高等數學4月備考試題集

1、仿真試題(一)江蘇專轉本高等數學選拔一、單項選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分）1.f (x) (x 1) sin x 的跳躍間斷點為()x (x 2 1)A. x=-1B.x=00,C.x=1D.x=-1 或 x=1x 00 在點 x 0 處，可導則常數 的取值范圍為2、設函數 f (x) （）A、0 1B、0 1C、 1D、 13 、設 F (x) ln(3x 1) 是函數 f (x) 的一個原函數，則 f (2x 1)dx （）1313CB、CCCA、C、D、6x 46x 412x 812x 84、設區(qū)域 D 是 xoy 平面上以點 A(1,1) 、B(1,1)

2、、C(1,1) 為頂點的三角形區(qū)域， 則 (xy cos x sin y)dxdy D區(qū) 域 D1 是 D 在 第 一象限的部分（）A、2(cos x sin y)dxdyD1C、4(xy cos x sin y)dxdyD1B、2 xydxdyD1D、05 、設 u(x, y) arctan x ，v(x, y) lnx 2 y 2 ，則下列等式成立的 是y（）A、 u vB、 u vC、 u vD、 u vxyxxyxyy6（、下列說法正確的是）A、級數 1 收斂B、級數 1 收斂n1 n2 nn1 n1(1)nC、級數n1D、級數 n!收斂n1絕對收斂n二、填空題（本大題共 6 小題，每

3、小題 4 分，滿分 24 分）7、設函數 y y(x) 由方程ln(x y) e xy 所確定，則 y x08、 1 dx x x 2 11 x 2x10f (x, y)dy 9、交換二次積分的次序 dx110、微分方程(1 x 2 ) ydx (2 y)xdy 0 的通解為. 1 向量，且 a b ，則以向量 a b 為鄰邊的平行四邊形11、已知 a ， b 均為2的面積為an1n 1(a 0) 的收斂半徑為，則常數a .2n12、若冪函數xn2三、計算題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分）x(tan t sin t)dtx ln(1 t 2 )y t arctan tdy

4、d 2 y013、求極限lim14、已知，求、.2dx2(e 1) ln(1 3x )xdxx02sin3 x x2dx115、求不定積分16、求定積分dxsec x 11 x221 x 2 t17、求通過點(1,1,1) ，且與直線 y 3 2t 垂直，又與平面2x z 5 0 平行的直 z 5 3t線的方程。18、計算二重積分 (1 x 2 y 2 )dxdy ，其中 D 是第一象限內由圓 x 2 y 2 2x 及D直線 y 0 所圍成的區(qū)域z 2 z19、設 z xf (x , xy) 其中 f (u, v) 的二階偏導數存在，求y 、 yx .2220、已知函數 y ex 和 y e2

5、x 是二階常系數線性微分方程 y py qy 0 的兩個解，試確定常數 p, q 的值，并求微分方程 y py qy ex 的通解。四、綜合題（本大題共 2 小題，每小題 10 分，滿分 20 分）4 的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍21、從原點作拋物線 f (成的圖形記為 S ，求：（1） S 的面積；體體積.（2）圖形 S 繞 X 軸旋轉一周所得的立22、設函數 f (x) ax3 bx 2 cx 9 具有如下性質：在點 x 1的左側在點 x 1的右側單調減少；單調增加；（3）其圖形在點(1,2) 的兩側凹凸性發(fā)生改變.試確定a ， b ， c 的值.五、證明題（本大題共 2 小題，每

6、小題 9 分，滿分 18 分）23、證明：xf (sin x)dx sin xx024、求證：當 x 0 時， (2 0f (sin x)dx ，并利用此式求dx .1 cos 2 x0 1)2 .仿真試題(二)江蘇專轉本高等數學選拔一、單項選擇題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分）設當 x 0 時， (1cos x)ln(1 x 2 ) 是比 xsin xn 高階的無窮小，而 xsin xn 是比1.2( e x 1) 高階的無窮小，整數n 等于（）C、3A、1B、2D、4 0若x02、設 f (x) 其導函數在 x 0 處連續(xù)，則 的取值范圍是0（）A、0 2B、0 2C

7、、 2D、 23、若 f (x)dx F (x) C ，則 sin xf (cos x)dx （）A、 F (sin x) CB、 F (sin x) CC、 F (cos) CD、 F (cos x) C32a cosf x, y dxdy f r cos , r sin rdr ,其中a 0 為常數，則區(qū)域 DD0d4、若2是()A、 x2 y2 a2B、 x2 y2 a2 , x 0C、 x2 y2 axD、 x2 y2 ay5、若 x ay dx ydy 為某函數的全微分，則a () x y 2A、1B、0C、1D、26、設u (1)n ln n ，則級數()nnA、un1n nB、u

8、n1 n與u 都收斂；2與u 都發(fā)散n12nn1C、un1 nD、un1 n收斂而u 發(fā)散；n12發(fā)散而u 收斂。n12nn二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分）7、設函數 y f (x) 由方程 xy 2 ln x y 4 所確定，則曲線 y f (x) 在點且(1, 處的切線方程kdx 1 ，則k =08、 已知1 x2212 y33 ydyf (x, y)dx 9、交換積分次序 dyf (x, y)dx001010、設 y C e2x C e3x 為某二階常系數線性微分方程的通解，則該微分方1211、設| a | 1， | b | 1 ， a 與b 的夾角(a,

