新編第四章?lián)Q元積分法課件

1、新編第四章?lián)Q元積分法新編第四章?lián)Q元積分法問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類換元法說(shuō)明結(jié)果正確問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類換將上例的解法一般化：設(shè)則如果（可微）將上述作法總結(jié)成定理，使之合法化，可得換元法積分公式將上例的解法一般化：設(shè)則如果（可微）將上述作法總結(jié)成定理，使第一類換元公式（湊微分法）說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理1第一類換元公式（湊微分法）說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察注定理說(shuō)明：若已知?jiǎng)t因此該定理的意義就在于把中的換成另一個(gè)的可微函數(shù)后，式子仍成立又稱為積分的形式不變性這樣一來(lái)，可使基本積分

2、表中的積分公式的適用范圍變得更加廣泛。由定理可見，雖然是一整體記號(hào)，但可把視為自變量微分湊微分注定理說(shuō)明：若已知?jiǎng)t因此該定理的意義就在于把中的換成另一個(gè)湊微分法就在湊微分上，其基本思想就是對(duì)被積 表達(dá)式進(jìn)行變形，主要考慮如何變化湊微分法的基本思路： 與基本積分公式相比較，將不同的部分中間變量和積分變量變成相同步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量例1 求解（一）湊微分法就在湊微分上，其基本思想就是對(duì)被積湊微分法的基本思解（二）解（三）例2 求解解（二）解（三）例2 求解一般地例3 求解一般地例3 求解例4 求解例4 求解例5解例6 求解例5解例6 求解例7解注意：分子拆項(xiàng)是常用的技巧例7解注意

3、：分子拆項(xiàng)是常用的技巧例8 求解例8 求解例9 求解例9 求解例10 求解例10 求解例11 求原式例11 求原式例12 求解或例12 求解或例13 求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例13 求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊例14 求解例14 求解例15 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）例15 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）解（三）解（二）解（三）類似地可推出類似地可推出解例16 設(shè) 求 .令解例16 設(shè) 例17 求解例17 求解例18解（一）分子分母同乘以例18解（一）分子分母同乘以解（二）分子分母和差化積解（三）分子恰為分母的導(dǎo)數(shù)解

4、（二）分子分母和差化積解（三）分子恰為分母的導(dǎo)數(shù)新編第四章?lián)Q元積分法 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過(guò)如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對(duì)被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃?，拼湊出合適的微分因子。 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元法問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即證設(shè) 為 的原函數(shù),令則則有換元公式定理2證設(shè) 為 第二類積分換元公式第二類積分換元公式例19 求解令例19

5、求解令例20 求解令例20 求解令例21 求解令例21 求解令說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令注意：所作代換的單調(diào)性。對(duì)三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉說(shuō)明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例 中, 令說(shuō)明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.說(shuō)明(3) 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.例22 求（三角代換很繁瑣）解令說(shuō)明(3) 積分中為了化掉根式是否例23 求解令例23 求解令說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換例24 求解令說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換例24 求解令例25 求解令（分母的階較高）例25 求解令（分母的階較高）新編第四章?lián)Q元積分法說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 例26 求解令說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 新編第四章?lián)Q元積分法基本積分表基本積分表新編第四章?lián)Q元積分法三、小結(jié)兩類積分換元法