2013年北京師范大學(xué)959量子力學(xué)考研真題

1、北京師范大學(xué)2013年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題部（院、系）：物理學(xué)系科目代碼：959科目名稱：量子力學(xué)（所有答案必須寫在答題紙上，做在試題或草稿紙上一律無效）參考公式:1.概率流密度=2.3.r 0 1J 0丿一維諧振子波函數(shù)的遞推公式泡利矩陣bx兀（兀）=氨厲b用-1 +吮+，其中口 =一、單選或多重選擇題（共25分）多選、少選、選錯均不得分。 在球坐標(biāo)系下，波函數(shù)P （r）取如下形式。其中可歸一化的有（A） ：T廠（B） ：T pi （C） ：r （D）:T若A、為厄米算符，則下列表達(dá)式正確的是（A）卩 | A | P=Pl A I Q （B）=（C）i Ab的平均值必為實(shí)數(shù)（D

2、） /的平均值只可能是零或正實(shí)數(shù)厄米算符A在某表象下的表示矩陣記作A，則在表象變換下不變的量有（A）A的行列式（B）A的跡（C）A的對角元都是實(shí)數(shù) （D）A總是對稱的三維各向同性諧振子（不考慮自旋）可能的簡并度有（A）2（B）3（C）4（D）5粒子在定態(tài)下，（A）波函數(shù)不隨時(shí)間變化（B）粒子的幾率分布不隨時(shí)間變化（C）粒子能量的平均值不隨時(shí)間變化（D）粒子動量的平均值不隨時(shí)間變化科目代碼：959科目名稱：量子力學(xué)（25分）如圖，一維勢函數(shù)僅在有限區(qū)域內(nèi)非零，在勢函數(shù)為零區(qū)域的定態(tài)薛定諤方程 的解在圖中已給出。找出常數(shù)A，B，C，D所滿足的普遍關(guān)系式（不依賴于勢函數(shù)的具體形 式）。（25分）兩無

3、相互作用的一維非全同諧振子的哈密頓為若加入微擾E=二門：（1）求基態(tài)能量的一級修正（2）用簡并態(tài)微擾法求第一激發(fā)態(tài)的能量修正及對應(yīng)的波函數(shù)（一維諧振子的波函數(shù) 可用：.j: 表示）。（3）嚴(yán)格求解戸=上-的能級，與（2）的結(jié)果比較。（提示：通過坐標(biāo)變換將H 表示為兩個(gè)一維諧振子相加的形式）（25分）考慮一個(gè)約束在半徑為R高為D的圓柱的環(huán)形外表面上的電子二“ ， 取軸向?yàn)閦方向。（1）忽略電子自旋，計(jì)算電子的能級和能量本征函數(shù)。（2）寫出基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)并說明其簡并度。（3）考慮電子自旋與角動量的耦合能化，其中f為常數(shù)，-為軌道與自旋角 動量的z分量，計(jì)算第一激發(fā)態(tài)的分裂情況，寫出對應(yīng)的波函數(shù)。【提示： 柱坐標(biāo)下孑- = 7一 = 】 （25分） 同上題，仍考慮約束在半徑為R高為D的圓柱的環(huán)形外表面上的電子3 -二-丘。將圓柱面放入z方向的勻強(qiáng)磁場B中，計(jì)算電子第一激發(fā)態(tài)精細(xì)結(jié)構(gòu)在磁場 中的塞曼分裂?！咎崾荆喝芸梢詫懗?二二】（第六題在下頁?。┛颇看a：959科目名稱：量子力學(xué)(25分)兩個(gè)電子的自旋分別為二和二，它們之間的相互作用可以用如下的哈密頓量 表示： =