9、 b ) 30 ，則以a 2b 和3a b 為鄰邊的平行四邊形面積S =12、冪級數 an xn 在 x 3 處條件收斂，則該級數的收斂半徑 R n 04三、計算題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分）1113、求極限lim (1 x)x (1 2x)2xsin xx0 x 14、設f(t) ，其中 f 可導，且 f(0) 0 ，求 dy |y f(e3t 1)dx t015、求不定積分 dx 。x11ex1 ,16、設 f(x) x 0,求 f(x)的間斷點,并說明其類型。ln(1 x), 1 x 0.17、平面通過兩直線 L : x 1 y 2 z 5 和y 3 z 1 的

10、公垂線L : x 12121132L，且平行于向量 1,0,1 ，試求此平面方程.c18、計算sin y2dxdy， D是x 1、 y 2 、 y x 1 圍成的區(qū)域.D19 、 設 z f x2 y2 ,exy ， 其 中 f 具 有 連 續(xù) 二 階 偏 導 數 ， 求2zxy20.已知函數 y (x1)ex是一階線性微分方程 y 2y f(x)的解, 求二階常系數微分方程y 3y 2y f(x)的通解.5四、綜合題（本大題共 2 小題，每小題 10 分，滿分 20 分）21、過坐標原點作曲線 y ln x 的切線，該切線與曲線 y ln x 及 x 軸圍成平面圖形 D 。(1)求 D 的面

11、積； (2)求 D 繞直線 x e 旋轉一周所得旋轉體的體積V 。22、如圖，在圓形湖面上有一亭子，湖心在O 點，沿湖岸有一條環(huán)湖公路，在公，摩托車速度為湖中劃B船速度的 4 倍，現在有人要從 A 點到 B 點（ A 點在公OA 2 公里， OB 1公里， OA OB ），先騎摩托車，乘船（船沿直線行駛），問應在何處換乘船，才能以最短的時間到達 B 點。，OA五、證明題（本大題共 2 小題，每小題 9 分，滿分 18 分）2 )， x (0,423、證明： cos 242arctan xt24、已知兩曲線 y f (x) 與 y edt 在點(0,0) 處的切線相同，證明極限02lim nf

12、( ) 2 。n江蘇專轉本高等數學選拔n仿真試題(三)一、填空題（本大題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分）1、設 f (x) 為連續(xù)函數，且滿足 f (f (x)dx ，則 f (x) =2、設 f (x) 是連續(xù)函數，并滿足 f (x) sin xdx cos2 x c ，又 F (x) 是 f (x) 的原函數，且滿足 F (0) 0 ，則 F (x) 。x23、函數 f (x) 0 (2 t)e dt 的極大值為t4、設 y C e2x C e3x 為某二階常系數線性微分方程的通解，則該微分方程12 為5、設| a | 1， | b | 1， a 與b 的夾角(a, b )

13、30 ，則以a 2b和3 ab 為鄰邊的平行四邊形面積 S =ln(1 n) xn1 的收斂域為6、級數n1n6二、計算題（本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分）x2 x2teef (t)dt0f (x)7、設 f (x) 在0,) 上連續(xù)，且滿足 lim 1，求 w limx 2f (x)xxx 2 n 18、求 y lim(x) 的間斷點，并判斷其類型。x 2 n 1nxe x9、求不定積分dxe 1x10、設 f (x) 連續(xù)，且當 x 1時， f (x)0f (x)。，求2(1 x)2: x 1 y 2 z 5 和y 3 z 1 的公垂線L : x 11、平面通過兩直線

14、L12121132L ，且平行于向量 1,0,1 ，試求此平面方程.c1112、求積分| xy 1| dxdy ， D (x, y) 2 x 2, 2 y 2。D13、設二元函數 f (x, y) 有一階連續(xù)的偏導數，且 f (0,1) f (1, 0)。證明：單位圓周上至少存在兩點滿足方程 y x f (x, y) x y f (x, y) 0。14、設 y x2ex 是方程 y ay by cehx 的一個解，求常數a, b, c, h 。三、綜合題（本大題共 4 小題，每小題 11 分，滿分 44 分）15、設兩曲線 y a x (a 0) 與 y lnx 在(x 0 , y0 ) 處有

15、公切線，求這兩曲線與 x7軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉而成的旋轉體的體積Vx 。f (x)x1 2 ，(x) f (xt)dt ，求 16、設 f (x) 連續(xù)且lim(x) ，并其連續(xù)性。x0017、求冪級數 1 xn1 的和函數。n1 n2n1x18、設 f (x) t t dt(x 1) 求 f (x) 與 x 軸圍成封閉圓形的面積1五、證明題（本大題共 2 小題，每小題 9 分，滿分 18 分）19、求證： x (0,1) 時， (1 20、設函數 f (x) 在a, b上連續(xù)，在（ a, b 2 。， 0 a b 試證存在 , (a, b)使 f ( ) a b f ()21991

