認(rèn)識(shí)最小二乘法

1、認(rèn)識(shí)最小二乘法 對(duì)“用最小二乘法探求回歸直線方程”的教學(xué)反思 北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 李勇 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 宋莉莉第六次課題研討會(huì)開設(shè)的研究課之一數(shù)學(xué) 3中“2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系”的第 3 課時(shí)“用最小二乘法探求回歸直線方程” 引起了廣泛的討論. 包 括 執(zhí)教者在內(nèi)的許多一線教師都反映自己在講授統(tǒng)計(jì)知識(shí)時(shí)， 往往由于對(duì)知識(shí)內(nèi)容 一知半解不得不“照本宣科”，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)理解上的偏差；在指導(dǎo)學(xué)生體會(huì)統(tǒng) 計(jì)思想時(shí)，更是感到“心有余而力不足” . 教師的這些感受都是真實(shí)自然的， 主要原因有三： 其一是絕大多數(shù)教師自己雖然學(xué)過 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)” 類課程， 但這 些課程大都是統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)基

2、礎(chǔ)，少有統(tǒng)計(jì)思想的介紹；其二是以往的高 中數(shù)學(xué)教材中幾乎不涉及統(tǒng)計(jì)學(xué)思想， 教師在教學(xué)過程中遠(yuǎn)離統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容， 結(jié)果 使自己對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)變得陌生；其三是缺乏必要的適于中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué) 參考資料 .統(tǒng) 計(jì)學(xué)是一門“實(shí)踐性”和“過程性”都很強(qiáng)的學(xué)科，任何一個(gè)單獨(dú)的統(tǒng)計(jì)概念、公式、統(tǒng)計(jì)方法及其所蘊(yùn)涵的統(tǒng)計(jì)思想都與解決特定實(shí)際問題的過程相 關(guān)聯(lián) . 因此應(yīng) 在統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)過程中，重視滲透和明確統(tǒng)計(jì)思想 . 統(tǒng)計(jì)思想既 深刻又有其獨(dú)特性， 正如統(tǒng)計(jì)學(xué)家陳希孺先生所說 “統(tǒng)計(jì)學(xué)不止是一種方法或技 術(shù)，還含有世界觀 的成分它是看待世界上萬事萬物的一種方法” . 統(tǒng)計(jì)教學(xué) 不容忽視的一個(gè)目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的

3、“統(tǒng)計(jì)思想” .以上是統(tǒng)計(jì)教學(xué)非常重要的兩個(gè)方面， 但在教師的知識(shí)儲(chǔ)備不足時(shí)是不可能 實(shí)現(xiàn)的，所以當(dāng)務(wù)之急是提高教師自身的統(tǒng)計(jì)水平. “高水平數(shù)學(xué)教學(xué)的前提是教師自己準(zhǔn)確理解所教內(nèi)容” . 因此本文想以“最小二乘法”為載體，通過挖掘 其產(chǎn)生的歷史背景、思想源頭、來龍去脈、與其他統(tǒng)計(jì)知識(shí)的聯(lián)系等，為教師提供一個(gè)感受統(tǒng)計(jì)思想的內(nèi)涵、 統(tǒng)計(jì)方法的特征、 統(tǒng)計(jì)學(xué)家創(chuàng)設(shè)統(tǒng)計(jì)方法時(shí)的思想 火花等的機(jī)會(huì).一、最小二乘法與最小一乘法什么時(shí)候用最小二乘法 在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，可以用回歸分析的方法進(jìn)行分析。當(dāng)確定了 描述兩個(gè)變量之間的回歸模型后， 就可以使用最小二乘法估計(jì)模型中的參數(shù)， 進(jìn) 而建立經(jīng)驗(yàn)方程

