6.3平面向量基本定理 同步練習(xí)【含答案】

1、平面向量基本定理一、單選題（共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列有關(guān)平面向量分解定理的四個(gè)命題中：一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基；平面向量的基向量可能互相垂直；一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個(gè)互不平行向量的線性組合正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.在ABC中，D是AB的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，若 AH = AB + BC （x，R），則+=（ ） A.34B.54C.32D.743.有下列說(shuō)法： 若 p=xa+yb

2、 ，則 p 與 a ， b 共面；若 p 與 a ， b 共面，則 p=xa+yb ；若 MP=xMA+yMB ，則 P,M,A,B 共面；若 P,M,A,B 共面，則 MP=xMA+yMB .其中正確的是（ ）A.B.C.D.4.在 ABCD 中，設(shè) AB=a,BC=b ，點(diǎn) E 為對(duì)角線 BD 上靠近點(diǎn) D 的一個(gè)五等分點(diǎn)， AE 的延長(zhǎng)線交 CD 于點(diǎn) F ，則 AF+BF= （ ） A.14abB.12a+2bC.34a+12bD.2a+34b5.在 ABC 中， AB 的中點(diǎn)為 D ， CD 的中點(diǎn)為 E ，則 AE= （ ） A.14AB+12ACB.14AB+12ACC.14AB

3、12ACD.14AB12AC6.已知 ABC 和點(diǎn) M 滿足 MA+MB+MC=0 ，若存在實(shí)數(shù) m 使得 AB+AC=mAM 成立，則 m= （ ） A.1B.2C.3D.47.如圖，在正方形 ABCD 中， N 是線段 CD 上的一動(dòng)點(diǎn)， BN 交 AC 于點(diǎn) E ，若 CN=CD ， AE=AC ，則 (+1)= （ ） A.13B.1C.43D.28.在 ABC 中，點(diǎn)D是線段 BC (不包括端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，若 AB=xAC+yAD ，則（ ） A.x1B.y1C.x+y1D.xy19.已知 e1,e2 是兩個(gè)不共線向量，且 a=6e13e2 ， b=ke1+e2 .若向量 a 與 b

4、 共線，則實(shí)數(shù) k 的值為（ ） A.-2B.-1C.13D.43二、多選題（共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.）10.下列命題中是假命題的為（ ） A.若向量 p=xa+yb ，則 p 與 a ， b 共面B.若 p 與 a ， b 共面，則 p=xa+ybC.若 MP=xMA+yMB ，則 P ， M ， A ， B 四點(diǎn)共面D.若 P ， M ， A ， B 四點(diǎn)共面，則 MP=xMA+yMB11.如圖，在梯形 ABCD 中， AB/CD ， |AB|=2|CD| ， AD 與 BC 相交于點(diǎn)

5、 O ，則下列結(jié)論正確的是（ ） A.ADAC=12ABB.AB+BC+CD+DA=0C.|OA+2OD|=0D.OA=23DC+13DB12.設(shè)點(diǎn) O 是 ABC 的外心，且 CO=CA+CB(,R) ，那么下列命題為真命題的是（ ） A.若 +=1 ，則 C=2B.若 OA/OB ，則 2+2=1C.若 +1 ， AB=(2,1) ， CO=(2,4) ，則四邊形 AOBC 的面積是5D.若 +1 且 C=3 ，則 + 的最大值是 23三、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）13.如圖，在菱形 ABCD 中， AB=2,BAD=60 ， E,F 分別是 BC,CD 的中點(diǎn)，若線段 EF

6、 有一點(diǎn) M 滿足 AM=mAB+23AD(mR) ，則 m= _， AMBD= _ 14.已知 ABC 中，D為邊 BC 上的點(diǎn)，且 BD=2DC ，若 AD=mAB+nAC(m,nR) ，則 mn= _. 15.在梯形 ABCD 中，已知 AB/CD ， AB=2CD ， DM=MC,CN=2NB ，若 AM=AC+AN ，則 + =_ 16.在 ABC 中，已知 AB=a ， BC=b ， G 為 ABC 的重心，用向量 a,b 表示向量 AG= _ 17.在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1 中， M 為 A1C1 與 D1B1 的交點(diǎn)，設(shè) AB=a ， AD=b ， AA1=c ，則向