16、 年江蘇省普通高等學校非理科專業(yè)本科高等數學競賽試題一、填空題（每小題分，共 50 分）1函數 y=sin x |sin x |（其中| x |）的反函數為。2當 x 0 時，3 x -4sin x +sin x cos x 與 x n 為同階無窮小，則n=。在 x =1 時有極大值 6，在 x =3 時有極小值 2 的最低冪次多項式的表達式是。d ndxn4設 P( x )=(1- x m)n，m，n 為正整數，則 P(1)=。dx 5(2。26函數 f（ x）= ln（1- x -2 x ）2 關于 x 的冪級數展開式為，該冪級數的收斂區(qū)間為。7已知微分方程 y y ( ) 有特解 y x

17、x則（ x ）=。xyln | x |x 2z8直線繞 Z 軸旋轉，得到的旋轉面方。y 189已知 向量， a 3b垂直于7a 5b ， a 4b 垂直于7a 2b ，則a 為向量 與 的夾角為。ab10曲線 C 為 x 2 + y 2 + z 2 = R2 與 x + z = R 的交線，從原點看去 C 的方向為順時針方向，則 ydx zdy xdz .c二、（7 分）已知數列nan 收斂， n2n(an an1 ）也收斂，求證 an 收斂。n1三、（7 分）一向上凸的光滑曲線連接了 O(0 , 0) ， A(1 , 4) 兩點，而 P(x , y) 為曲4線上的任一點，已知曲線與線段 OP

18、 所圍區(qū)域的面積為 x 3 ，求該曲線的方程。四、（12 分）求下列曲面： x 2+ y 2=c z ， x 2- y 2=a2， xy =b2 和平面 z =0 圍成區(qū)域的體積（其中 a，b，c 為正實數）五、（12 分）一點先向正東移動 a 米，然后左拐彎移動 aq 米（其中0 q 1 ），如此不斷重復左拐彎，使得后一段移動距離為前一段的 q 倍，這樣該點有一極限位置。試問該極限位置與原出發(fā)點相距多少米？六、（12 分）已知 f（ x ）在0，2上二次連續(xù)可微，f（1）=0，證明2| 01f (x)dx | M，其中 M= max |3f (x) |x0,21991 年江蘇省普通高等學校非

19、理科專業(yè)本科高等數學競賽試題參考與評分標準一、填空題（每小題 5 分，共 50 分）x , x 1,11 y sgn xarcsin1 arccos(1 2x)0,1，又或 y x 0,1x 1,0arcsinx ,x ,2或 y 1arcsinarccos(1 2x)1,02 2 ；4 (1)n n!mn ；25；352；n11 1n1 11(1)1 (2) x； nnn7 6, ；2 2 x299 ；310， 2 R 28 x 2 y 2 4z 2 1；2N 1N 1N 1N 1N n(an an1 ) nan nan1 nan (n 1)ann2n2n2n2n1（4 分）二、N (N 1

20、)aN 1 a1 ann1NN ann1(N 1)aN 1 a1 n(an an1 )n2因為右邊當 N 時收斂，從而左邊也收斂，即級數 an 收斂。（3 分）n1三、設該曲線為 y y(x) ，由題意x1 y(x)dx 2 xy( 1（2 分）0 218381兩邊對 x 求導得 yy y y x（2 分）3x3且 x 0 時， y 0 ，此微分方程的通解為 518y x(c x 3 dx) c 131y 4x 3由 y(1) 4 得 C=0，所以該曲線方（3 分）四、xz 、 yz 平面將該區(qū)域分成四塊等體積區(qū)域，將第一卦限的一塊在 xy 平面上投影見圖AOB 記為AOC 記為 ，區(qū)域 OA

21、BO 記為（D1），區(qū)域 OBCO 記為（D2）， AB, BC, CE 的極坐標方程分別為 1 ( ), 2 ( ), 3 ( ),a 2r cos 2 a，cos 22221則r，12b21rsiin2 b，2sin 222r2，2210a 2r cos 2 a222cos 2r（3 分），33r ( ) 1121 2V 4 (x 2 y 2 )dxdy 4 d0r 3dr r 4 ( )dccc 0D01 a 44b2a 4d d d=2 c 0 cos 2 sin 2cos 2 2222a 42b 4a 4=tg 2 ctg 2tg 22c2c（5 分）c2b2a 22b 2a 22

22、) r (2 ) 得tg 2 ，由r ( ) r ( ) 得tg 2 22由r (1223 2b 4a 2b 2a 22b4a 2a 42b 24a 2b 2V ( 2b 2 ) () （4 分）2a 2ccc2b2cc五、設出發(fā)點為(x0 , y0 ) ，前四點位置為(x0 , y0 ) (x0 a, y0 ) (x0 a, y0 aq) (x0 a(1 q ), y aq)20 (x0 a(1 q ), y a(1 20)（3 分）用 x0 a(1 q ), y a(1 20, aq 4 , ，分別代替 x , y , a, ，就00后四點坐標，從而經過4k 段路后到達(x4 k , y4

23、k ) ，有4(k 1) ， x0 a(1 q ) a(1 24 a(1 x4k2 )q 4( k 1) ， y0 a2 ) a2 )q 4 ay4k（4 分） x0 a(1 4 q 4( k 1) x4k1a a(1 q 2 ),(k )1 q 41 q 2aqy y ,(k )4 k01 q 2a極限位置和出發(fā)點的距離d （5 分）1 q 2112x2六、 f (x)dx dx f (t)dt（3 分）0011t22 f (t)dt dx f (t)dt dx（3 分）001t12 tf (t)dt (2 t) f (t)dt011 12 1 t 2 f (t)dt (2 t)2 f (t