4、.例如，在現(xiàn)實(shí)世界中，這樣的情形大量存在著：兩個(gè)變量X 和 丫 （比如身高和體重）彼此有一些依賴關(guān)系，由 X 可以部分地決定丫 的值，但這種關(guān)系又是不 確定的 . 人們常常借助統(tǒng)計(jì)學(xué)中的回歸模型來尋找兩個(gè)變量之間的關(guān)系，而模型 的建立當(dāng)然是依據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù). 首先通過試驗(yàn)或調(diào)查獲得 x 和 丫 的一組對(duì)應(yīng)關(guān)系 （ Xi ， 丫） ，（ X2， 丫 2 ）， , ，（ Xn ，Yn ），然后回答下列 5 個(gè)問題：這兩個(gè)變量是否有關(guān)系？ （ 畫出散點(diǎn)圖，作直觀判斷 ）這些關(guān)系是否可以近似用函數(shù)模型來描述？（利用散點(diǎn)圖、已積累的函數(shù)曲線形狀的知識(shí)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，選擇適當(dāng)?shù)幕貧w模型，如一元線性模型y=b ）

5、+bx,二次函數(shù)模型y=bo+ bx + bzx2等）建立回歸模型.對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，最小二乘法是這些參數(shù)的一種常用估計(jì)方法 .討論模型的擬合效果.在上述第 3 步中，設(shè)所建立的回歸模型的一般形式是是一 一個(gè)由參數(shù)一決定的回歸函稱為響應(yīng)變量， x 稱為解釋變量或協(xié)變量； 數(shù)；f是一個(gè)不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差.為了通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計(jì)參數(shù)-的值，可以采 用許多統(tǒng)計(jì)方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的 . 由一的估計(jì)值T 決定的A方程1= -I二稱為經(jīng)驗(yàn)回歸方程或經(jīng)驗(yàn)方程.教科書中涉及的回歸模型是最簡(jiǎn)單的一元線性模型Y=bo+bix+t ，是一個(gè)不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差此時(shí)模型的擬合效果可以通過Pea

6、rs on 相關(guān)系數(shù)弘朋一刃=2A1 Y i-lZ來描述。事實(shí)上，在線性回歸模型中可以證明相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方 .什么是最小二乘法思想簡(jiǎn)單地說，最小二乘的思想就是要使得觀測(cè)點(diǎn)和估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到 最小 . 這里的“二乘”指的是用平方來度量觀測(cè)點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的遠(yuǎn)近（在古漢語中“平方”稱為“二乘”），“最小”指的是參數(shù)的估計(jì)值要保證各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與估計(jì)點(diǎn)的距離的平方和達(dá)到最小 .例如，對(duì)于回歸模型Y=f （x9 ） +A若 （耳人）， （心打） 為收集到的觀測(cè)數(shù)據(jù)，貝燉該用 卜人鋤 來估計(jì)益 ，這里是的估計(jì)值。這樣點(diǎn)篇：的估計(jì)就是I:;,它們之間距離的平方就是1 1半廠 ，進(jìn)而最小二乘估計(jì)量就

7、是使得Q二弘-疔+ 3金掰（*）達(dá)到最小值的參數(shù).特別當(dāng)各個(gè)1和相應(yīng)的估計(jì)值相等，即二人時(shí)，最小二乘估計(jì)量就是使得曲二加 - 幾屈 ri_i（ * ）達(dá)到最小值的參數(shù).如果我們能夠在固定解釋變量值的前提下觀測(cè)預(yù)報(bào)變量，就認(rèn)為解釋變量的 觀測(cè)值和估計(jì)值相等，從而可以通過（ * ） 式求最小二乘估計(jì).在實(shí)際應(yīng)用中，人們常忽略“各個(gè)和相應(yīng)的估計(jì)值相等”的條件，而把 （ * ） 式的最小值點(diǎn)稱為參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，其原因有二：其一是不知道最小二乘方法的原理；或是找不到估計(jì)量I 的合理數(shù)學(xué)表達(dá)式，也就無法通過（*）式求最小二乘估計(jì)量，只好用 TOC o 1-5 h z （ * ）式的最小值點(diǎn)作為參數(shù)的