7、量 AM= _（用 a ， b ， c 表示）. 四、解答題（共4小題，滿分40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）18.如圖，平行四邊形ABCD中， AB=a ， AD=b ， H ， M 分別是 AD ， DC 的中點(diǎn)， F 為 BC 上一點(diǎn)，且 BF=13BC （1）以 a ， b 為基底表示向量 AM 與 HF ； （2）若 |a|=3 ， |b|=4 ， a 與 b 的夾角為 120 ，求 AMHF 19.在 ABCD 中，E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)，G為交點(diǎn)，若 AB=a ， AD=b ，試以 a，b 為基底表示 DE，BF，CG . 20.如圖，在 OCB 中，點(diǎn)A是

8、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)B將OB分成2：1的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè) OA=a ， OB=b . （1）用 a,b 表示向量 OC ， DC ； （2）若 OE=OA ，求 的值. 21.如圖，已知平行四邊形 ABCD ， O 是 AC 與 BD 的交點(diǎn)，設(shè) AB=a,AD=b （）用 a、b 表示 BD 和 AO ；（）若 |a|=6,|b|=4 ， DAB=3 ，求 2|AO| 答案解析部分一、單選題1. B 一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基，錯(cuò)誤，正確；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，正確；平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)兩個(gè)互不平

9、行向量的線性組合，如果是三個(gè)不共線的向量，表示法不唯一，錯(cuò)誤綜上，正確的命題是故選：B【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，作為平面內(nèi)所有向量的一組基底是兩個(gè)向量不共線，由此對(duì)四個(gè)選項(xiàng)作出判斷即可。2. B D為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)， AH=12(AD+AC)=12(12AB+AC)=14AB+12AC=14AB+12（BC+AB） =34AB+12BC =34,=12.+=54. 故B【分析】用 AB ， AC 表示出 AE ，由平面向量基本定義可得出，的值即可得出答案3. C 解：若 a ， b 中有一個(gè)為 0 ，則 p 與 a ， b 共面；若 a ， b 均不為為 0 ，則根據(jù)平面向量基本

10、定理可知， p 與 a ， b 共面，所以正確；若 ab ， 則 p 不一定能用 a ， b 表示，所以不正確；與等同，根據(jù)平面向量基本定理可知，正確；與類似，當(dāng) M,A,B 三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn) P 不在此直線上，則 MP=xMA+yMB 就不成立； 故C.【分析】 p=xa+yb ，則根據(jù)平面向量基本定理知 p 必與 a ， b 共面，同；若 ab ， 則 p 不一定能用 a ， b 表示，同，則可判斷結(jié)果.4. B 如圖, 由題,則 DEFBEA ,可得 DFAB=DEBE=14 ,所以 DF=14AB ,所以 AF=AD+DF=BC14BA , BF=BC+CF=BC+34BA ,所以 AF

11、+BF=(BC14BA)+(BC+34BA)=2BC12AB=12a+2b ,故選:B【分析】由 ABCD 且 E 為對(duì)角線 BD 上靠近點(diǎn) D 的一個(gè)五等分點(diǎn)可得 DEFBEA ,則 DF=14AB ,進(jìn)而可得 AF=BC14BA , BF=BC+34BA ,即可求解.5. B AE=12(AC+AD)=12(AC+12AB)=12AC+14AB . 故選：B【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則即可求解.6. C MA+MB+MC=0 ， MB+MC=MA=AM ， AB+AC=MBMA+MCMA=MB+MC+2AM=3AM=mAM ，因此， m=3 .故C.【分析】由 MA+MB+MC=0 得出