24、)dt（3 分）0 21 22 f (x)dx01 12 11 M t 2dt (z t)2 dt M（3 分）0 21 231991 年江蘇省普通高等學校非理科專業(yè)專科高等數學競賽試題一、填空題（每小題 5 分，共 40 分）1函數 y =sin x |sin x |（其中| x |）的反函數為。2sin mx 2 m ，n 為整數， lim。sin nxxf (x x) f (x x) 3 , 為常數，f（ x ）可導， lim。xx0當 x 0 時，e x +ln（1- x ）-1 與 x n 是同階無窮小，則 n=。在 x 1時有極大值 6，在 x 3 時有極小值 2 的最低冪次多項式

25、的表達式是。16 1）d x =。7已知微分方程 y y ( ) 有特解 y xx則（x）=。xyln | x |8 設 P（ x ），Q（ x ），f（ x ）都是連續(xù)函數，已知微分方程 yP(x) yQ(x) y f (x) 有三個特解 x ， ex , e x ，則此微分方程的通解為。n1 (n!)2二、（8 分）判別級數 (1)(2n)! 的斂散性。（包括發(fā)散，條件收斂和絕n112對收斂）。 0 ，試證明數列xn收斂，并求lim xn三、（8 分）設nn四、（8 分）求一連接O （0，0），A（1，1）兩點的向上凸的連續(xù)曲線，使其上任一點 P（ x, y ）到O 的直線段O P 與該曲

26、線所圍區(qū)域的面積為 x3 。五、（12 分）設 f（ x ）在0,上有定義，在（0，+）內可導， g(x) 在（-，+）內有定義且可導，f（0）=g（0）=1，又當 x0 時f (x) g(x) 1,f( x )+g( x )=3 x +2，f (2x) g(2x) 12x 2 1,求 f( x )與 g( x )的表達式六、（12 分）設 f（ x ）為0,上的單調減少的連續(xù)函數，試證明：x (x 2 3t 2 ) f (t)dt 0 。0七、（12 分）設a1 , a2 , an 為常數，且nn ak sin kxk 1sin x , an j1 sin jxsin x，j 1n2 akk

27、 1n 1試證明1991 年江蘇省普通高等學校非理科專業(yè)?？聘叩葦祵W競賽試題參考與評分標準一、填空題（每小題 5 分，共 40 分）1 y 0 x 1 1 x 0arcsinx ,x , arcsin；2 (1)mnnm3 ( ) f (x)；43；6 4e。1x 25 y 27 ；8 y c1 (x e注：第 8 題有多種形式。13(n!)2二、（8 分）解：記an (1)n1，由于(2n)!a(n 1)!(n 1)!(2n)!(n 1)21 n1an,(n )5 分(2n 2)!n!n!(2n 2)(2n 1)4判別法得 ann1收斂，因此原級數絕對收斂。3 分應用 0, x1 x2。歸納

28、假設 xk 1 xk則三、（ 8 分）解： 1。故 xn 為單調減少數列。k 1又 x1 2 ，歸納假設 xk 2 ，則 xk 1 1 xk 1 (2) 3 2 ，xn 為單調有界數列，因此xn 收斂。所以對一切正整數n 有 xn 2 ，綜上設 x A,(n ),則A 1 A 0.解得A 1 (1 5),因A 0,n2 x 1 (1 5)(n ).3 分n2x1 ydx xy x3四、（8 分）解：設該曲線為 y y(x) ，由題意2 分20兩邊對 x 求導得 xy y 6x 2 ，（2 分）， 當0 x1時， y 1 y 6x ，此微x1 dx 1dxy e( 6xedx c) x(c 6x

29、),分方程的通解為x5 分x由 y(1) 1，c 7 ，因此所求曲線為 y x(7 6x)1 分五、（12 分）解：將 f (x) g(x) 1兩邊積分得f (x) g(x) x c1由f (0) g(0) 1,c1 0 f (x) g(x) x3 分此式與 f (x) g(x) 3x 2 聯立，解得 f (x) 2x 1, g( 0) ，2 分在 f (2x) g(2x) 12x 2 1中令u 2x 得 f (u) g(u) 3u 2 1兩邊積分得f (u) g(u) u 3 u c ，2由 f (0) g(0) 1，c2 2 ，所以14g(u) u 3 u 2 f (u) u 3 u 1,

30、 (u 0) 1, (x0)g(3 分x 1,x 00 0);g(x) 即 f (1 分x六、（12 分）證：記 F (x) (x 2 3t 2 ) f (t)dt ，則0 xxF (x) x 2 f (t)dt 3 t 2 f (t)dt ，2 分00 xxF (x) 2x f (t)dt x 2 f (x) 3x 2 f (x) 2x f (t)dt 2x 2 f (x)3 分00 x應用積分中值定理，知存在 0, x ，使得 f (t)dt f ( )x0 F (x) 2x 2 f ( ) f (x)由于 f (x) 在0,上單調減少，故 f ( ) f (x) ，從而 F (x) 0F

