四川省成都市2021-2022學年高一年級下冊學期期末數(shù)學(文科)試題【含答案】

1、20212022學年度下期期末高一年級調(diào)研文科數(shù)學一選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知向量，則=（ ）A. B. 1C. 2D. 5A【分析】根據(jù)向量模的坐標表示求解即可.【詳解】解：因為向量，所以.故選：A2. （ ）A. B. C. D. D【分析】利用二倍角余弦公式計算可得.【詳解】解.故選：D3. 等差數(shù)列中，若，則公差（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得 故選：A4. 若，則向量與的夾角為（ ）A. B. C. D. C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和模求夾角即可

2、.【詳解】由題意， ， 與 的夾角為 ；故選：C.5. 已知l，b，c為空間中三條不同的直線，為空間中一個平面，若，則l與的關系是 （ ）A. B. C. l內(nèi)D. 不確定D【分析】利用線面垂直的性質(zhì)和判定分析判斷即可【詳解】因為，所以當為相交直線時，當為平行直線時，則或l在內(nèi)都有可能，所以l與的關系不確定，故選：D6. （ ）A. B. C. D. D【分析】根據(jù)正切兩角差的公式即可求解.【詳解】因為；故，故選：D7. 下列說法正確的是（ ）A. 若，則向量與的夾角一定為直角B. 等比數(shù)列前n項和公式為C. D. 圓臺（棱臺）體積公式為（其中，S分別為上下底面面積，h為圓臺（棱臺）高）D【分

3、析】利用特例判斷A，根據(jù)等比數(shù)列求和公式判斷B，作差、利用輔助角公式判斷C，根據(jù)圓臺的體積公式判斷D；【詳解】解：對于A：當（或）時，也滿足，故A錯誤；對于B：當時，當時，所以，故B錯誤；對于C：，所以，故C錯誤；對于D：圓臺（棱臺）體積公式為（其中，S分別為上下底面面積，h為圓臺（棱臺）高），故D正確；故選：D8. 已知都是銳角，若，則（ ）A. B. C. D. B【分析】先由已知條件求出，再由兩邊取余弦函數(shù)化簡可求得結(jié)果【詳解】因為為銳角，所以，因為都是銳角，所以，因為，所以，所以，故選：B9. 如圖，兩個正方形ABCD，ADEF不在同一個平面內(nèi)，點P，Q分別為線段EF，CD的中點，則直

4、線FQ與PB的關系是（ ）A. 相交B. 平行C. 異面D. 不確定C【分析】取的中點，可得，進而可得平面，平面， 平面，即得.【詳解】取的中點，連接，則，又，則確定平面，又平面，平面，平面，直線FQ與PB是異面直線.故選：C.10. 已知在遞減等比數(shù)列中，若，則（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的計算可求，進而可得公比，即可求解.【詳解】由，且可解得 ，因此可得等比數(shù)列的公比為 ，所以 故選：A11. 三棱錐的頂點都在同一球面上，其中、兩兩垂直，且，則該球的表面積為（ ）A. B. C. D. C【分析】將三棱錐補成長方體，計算出長方體的體對角線長，可得出該三棱錐外

5、接球半徑，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在三棱錐中，、兩兩垂直，將該三棱錐補成長方體，則長方體的體對角線長為，所以，三棱錐的外接球半徑為，因此，該三棱錐外接球的表面積為.故選：C.12. 如圖，在平面四邊形中，若點F為邊上動點，則的最小值為（ ）A. 1B. C. D. 2B【分析】建立平面直角坐標系，設出點坐標，求得的表達式，進而求得的最小值.【詳解】以為原點建立如圖所示平面直角.依題意，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，所以三角形是等邊三角形，所以.所以，設依題意令，即，所以，所以，所以對于二次函數(shù)，其對稱軸為，開口

6、向上，所以當時，有最小值，也即有最小值為.故選：B本小題主要考查向量數(shù)量積的最值的計算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于難題.二填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知向量，且，則 _3【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】解：因為，且，所以，解得故14. 若圓錐的高為，底面半徑為，則其體積為_.【分析】利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，該圓錐的體積為.故答案為.15. 如圖，取一個邊長為1的正三角形，在每個邊上以中間的為一邊，向外側(cè)凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第2個圖形，重復上面的步驟，得到第3個圖形這樣無限地作下去，得到的圖形的

7、輪廓線稱為科赫曲線，又名“雪花曲線”根據(jù)上圖可知，第3個圖形的邊長為_，第4個圖形的周長為_ . . 【分析】根據(jù)題中給出的圖形，先分析邊長之間的變換規(guī)律，再分析邊數(shù)的變化規(guī)律即可.【詳解】由觀察知，第1個圖形的邊長為1，第2個圖形的邊長為第1個圖形邊長的，則各個圖形的邊長構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以邊長，所以第3個圖形的邊長為.由觀察知，各個圖形的邊數(shù)構(gòu)成首項為3，公比為4的等比數(shù)列，數(shù)，周長為.所以第4個圖形的周長為故答案為: ；.16. 在三棱錐A-BCD中，有，且，分別經(jīng)過三條棱AB，AC，AD作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，則，的大小關系是_（按從大到小順序排列，