8、估計(jì).在教科書中，已知（Xi, yi） ,（X2, y2）, ,（Xn, yn）是變量*和丫的一組觀 測(cè)數(shù)據(jù)，要估計(jì)的是回歸直線方程y=bo + bix 中參數(shù)bo， bi 的值。所以這時(shí)目標(biāo) 函數(shù)為工 5- （如半如 i）2 ?于是這時(shí)的最小二乘法就是尋求bo, bi 的值，使在各點(diǎn)處的偏差yi -（ bo +biXi）(i =i, 2, , n)的平方和達(dá)到最小 .在這種情形中，有意思=bo+ bix 一定經(jīng)過觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的中心（， ）aa進(jìn)一步，若觀測(cè)數(shù)據(jù)全部落在某一直線上，則這個(gè)直線方程的截距和斜率必 是模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)量. 因此最小二乘法還為我們提供了一種求解方程組 的方法 ?關(guān)

9、于最小二乘估計(jì)的計(jì)算，涉及更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，這里不想詳述.其一般的 過程是用目標(biāo)函數(shù)對(duì)各b 求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于 0, 得到一個(gè)線性方程組.高斯 當(dāng)年將其命?但從創(chuàng)設(shè)的近”，目的名為正則方程，并創(chuàng)設(shè)了解線性方程組的消元法一一高斯消元法 ?從 計(jì)算的角度看，最小二乘法與插值法類似，都是處理數(shù)據(jù)的算法思想看，二者卻有本質(zhì)的不同 .前者尋求一條曲線，使其與觀測(cè)數(shù)據(jù)“最接是代表觀測(cè)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)；后者則是使曲線嚴(yán)格通過給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)， 其目的是通過來自函數(shù)模型的數(shù)據(jù)來近似刻畫該函數(shù).在觀測(cè)數(shù)據(jù)帶有測(cè)量誤差 的情況下，就會(huì)使得這些觀測(cè)數(shù)據(jù)偏離函數(shù)曲線，結(jié)果使得與觀測(cè)數(shù)據(jù)保持一 致的插值法不如最小二乘法得到的曲

10、線更符合客觀實(shí)際?最小二乘法能在統(tǒng)計(jì)學(xué)中得到應(yīng)用，也是因?yàn)闇y(cè)量誤差的存在。事實(shí)上，在 高斯等人創(chuàng)立了測(cè)量誤差理論，對(duì)最小二乘法進(jìn)行了誤差分析之后， 這種方法才在統(tǒng)計(jì)界獲得了合法地位，正式成為了一種統(tǒng)計(jì)方法?關(guān)于最小一乘法將上述最小二乘法的一般形式改為目標(biāo)函數(shù)，就是最小一乘法。最小一乘法誕生在1760 年，比最小二乘法還要早 40 多年 .但 是由于當(dāng)時(shí)無法解決的計(jì)算問題，最小一乘法在此后的百余年中都沒有獲得長足 的發(fā)展?直到 1950 年 , 發(fā)現(xiàn)了用線性規(guī)劃求解的方法以及電子計(jì)算機(jī)的使用， 才解決了計(jì)算難題?如今，統(tǒng)計(jì)理論的發(fā)展使最小一乘法在某些應(yīng)用部門（如數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)）顯示了優(yōu)良的性質(zhì)，正在

11、逐步受到應(yīng)用界的重視?有意思的是，有人做過這樣的試驗(yàn)：準(zhǔn)備大量的散點(diǎn)圖，讓一些人各自用目 測(cè)的方法畫直線?結(jié)果表明，大多數(shù)人目測(cè)的結(jié)果更接近于最小一乘法而不是最小二乘法獲得的直線。二、最小二乘法的發(fā)現(xiàn)史及其在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的地位發(fā)現(xiàn)最小二乘法的動(dòng)因是天文學(xué)和測(cè)地學(xué)中處理數(shù)據(jù)的需要?陳希孺先生所著數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)史中記載了這樣一段歷史 .在 18 世紀(jì)，天文學(xué)和測(cè)地學(xué)中的 一些數(shù)據(jù)分析問題可以描述如下：有（ 1 ）個(gè)可以測(cè)量的量X。 ， xi， ,， Xm ， 和 m 個(gè)未知的參數(shù)B 1, B 2, , B m.按照某種理論，它們之間應(yīng)有線性關(guān)系、0但是由于實(shí)際工作中對(duì) X0, Xi, , Xm的測(cè)量存在