31、 (x) 在0,上單調增加，又 F (o) 0, ， F (x) 0 得證3 分2 分2 分nn七、（12 分）證：記 f (x) ak sin kx ， g(x) an j1 sin jx ，k 1j 1則 f (x) a1 cos x 2a2 cos 2x nan cos nx,g(x) an cos x 2an1 cos 2x na1 cos nx,3 分 f (o) g(o) (n 1)(a1 a2 an )f (o) g (o)n 1n 1 ( f (o) ag(o) 5 分kn 1k 1f (x) f (o) lim sin x 1,f (o)而limx0 xxx0lim g(x)

32、 g(o) limx0 1,g(o)xx015sin xxn 2 a4 分kn 1k120042005 年度高等數學競賽試題一、填空題（每題 4 分，共 20 分）1設當 x 0 時， (1 cos x) ln(1 x2 ) 是比 xsin xn高階的無窮小，而 xsin xn是2比ex 1高階的無窮小，（2）整數n等于。dy（ 832設 y sin2 (x4 ) ，則4 ) ）=。d(x3)3 兩平面 1 :19x 4y 8z 21 0和 2 :19x 4y 8z 42 0之 間的距離（1）為 。dx4(2。（ ）82 5 (a b) a ( ab) （0）。分析： (ab) a 與a 共線

33、，而a (a b) ，(ab) a ( a b) ， (ab) a ( a b) 0 。（10 分）已知 lim (5x ax2 bx c) 2 ，求a、b。二、x25x2 ax2 bx c解： lim (5xax bx c) lim2，xx 5xax2 bx c(25 a)x2 bx c lim 2 ，25 a 0 , a 25 ， b 2(5 25) 20 。x 5xax2 bx c三、（10 分）設 f(x) 在(, ) 內可導，且lim f(x) e，xx c) lim f(x) f(x 1)，求cxlim(的值。x cxxx c日中值定理有 f(x) f(x 1) f() 1) e

34、，而由x2c解：lim(x cxlim f(x) f(x 1) lim f() e， e2c e， c 1 。2x四、（ 10 分） 設 f(x) 在0, ) 上可導， f(0) 0 ， 且其反函數為 g(x) ， 若16f ( x)g(t)dt x e ，求 f(x) 。2 x0解： f(x) 與g(x) 互為反函數，g f(x) xf ( x)g(t)dt x e ，得g f(x) f (x) 2xe x e ，2 xx2 x由0 f(x) 2ex xex ， f(x) (2e f(0) 0 ， c 1， f(x) ex xex 1 C，x五、（10 分）若當x 0 時， F(x) (x2

35、 t2 ) f (t)dt的導數與x2 為等價無窮小，0求 f (0) 。xx解：由F(x) 2xf(t)dt x2 f (x) x2 f (x) 2xf(t)dt，00 x2x f (t)dt2 f(t) xF(x)2 f(x) f(0)0 lim limo lim 1又limx2xxxx0 x0 x0 x0f(x) f(0) 1 f (0) limx2x0 x earctan x六、（10 分）計算3 dx(1 x2 )2x earctan xtan tet1令arctan xtdtan t sintedt e (sin t cost) Cdxtt解：3(1 x2 )2sec3 t2x 1

36、 1 earctan x 2c。1 x2ddx11七、（10 分）計算I cos(ln)dx，其中n為自然數。2nxeddx1112n12n12n解： I cos(ln)dxsin(ln) xsin(lnxeee令ln 1 u x2n0sinudu 2n0sinudu 4n17或令1 t x1e2n令ln tu2n12n0t ()dtsin(lnt)d(ln t)sinudu 4nsin(ln t)2te1八、（10 分）一容器的側面和底面可看作曲線段 y x2 1 (1 x 2) 和直線段y 0 (0 x 1) 繞 y軸旋轉而成（見附圖，坐標軸長度為1米），若以1米3 /分的速度向容器注水，

37、試求當水面高度達到容器深度一半時水面上升的速度。y解：設注水t分鐘后，容器水面的高度為h h(t)hv t (y1)dy注水t分鐘后的體積012x0t (h2 2h) 2兩邊關于t求導得1 (2h 2) dh2dt所以 dhdt12米/分。h 3 2h 3 2(h1)5九、（10 分）設 f(x) 在0，1上連續(xù)，在（0，1）內可導， f(0) 0 , 0 f(x) 1，11求證：f(x)dx f (x)dx2300證明：令F(x) 0F(x) 20，則0) ，x再令(x) 2f(x)dx f (x) ，則(x) 2 f(x) 2 f(x) f(x) 2 f(x)1 f2(x) ，0因為 f(

38、0) 0 , f(x) 0 ，所以當x 0 時， f(x) f(0) 0 ，所以(x) 0 ，(x) (0) 0 ，因此有F(x) F(0) 0 ，故F(1) 0 ，11從而有f(x)dx f (x)dx。23002004 年江蘇省普通高等學校非理科專業(yè)第七屆高等數學(?？?競賽試題一、填空題(每小題 5 分，共 40 分，把寫在題中橫線上)181 f (x) 是周期為 的奇函數，當 x (0, 時， f (x) = sin x cos x 2 ，則當2x ( , 時， f (x) =2322x 0 時，與cxk 為等價無窮小，則 c= 1 223 lim(sin x) tan=x2x e1