8、并用“”號連接）【分析】根據(jù)題意，可由，直接計算出，可得，在用作差法，可得最后答案.【詳解】因為，所以三棱錐A-BCD可由以點為頂點的長方體所截，設三邊分別為，即，經(jīng)過三條棱AB作一個截面平分三棱錐的體積，作圖如下：因為，且，所以平面，在平面內(nèi)，分別過作，因為平面，所以，因為，所以平面，同理平面，因為截面平分三棱錐的體積，所以，易得為的中點，從而易得，同理可得：，則，因為，所以，同理可得：，所以，故答案為.三解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.17. 已知，是夾角為60的單位向量，設.（1）求；（2）求的最小值.（1） （2）【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積定義直接計

9、算可得；（2）利用性質(zhì)，將所求問題轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù)最值問題.小問1詳解】由向量，為夾角為60的單位向量，可得，.所以.【小問2詳解】，.當且僅當時等號成立，的最小值為.18. 已知a，b，c分別是ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且，（1）若，求角A；（2）若_，求ABC的面積請從，這兩個條件中任選一個，將（2）中的條件補充完整，并作答（注意：只需選一個，若兩個都選，則按所選的第一個計分）（1）或 （2）選：或；選：【分析】（1）運用正弦定理求得，根據(jù)角的范圍可求得答案；（2）若選：由正弦的二倍角公式得或，再由三角形的面積公式可求得答案 選：由余弦定理求得，從而得，運用三角形的面積公式可求得答

10、案.【小問1詳解】解：在ABC中，由可得：，又，或；【小問2詳解】解：選：，或或選：， .19. 已知正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.（1） （2）【分析】（1）利用求出首項，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可寫出；（2）利用裂項求和即可.【小問1詳解】，數(shù)列是以公差為3的等差數(shù)列.又， ，.【小問2詳解】由（1）知，于是20. 設函數(shù)（1）求的周期和最值；（2）已知a，b，c分別是ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，求線段CD的長（1）， （2）【分析】(1)對 作恒等變換，將 表示為單個三角函數(shù)的解析式即可求解；(2)先算出角B，再運用余弦定理求出c，再根據(jù)D點

11、的位置即可求解.【小問1詳解】，；【小問2詳解】， （舍），；綜上， 的周期為 ，最大值為2，最小值為-2，.21. 在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD平面PAB，點E，F(xiàn)分別在線段CB，AP上，且，（1）求證：平面PCD；（2）若，求點D到平面EFP的距離（1）證明見解析 （2）【分析】（1）取的中點，連接，即可得到且，再由且，即可得到是平行四邊形，從而，即可得證（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，再證平面，即可得到點到平面的距離等于點到平面的距離，最后根據(jù)等體積法計算可得【小問1詳解】證明：如圖，取的中點，連接，在中，點，分別為，的中點，且在矩形中，點為的中點，且，且.

12、四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面【小問2詳解】解：四邊形是矩形，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面.平面，即就是點到平面的距離，平面，平面，所以平面，點到平面距離等于點到平面的距離又，同理可證平面，即，且， 平面，平面.，即， 點到平面的距離為22. 數(shù)列在實際生活中有很多應用例如某縣城一位居民為了改善家庭的住房條件，決定重新購房2022年7月1日，他來到了當?shù)匾粋€房屋交易市場，面對著房地產(chǎn)商林林總總的宣傳廣告，是應該購買一手商品房還是二手房呢，他一時拿不定主意經(jīng)過一番調(diào)查，這位居民收集到一些住房信息，然后在下表中列出了他的家庭經(jīng)濟狀況和可供選擇的方案：家庭經(jīng)濟狀況家庭每月總收

13、入3000元，即年收入3.6萬元現(xiàn)有存款6萬元，但是必須留2萬元3萬元以備急用預選方案買一手商品房：一套面積為80平方米的住宅，每平方米售價為1500元買二手房：一套面積為110平方米的二手房，售價為14.2萬元，要求首付4萬元購房還需要貸款，這位居民選擇了當?shù)匾患疑虡I(yè)銀行申請購房貸款該銀行的貸款評估員根據(jù)表格中的信息，向他提供了下列信息和建議：申請商業(yè)貸款，貸款期限為15年比較合適，年利率為5.04%，購房的首付款一般為實際購房總額的30%（最低20%），貸款額一般為實際購房總額的70%，還款方式可選擇等額本金還款，一般采用按季還款的方式，每季還款額可以分成本金部分和利息部分，其計算公式分別

14、為：本金部分=貸款本金貸款期季數(shù)；利息部分=（貸款本金已歸還貸款本金累計額）季利率請用學過的數(shù)列知識幫這位居民算一算需要償還的貸款總和，根據(jù)計算結(jié)果，你認為預選方案、到底哪個是他的最佳選擇？闡述你的建議，并說明理由參考資料i對于家庭經(jīng)濟收入的分配，國內(nèi)外經(jīng)濟學家提供了下述參考標準：家庭收入的30%用于償還購房貸款，30%用于投資儲蓄，20%用于子女教育，20%用于日常開銷因此，償還購房貸款的金額占家庭總收入的20%30%為宜月利率=年利率12，季利率=年利率4建議選方案，建議和理由見解析【分析】分別計算方案和方案的還款總額和還款情況，結(jié)合家庭收入基本情況，下結(jié)論.【詳解】方案：如果首付3.6萬元（住房總價值的30%），貸款8.4萬元，季利率為，以貸款期為15年為例每季等額歸還本金為（元）因為第1個季度利息為（元），則第1個季度還款額為（元）因為第60個季度的利息為（元），則第60個季度還款額為（元）所以根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得：前60個季度求和，共還款額為（元）方案：如果首付4萬元，貸款10.2萬元，季利率為，以貸款期為15年為例每季等額歸還本金為（元）因為第1個季度利息為（元）