12、誤差，而且式只是理論上的近似而非嚴(yán)格成立池就是說，式左邊的表達(dá)式實(shí)際上不等于0,其真實(shí)值與 測(cè)量有關(guān)，可視為一種誤差?若進(jìn)行了n 次測(cè)量，在實(shí)際問題中， n 總是大于甚至是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于m目的是多提供一些信息，以便對(duì)參數(shù)B 1, B 2, , , B m作出較精確的估計(jì).設(shè)在第i次測(cè)量中，Xo, Xi, , Xm分別取值Xoi, Xli, , Xmi,則 按照 式，應(yīng)有1 B! 1 ? ! 1（i =1,2,j n）。若式嚴(yán)格成立，則只要從上述 n個(gè)方程中任意挑出m個(gè)就可以解出B i,B 2, , B m 的值.但式并非嚴(yán)格成立，于是需要設(shè)計(jì)合適的算法來估計(jì)參數(shù)的值1750 年，天文學(xué)家梅耶發(fā)表了一

13、種方法.他在研究海上航行船只的定位問題到了一個(gè)包含3 個(gè)未知參數(shù)的形如式的關(guān)系式以及27 組觀測(cè)數(shù)據(jù) .梅耶 把這 27 個(gè)方程分成 3 組，然后把每組中的 9 個(gè)方程相加，共得到 3 個(gè)方程，這樣可以解出 3 個(gè)未知參數(shù) .至于分組的方法，梅耶以其中一個(gè)系數(shù)為準(zhǔn)，按各方 程中此系數(shù)的大小分組：最大的 9 個(gè)，最小的 9 個(gè)和剩下的 9 個(gè)各成一組.在最 小二乘法發(fā)現(xiàn)之前，這個(gè)方法曾經(jīng)比較流行，并被冠以梅耶的名字 .值得一提的是，梅耶還估計(jì)了這種方法的誤差，并試圖對(duì)誤差的界限作一個(gè)估計(jì).雖然今天看來梅耶的做法有一些錯(cuò)誤，但他在那么早的階段就做出這種努力， 是難能可貴 的.1787年，拉普拉斯在

14、研究天文問題時(shí)引出了一個(gè)形如式的作4, n= 24的方程組.他的求解方法是，先把24 個(gè)方程編號(hào)，然后按下列方式得到需要求解的 4 個(gè)方程 .方程 1: 24 個(gè)方程的和；方程 2:前 12 個(gè)方程之和 -后 12 個(gè)方程之和；方程 3: 編號(hào)為 3， 4， 10， 11 ， 17， 18 的方程之和一編號(hào)為 1 ， 7， 14， 20 的方程之和；方程 4: 編號(hào)為 2， 8， 9， 15， 16, 21 ， 22 的方程之和編號(hào)為 5, 6， 12, 13， 19 的方程之和。拉普拉斯沒有解釋如此組合的原因，這使得他的方法無法應(yīng)用于類似的問題.對(duì)解決這類問題做過嘗試的還有大數(shù)學(xué)家歐拉，但他

15、的做法顯得雜亂無章， 缺乏基本的合理性 .看來這個(gè)問題的解決還需要一點(diǎn)新的思路.1805 年，法國數(shù) 學(xué)家勒讓德采取了一個(gè)新的角度來考慮這個(gè)問題.他不再關(guān)心如何找出個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)的方程組，而是考慮如何使誤差在整體上達(dá)到平衡，于是他采取使 的原則去求解B 1, B2, , , B m.這一原則使誤差不過分集中在幾個(gè)方程上，而是比較均勻地分布于各方程,從而有助于揭示系統(tǒng)的更接近真實(shí)的狀態(tài).而勒讓德之前的學(xué)者的做法對(duì)于誤差在各方程之間的分布的影響是不清楚的 .后來，最小二乘法逐步滲入到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域，對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重 大影響 . 統(tǒng)計(jì)史家對(duì)此評(píng)價(jià)很高，有的認(rèn)為最小二乘法之于統(tǒng)計(jì)學(xué)，猶如微

