈活多變促使學(xué)生的思維也靈活多變.課堂小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生參照下面問題，回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，進(jìn)行相互交流：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了那些知識(shí)？我們常見的相似三角形基本模型有哪些？在具體問題中，我們?nèi)绾卫靡痪€三等角基本模型解決問題？結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勓芯繋缀螆D形的重要性. 學(xué)生暢談后，教師進(jìn)行總結(jié).設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)方法，體會(huì)思想.布置作業(yè)導(dǎo)學(xué)案上鞏固練習(xí)14題八、板書設(shè)計(jì)相似三角形的判定“一線三等角”復(fù)習(xí)回顧

13、三、例1 四、小結(jié) 相似三角形的判定方法： 解： （1） （2）新知探究 1、90 例2 五、作業(yè)布置2、60，45 解： 3、任意角 九、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1、如圖，面積為24的正方形ABCD中，有一個(gè)小正方形EFGH，其中E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，F(xiàn)D上若BF= ，則小正方形的周長為（ ） A. B. C. D.設(shè)計(jì)意圖：考查利用一線三等角模型解決與相似三角形相關(guān)的計(jì)算問題的能力.2、如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的函數(shù)圖像上，點(diǎn)B在反比例函數(shù) 的圖像上，且AOB=90，則tanOAB的值等于（ ） A B C D 設(shè)計(jì)意圖：考查運(yùn)用一線三等角與反比例函數(shù)的幾何意義解決問題的能力.3、如圖，已知直線llll，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點(diǎn)分別在直線l、l上并與l相交于點(diǎn)E， AE與BE的長度大小關(guān)系為 ；若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點(diǎn)恰好分別在直線l、l上，則sin= .設(shè)計(jì)意圖：考查通過添加輔助線構(gòu)造一線三等角的靈活轉(zhuǎn)化能力.4.如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使APM=B；（1）求證：ABPPCM；（2）設(shè)BP=x，