12、 MB+MC=AM ，再利用 MA 、 MB 、 MC 表示向量 AB 、 AC ，利用已知條件可求得實(shí)數(shù) m 的值.7. B 取向量 BA ， BC 作為一組基底，則有 BE=BA+AE=BA+AC=BA+(BCBA) =(1)BA+BC ， BN=BC+CN=BC+BA .因?yàn)橄蛄?BN 與 BE 共線，所以 1= ，即 (+1)=1 ， 故B. 【分析】利用已知條件結(jié)合共線定理和平面向量基本定理，從而求出(+1)的值。8. B 設(shè) BD=BC(01) ，所以 ADAB=ACAB ， 所以 (1)AB=ADAC ，所以 AB=11AD1AC ，所以 x=1,y=11 ，所以 x=11 ，又

13、 x+y=11=1 ， xy=(1)20 ，故B. 【分析】因?yàn)樵?ABC 中，點(diǎn)D是線段 BC (不包括端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè) BD=BC(01) ，再利用三角形法則推出ADAB=ACAB ，所以 AB=11AD1AC ，再利用已知條件 AB=xAC+yAD ， 從而求出x=1,y=11 ，所以 x=11 ，從而求出x+y的值和xy的正負(fù)，進(jìn)而找出正確的選項(xiàng)。9. A 根據(jù)平面向量共線基本定理,若向量 a 與 b 共線 則滿足 a=b即 6e13e2=(ke1+e2)所以滿足 6=k3= ,解得 =3k=2故A【分析】根據(jù)平面向量共線基本定理,設(shè) a=b ,即可解方程組求得 k 的值.二、多

14、選題10. B,D 對(duì)于A：由平面向量基本定理得 p 與 a ， b 共面，A是真命題； 對(duì)于B：若 a ， b 共線， p 不一定能用 a ， b 表示出來(lái)，B是假命題；對(duì)于C：若 MP=xMA+yMB ，則 MP,MA,MB 三個(gè)向量在同一個(gè)平面內(nèi)， P ， M ， A ， B 四點(diǎn)共面，C是真命題；對(duì)于D：若 M ， A ， B 共線，點(diǎn)P不在此直線上，則 MP=xMA+yMB 不成立，D是假命題；故BD 【分析】利用已知條件和向量共面的判斷方法，再結(jié)合平面向量基本定理和三點(diǎn)共線的判斷方法，進(jìn)而得出假命題的選項(xiàng)。11. A,B,C A. ADAC=CD=12AB ，所以A符合題意； B.

15、 AB+BC+CD+DA=0 正確，所以B符合題意；C. OCDOAB ，所以 CDAB=ODOA=12 ，即 OD=12OA ，所以 |OA+2OD|=|OAOA|=|0|=0 ，所以C符合題意；D. OA=23DA=23(DB+BA)=23(DB+2DC)=23DB+43DC ，D不正確.故ABC【分析】由條件可知， OCDOAB ，所以 CDAB=ODOA=12 ，再根據(jù)向量加減法的法則，分別計(jì)算每個(gè)選項(xiàng).12. A,C,D 如圖1， A： CO=CA+CB ， +=1 ，則點(diǎn) A ， O ， B 三點(diǎn)共線，又直角三角形的外心在斜邊上，故 C=2 ，正確；B：若 OA/OB ，則點(diǎn) A

16、， O ， B 三點(diǎn)共線，故 ABC 中， C=2 ，此時(shí) O 為 AB 的中點(diǎn)，則 CO=12CA+12CB ，不滿足 2+2=1 ，錯(cuò)誤；選項(xiàng)： +1 ，則點(diǎn) O 在 ABC 外，又 ABCO=0 ，即 ABCO ， |CO|=22+42=25 ， AB=5所以 SAOBC=12|AB|OC|=5 ，正確；D： CO=(CO+OA)+(CO+OB) ，即 (1)CO=OA+OB ，因?yàn)?|OA|=|OB|=|OC| ， AOB=2C=23 ，平方則有 (1)2=2+2+2cos23 ，化簡(jiǎn)得 322+1=0 ，即 2+21=33(+)24 （當(dāng) = 時(shí)取），故有 +23 或 +2 （舍掉）