16、積分之于數(shù)學(xué) .有的學(xué)者稱最小二乘法是19 世 紀(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的“中心主題”.最小二乘法之所以能獲得如此的顯赫地位，主要得益于它與線性模型的聯(lián)系 .勒讓德創(chuàng)設(shè)最小二乘法是為了解決形如式的線性表達(dá)式 （如今已發(fā)展為線性模型）的，由此導(dǎo)出的也是一個(gè)線性的方程組，這使得最小二乘法具有計(jì)算簡(jiǎn)便的特點(diǎn)?但更加重要的是，“線性”的特點(diǎn)使最小二乘法在誤差 分析方面較之其他方法具有不可替代的優(yōu)勢(shì)?在 1809 年高斯對(duì)最小二乘估計(jì)進(jìn)行的誤差分析中發(fā)現(xiàn)， 在線性 模型的所有無偏估計(jì)類中，最小二乘估計(jì)是唯一的方差最小的無偏估計(jì)；進(jìn)入20 世紀(jì)后，哥色特、費(fèi)歇爾等人還發(fā)現(xiàn)，在正態(tài)誤差的假定下，最小二乘估計(jì) 有較完善的小樣

17、本理論，使基于它的統(tǒng)計(jì)推斷易于操作且有關(guān)的概率計(jì)算不難進(jìn)行.與此同 時(shí)，對(duì) TOC o 1-5 h z 最小二乘法誤差分析的研究也促進(jìn)了線性模型理論的發(fā)展.如今，線性模型已經(jīng)成為理論結(jié)果最豐富、應(yīng)用最廣泛的一類回歸模型.三、對(duì)“用最小二乘法探求回歸直線方程”的教學(xué)建議體現(xiàn)“過程性”在本部分內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合具體問題體現(xiàn)兩個(gè)過程?一是回歸分析的過程，即：要研究?jī)蓚€(gè)定量變量（如年齡和脂肪含量）是否具有某種關(guān)系 畫散點(diǎn)圖，直觀判斷. 用回歸直線代表試驗(yàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)* 用最小二乘法求得斜率和截距的估計(jì)值，得到經(jīng)驗(yàn)方程. =bo+bix用 經(jīng)驗(yàn)回歸 方程對(duì)相應(yīng)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)?二是用最小二乘法估計(jì)回歸直線的

18、過程?這個(gè)過程包括兩個(gè)環(huán)節(jié)，一是通過讓學(xué)生自己尋求回歸直線，引導(dǎo)他們認(rèn)識(shí)到應(yīng)該從 “整體上”看待這個(gè)問題，即“從整體上看，各觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線的距離最小”是確 定直線的一個(gè)合理原則；二是讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言刻畫 “從整體上看，各觀測(cè) 數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線的距離最小”的過程?首先建立回歸直線的目的，是為這與用平均數(shù)來代表一個(gè)變量體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)思想 對(duì)于本部分內(nèi)容，統(tǒng)計(jì)思想主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面了從整體上代表兩個(gè)變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)的關(guān)系，的數(shù)據(jù)是類似的?二是觀測(cè)值不可能正好落在回歸直線上?這是因?yàn)榛貧w直線方程y=bo+bx是線性回歸模型Y=bo+biX+=y+J的一部分，這里是誤差項(xiàng).該模型 假定, 變量x與y有線性關(guān)系

19、y=b +bx,而凡是不能被該線性關(guān)系描述的 y的變 化都由誤差 項(xiàng)來承擔(dān) . 由于誤差，觀測(cè)值不可能正好落在這條直線上.如果這個(gè)模型有意義的話，這些觀測(cè)值不會(huì)離這條直線太遠(yuǎn).而且bo和bi是通過樣本估計(jì)出AA來的（通常用 ， 1 表示），存在隨機(jī)誤差，這種誤差也會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差參考文獻(xiàn) :章建躍 .數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論與學(xué)習(xí)指導(dǎo). 北京：人民教育出版社， 2001.李勇 , 張淑梅 . 統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論. 北京：人民郵電出版社, 2007.陳希孺 . 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)簡(jiǎn)史 . 長沙：湖南教育出版社, 2002.吳喜之 . 統(tǒng)計(jì)學(xué)：從數(shù)據(jù)到結(jié)論（第二版） . 北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社, 2006.Gudmund R