39、1 1dx n4. lim( n n . n) = lim 1 0 1 x 2n2 1n2 4n 2 n 2kn n4xk 1 1 ( )2n5 f (x) = x 2 ln(1 x), n 2時， f n (0) ex (1 x)16 (1 xe x )2 dx = c (1 xe x )7以直線 x=y=z 為對稱軸，半徑 R=1 的圓柱面方 8 n ln 2 n1 (n 1)2n二 、（ 10 分 ） 設 f (x) 在 a, b 上 連 續(xù)， 在 (a, b) 內 可 導 ，f (a) a,f (x)dx 1 (b 2 a 2 ) ， 求證：在 (a, b)b內至少有一點 ， 使得 2

40、af ( ) f ( ) 1解由 f (x)dx 1 (b 2 a 2 ) ，兩邊對b 求導得 f (b) bb2a令 F (x) ( f (x) x)ex因為 F (a) ( f (a) a)ea 0 ， F (b) ( f (b) b)eb 0所以在(a, b) 存在一個點 ，使 F / ( ) 0 ，即 f ( ) f ( ) 1三、（10 分）設 D： y 2 x 2 4, y x, x y 2, x y 4 ，在 D 的邊界 y x 上任意取點 P，設 P 到原點的距離為 t，作 PQ 垂直于 y x ，交 D 的邊界 y 2 x 2 419于 Q，1) 試將 P，Q 的距離 PQ表

41、示為 t 的函數；2)求 D 繞 y x 旋轉一周的繞旋體體積。四、（10 分）設 f (x) 在 , 上有定義， f (x) 在 x=0 處連續(xù)，且對于一切實數x1 , x2 , f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 求證： f (x) 在 , 處處連續(xù)證明令 x2 0 ，則 f (x1 0) f (x1 ) f (0) ，即 f (0) 0 ，因為 f (x) 在 x=0 處連續(xù)，故lim f (x) f (0) 0 x0在 , 上任取一點 x0 ，有 f (x0 x) f (x0 ) f (x)當x 0 時，有 lim f (x x) lim f (x ) f (x) f

42、 (x ) lim f (x)0因為lim f (x) f (0) 0 ，所以 lim f (x0 x) f (x0 ) ，連續(xù)x0 x0五、（10 分）設k 為常數，方程kx 1 1 0 在0, 上有一根，求k 的取值范圍x六、（10 分）已知點 P（1，0，-1）與 Q（3，1，2）在平面 x 2 y z 12 上求一點 M，使得 PMMQ最小七、（10 分）求冪級數 1xn 的收斂域n1 n(3n 2n )林 業(yè) 大 學2003 年攻讀高學位數入學等學試題一、填空題（共 6 小題，每小題 4 分，計 24 分）當 x 0 時， 4xn1cos x 與為同階無窮小， 則n 。設 a(1 c

43、os ) ，則 dy 2。dx設 f (x)( x ) 是以 2 為周期的函數，且 f (x) ex (1 x 1) ，3設0 a 2 ，則 f (a) 。20已知 f(x) x3 ax2 bx 在 x 1 處取得極小值-2 ， 則 a ，4b 。sin xtt2x設F(x) dt，則F (x) 5。x sin x sin 2 x設0dx ，則02dx 。6xx2二、選擇題（共 6 小題，每小題 4 分，計 24 分）lim f(x) a是lim1f(x)a 的條件。（）xx0（A）xx0充分（B）必要（C）既不充分也不必要（D）充要2.若實系數的方程a x4 a x3 a x2 a x a

44、0 有四個不同的實根，則01234方 程 4a x3 3a x2 2a x a 0 的 實 根 個 數為 。0123（A）1（B）2（C）3（D）（0設 f(x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，則必定存在一個正數 ，使得3）（A）曲線 y f(x) 在(x0 , x0 ) 內是凹的。（B）曲線 y f(x) 在(x0 , x0 ) 內是凸的。（C） 曲線 y f(x) 在(x0 , x0 內單調減少，在x0 , x0 ) 內單調增加。（D） 曲線 y f(x) 在(x0 , x0 內單調增加，在x0 , x0 ) 內單調減少。若 函數 y f(x) 在 a,b 上 連續(xù) ， x0 為 (a,

45、b) 內 任一 固定 點， 則4d0dxf(x)dx x。a（）（C）f(x0 ) f(a)（D）0（A）f(x0 )（B）f(x)f(x) 0, f(x) 0, f (x) 0 ， 令 s bf(x)dx ，5 設在區(qū)間a,b 上函數1as 1 f(a) f(b)(b a)s f(b)(b a)， 則 。232（）（A）s1 s2 s3s2 s1 s3（B）21s3 s1 s2s1 s3 s2（C）（D）線性微分方程有一個特解 x 2e3x cos x ，則 是該微6 設n 階常系數分方程的一個特征根。（A） 1（D） 3 i（B）2（C）311 x(1 x) x x 0f (x) 三、（本