17、，故 +23 ，正確，故ACD【分析】利用向量的運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，結(jié)合重要不等式等可得答案.三、填空題13. 56；13 設(shè) EM=BD ， 在菱形 ABCD 中， E,F 分別是 BC,CD 的中點(diǎn)，所以AM=AB+BE+EM=AB+12AD+BD =AB+12AD+(ADAB)=(1)AB+(12+)AD ，又 AM=mAB+23AD ，所以 1=m12+=23 ，解得 =16m=56 ，所以 AM=56AB+23AD ，所以 AMBD=(56AB+23AD)(ADAB)=23AD256AB2+16ABAD ，因?yàn)樵诹庑?ABCD 中， AB=2,BAD=60 ，所以 AMBD=23

18、4564+1622cos60=13 .故 56 ； 13 .【分析】利用平面向量基本定理得到 AM=(1)AB+(12+)AD ，結(jié)合可求 m 的值；根據(jù)平面向量的數(shù)量積即可求出 AMBD .14. 13 如圖，過(guò)D做 DE/AC ， DF/AB ， 則可得出， CDBD=CFAF=AEBE=12 ，所以， AF=23AC ， AE=13AB由四邊形法則可得， AD=AF+AE=mAB+nAC ，m=13,n=23 ， mn=13故 13【分析】根據(jù)平行四邊形法則和平面向量基本定理，對(duì) AD 進(jìn)行分解，即可得出答案.15. 34 根據(jù)題意， AB/CD ， AB=2CD ， DM=MC,CN=

19、2NB ，畫(huà)出梯形 ABCD 如下圖所示： 則 AM=AC+CM=AC+14BA=AC+14(BN+NA)=AC+14(12NC+NA)=AC+18NC+14NA=AC+18AC18AN14AN=98AC38AN因?yàn)?AM=AC+AN所以 =98,=38則 +=98+(38)=34故 34【分析】根據(jù)題意畫(huà)出梯形 ABCD ，由平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理，即可求得 , 的值，從而求得 + 的值.16. 23a+13b 由重心的性質(zhì)可知 BG=13(BA+BC)=13b13a ， 所以 AG=AB+BG=a+13b13a=23a+13b .故 23a+13b【分析】利用平面向量的基本定

20、理，結(jié)合重心性質(zhì)即可得解.17. 12a+12b+c 如下圖所示，由于四邊形 A1B1C1D1 為矩形， M 為 A1C1 與 D1B1 的交點(diǎn)，則 M 為 A1C1 的中點(diǎn)， 由題可得 AM=AA1+A1M=AA1+12A1C1=AA1+12(A1B1+A1D1)=12AB+12AD+AA1 =12a+12b+c .故 12a+12b+c . 【分析】由題意畫(huà)出圖形，再由向量加法的三角形法則和平行四邊形法則求解即可。四、解答題18. （1）解：平行四邊形 ABCD 中， AB=a ， AD=b ， H ， M 是 AD ， DC 的中點(diǎn)， BF=13BC ， AM=AD+DM=AD+12DC

21、=AD+12AB=b+12a ，HF=AFAH=AB+BF12AD=a+13b12b=a16b （2）解： |a|=3 ， |b|=4 ， a 與 b 的夾角為 120 ， ab=34cos120=6 ， AMHF=(b+12a)(a16b)=12a216b2+1112ab =1291616+1112(6)=113 【分析】(1)由題可得： BF=13BC ，利用向量的加法法則和減法法則，以及向量的中點(diǎn)表示，即可得到； (2)先求出 ab=34cos120=6 ，再由(1)得到的結(jié)論，化簡(jiǎn)即可得到所求向量的數(shù)量積.19. 解：根據(jù)圖形得： DE=DC+CE=AB+(12AD)=a12b BF=BC+CF=AD+(12AB)=12a+b 連接BD，由條件可知G為 BCD 的重心，設(shè)BD的中點(diǎn)為O因此