46、題滿分 8 分）求a 的值，使函數連續(xù)。ex 0ad 2 y已知函數 y ln f (x ) ，其中 f 二階可微，求。2四、（本題滿分 8 分）dx 2五、（本題滿分 8 分） 求證方程(x a) 2 (x b) x 2 (a 0, b 0) 有一個正根和兩個負根。x六、（本題滿分 12 分） 求函數 y x 點、漸近線。的單調區(qū)間及極值、凹凸區(qū)間及拐x 2 1設函 數 f (x) 在 a, b 上有 二階 導數 ， 且七 、（本 題滿 分 9 分） f (a) f (b) 0, f (a) 0 ，求證：在區(qū)間 (a, b)內至少存在一點 ，使f ( ) 0 。八、（本題滿分 10 分）設

47、f (x) 具有二階連續(xù)導數，且 f (x h) f (x) hf (x h)(0 1), f (x) 0 ，求證： lim 1 。2h02 a九、（本題滿分 8 分）在什么條件下，積分為有理函數。x a(t sin t)(0 t 2 ) 與 X 軸所圍圖形十、（本題滿分 10 分）求擺線一拱 y a(1 cos t)繞其對稱軸旋轉一周所形成的體積。22十一、（本題滿分 10 分） 求證： 0sin t dt 0 。0 x 1，十二、（本題滿分 10 分） 已知微分方程 y y f (x) ，其中 f (x) 10 x 122求滿足 y(0) 0 且在0,1 與(1,) 內滿足微分方程的連續(xù)函

48、數 y y(x) 。f (x) f ( y)十三、（本題滿分 9 分） 求滿足 f (x y) 及 f (0) 1 的函數 f (x) 。1 f (x) f ( y)2002 電子高等數學競賽試題與解答一、選擇題（40 分，每小題 4 分，只有一個正確）.x1設 f (x) 在a, a（ a 0 ）上連續(xù)，且為非零偶函數， (x) f (t)dt ，則(x)（B）.0（A）是偶函數；（C）是非奇非偶函數；（B）是奇函數；（D）可能是奇函數，也可能是偶函數.b2設 f (x) 在a, b 上連續(xù)，且 f (x)dx 0 ，則（D）.a（A）在(a, b) 內不一定有 x 使 f (x) 0 ；

49、（B）對于a, b 上的一切 x 都有f (x) 0 ；（C）在a, b 的某個小區(qū)間上有 f (x) 0 ；（D）在 (a, b) 內至少有一點使f (x) 0 .x3已知當 x 0 時， F (x) (x t 2 ) f (t)dt 的導數 F (x) 與 x 2 為等價無窮小，20則 f (0)（B）.（A）等于 0；（B）等于 1 ；（C）等于 1；（D）不存在.24設 y(x) 是微分方程 y (x 1) y x 2 y e x 的滿足 y(0) 0 ， y(0) 1 的解，則lim y(x) x（B）.x 2（A）等于 0；x0（B）等于 1；（C）等于 2；（D）不存在.5設直線

50、 L： x 3y 2z 1，平面 ： 4x 2 y z 2 ，則它們的位置關系2x y 10z 3是 （C）.（A） L / ； （B）L 在 上；（C） L ； （D）L 與 斜交.6設在全平面上有 f (x, y) 0 ， f (x, y) 0 ，則保證不等式 f (x , y ) f (x , y )1222xy成立的條件是（A）.（A） x1 x2 ， y1 y2 ；（B） x1 x2 ， y1 y2 ；23（C） x1 x2 ， y1 y2 ；（D） x1 x2 ， y1 y2 .7設 S 為八面體| x | | y | | z | 1全表面上半部分的上側，則不正確的是（D）.（A）

51、 y 2 dydz 0 ；（B） y dydz 0 ；（C） x 2 dydz 0 ；（D） x dydz 0 .SSSS 是（A）.8設常數 0 ，則級數(1) tann1nn 2 （A）條件收斂； （B）絕對收斂；（C）發(fā)散；（D）斂散性與 有關9設A、B 都是n 階非零矩陣，且 AB O ，則A 和B 的秩（D）.（A）必有一個等于零；（B）都等于n ；（C）一個小于n ，一個等于n ；（D）都小于n .10設 A 是 3 階可逆矩陣，且滿足 A2 A 6E 0 ， | A* | 144 （ A* 為 A 的伴A隨矩陣），則的三個特征值是（C）.（A）3，3， 2 ； （B） 3 ， 3

52、 ，2； （C）3， 2 ， 2 ；（D） 3 ，2，2.1二、（8 分）設 f (x) 在 x 0 的鄰域具有二階導數，且 lim 1 e3 ，x0試求 f (0) ， f (0) 及 f (0) .f (x)ln1 x1f (x) x) 0解 lim1 x x0 e3 limx0 xf (x) f (0) 0 lim f (x) 0 lim f (x) 0 f (0) f (0) lim0 x 0f (x)x f (x) 2 lim f (x) 2 f (0) lim0f (x) f (0) 4由等價無窮小得lim x 3 limx 0 xx0 0(x 2 ) 11（或由公式得 f (x)

53、f (0) 2 2 f (0) 4 ） 0) limf (0)x0 22x1三、（8 分）設 f (x) arcsin(x 1) 及 f (0) 0 ，求 f (x) dx .201111解12f (x)dx f (x)d (x 1) (x 1) f (x) (x 1) f (x)dx (x 1) arcsin(x 1) dx0000000u arcsin u du arcsin u 1 u1 2u1 u2arcsin udu令x 1 u221 1 1 .01 t 412242四、（8 分）設函數 u(x, y) 滿足 uxx u yy 0 與u(2 ，求， ux (24) ， u) ， u

54、yy (x, 2x) （ ux 表示u 對 x 的一階偏導數，其他類推）.兩端對 x 求導,得ux (x,2x) 2uy (x,2x) 1u解等式u(2 .uy (這兩個等式,對 x 求導得2 )ux (, uyx (x,2x) 2uyy (uxx (x,2x) 2uxy (.uxy 5 x .由已知條件得uxx u yy ,uxy uyx ,故解得u，3五、（8 分）設向量組1 ， 2 ， s 是線性方程組 AX 0 的一個基礎解系，向量 不是方程組 AX 0 的解，即 A 0 ，試證明：向量組 ， 1 ， 2 ， s 線性無關.sss證設有一組數k, k1, k2 , ks 使得k ( i

55、 ) 0 ,即(k ki ) (ki )ii1i1i1sssA,得(k ki ) A (ki ) Ai 0 A 0 , k ki 0兩邊i1i1i1sss(ki )i (k ki ) 0 ,即kii 0 ,1 2 , s 為 AX 0 的基礎解系i1i1i1 k1 k2 ks 0 k 0 。故 , 1, s 線性無關。六、（10 分）已知三元二次型 X T AX 經正交變換化為 2 y 2 y 2 y 2 ，又知123A* ，其中 (1, 1, 1)T ， A* 為 A 的伴隨矩陣，求此二次型的表達式.解由條件知 A 的特征值為2,1,1 ，則| A | 2 ， A * 的特征值為| A |

56、，A*的特征值為1,2,2 ，由已知 是 A*關于 1 的特征向量，也就是 是 A 關于 2 的特征向量，設 A3 )T, A 是實對稱陣， 與 X 要正交，關于 1 的特征向量為 ( 1 11 0出 1 (1,1,0)T , 2 (1,0,1)T. 令 P (3 0 解 , , ) 1 1， 則1112021 2 1 1 111 1111 001P1AP 1， A P P 1 0 1 1 1 2 1 01 故1 3 0 11 112111X T A2 22 x3七、（8 分）設 S 是以 L 為邊界的光滑曲面，試求可微函數(x) 使曲面積分25(1 x 2 ) (x) dydz 4xy (x

57、) dzdx 4xz dxdyS與曲面 S 的形狀無關. 解 以 L 為邊界任作兩個光滑曲面 S1, S2 ， 它們的法向量指向同一例， S1S2，記 S * 為 S1 與 S2 所圍成的閉曲面，取外側，所圍為 ，則PQR 0 ，由 公式得()dV 0 ，由 的任意性得 xyzS S*S12P Q R 0 22 ) (x) 0 , 即 (1 (x) 4x 0 解4xyz線性非方程得 (x) cx2 c 2 .八、（10 分）設一球面的方x 2 y 2 (z 1) 2 4 ，從原點向球面上任一點Q 處的切平面作垂線，垂足為點 P，當點 Q 在球面上變動時，點 P 的軌跡形成一封閉曲面 S，求此封

58、閉曲面 S 所圍成的 的體積. 解 設 點 Q為 (x0 , y0 , z0 )， 則 球 面 的 切 平 面 方垂線方0 ) y0 ( y y0 ) (z0 1)(z z0 ) 0 xyz x tx, y ty, z 1 tz 代入 x 2 y 2 (z 1)2 4 及切平面方程 得000000 x0y0z0 14x 2 y 2 z 2 ， x 2 y 2 z 2 z t(x 2 y 2 z 2 ) ，即(x 2 y 2 z 2 z)2 4(x 2 y 2 z 2 ) （P 點t 2軌跡）.化為球坐標方程得 2 cos .2 2cos 402.23V d sin d d (2 cos) d

59、(2 cos)330000九、（10 分）設函數 f (x) 在a, a（ a 0 ）上連續(xù)，在 x 0 可導，且 f (0) 0 . xx（1）求證： x (0, a) ， (0, 1) ，等式 f (t) dt 0 f (t) dt x f ( x) f ( x)0成立.（2）求極限 lim .x0 xx證（1）令 F (x) f (t)dt f (t)dt , x (0, a) ,由中值定理得00 xx F (0) 0 ，f (t)dt 0 f (t)dt x f (x) f (x).F (x) F (0) F (x)(x 0), (0,1)0 x xf (t)dt 0 f (t)dt

60、f (x) f (x) （2）由上式變形得，兩邊取極限， x 0 ，02x2x226f (0) lim ， f (0) 0 ， lim 1 .f (x) f (x) 1 f (0) ， 右左 limx04x2x0 x021十、（10 分）設函數(x) 在（ ， ）連續(xù)，周期為 1，且 (x) dx 0 ，01函數 f (x) 在0，1上有連續(xù)導數，設a f (x) (nx) dx ，求證：級數a 2 收斂.nn0n112nx證由已知條件 (u)du (u)du (u)du 0 ，令 F (x) (t)dtn1010則 F (x) 為周期為 1 的函數，且 F (nx) (nx), F (0)