20、. Iversen, Mary Gergen. 吳喜之等，譯. 統(tǒng)計(jì)學(xué)基本概念和方法. 北京：高 等教育出版社 , 2000. 紐約：施普林格出版社, 1997.中國大百科全書總編輯委員會(huì)數(shù)學(xué)編輯委員會(huì).中國大百科全書?數(shù)學(xué) .北京：中. 19922008-10-06 人教網(wǎng)般都是用 matlab 搞定的，它里面有現(xiàn)成的函數(shù)供使用的 典型程序解析：x=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1;%input xi datay=1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; % input yi data n

21、=2; %polynomial orderp=polyfit(x, y, n)% polyfit 的輸出是一個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)的行向量( 擬合二項(xiàng)式的系 數(shù))ezplot(-9.8108*x*x+20.1293*x-0.0317)% 對(duì)擬合的函數(shù)作圖 xi=linspace(0,1,100); %x-axis data for plotting z=polyval(p, xi);% 為了計(jì)算在xi 數(shù)據(jù)點(diǎn)的多項(xiàng)式值，調(diào)用MATLAB 的函數(shù) polyvalplot(x,y, o ,x,y,xi,z,:)% 在同一個(gè)圖形里看他們的擬合程度典型例題：對(duì)以下數(shù)據(jù)分別作二次,三次多項(xiàng)式擬合,并畫出圖形.x=

22、1:16;y=4, 6.4, 8, 8.4, 9.28, 9.5, 9.7, 9.86, 10, 10.2, 10.32, 10.42, 10.5, 10.55, 10.58,;源程序：二次多項(xiàng)式擬合x=1:1:16;y=4, 6.4, 8, 8.4, 9.28, 9.5, 9.7, 9.86, 10, 10.2, 10.32, 10.42, 10.5, 10.55, 10.58,;a=polyfit(x,y,2)a =-0.0445 1.0711 4.3252ezplot(-0.0445*xA2+1.0711*x+4.3252)三次多項(xiàng)式擬合x=1:1:16;y=4, 6.4, 8, 8.4

23、, 9.28, 9.5, 9.7, 9.86, 10, 10.2, 10.32, 10.42, 10.5, 10.55, 10.58,;a=polyfit(x,y,3)a =0.0060-0.19632.13462.5952ezplot(0.0060*xA3-0.1963*xA2+2.1346*x+2.5952)簡(jiǎn)介用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬曲線擬合平面上離散點(diǎn)組所表示的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)據(jù)處理方法。用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)的一種方法。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中，通過實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)(xi , yi)(i = 1, 2, ,m),其中各xi是彼 此不同的。人們希望用一類與

24、數(shù)據(jù)的背景材料規(guī)律相適應(yīng)的解析表達(dá)式，y=f (x , c )來反映量x與y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。f (x , c)常稱作擬合模型，式中c = (c1, c2, ,cn)是一些待定參數(shù)。當(dāng)c在f中線性出現(xiàn)時(shí)，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優(yōu)曲線擬合公式推導(dǎo)度的標(biāo)準(zhǔn)，最常用的一種做法是選擇參數(shù)c使得擬合模型與實(shí)際觀測(cè)值在各點(diǎn)的殘差(或離差)ek = yk f (xk , c)的加權(quán)平方和達(dá)到最小，此時(shí)所求曲線 稱 作在加權(quán)最小二乘意義下對(duì)數(shù)據(jù)的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對(duì)于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數(shù)，從而求得擬

25、合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優(yōu)化方法求得所需參數(shù)才能得到擬合曲線，有時(shí)稱之為非線性最小二乘擬合。曲線擬合：貝塞爾曲線與路徑轉(zhuǎn)化時(shí)的誤差。值越大，誤差越大；值越 小，越精編輯本段意義線直線化是曲線擬合的重要手段之一。對(duì)于某些非線性的資料可以通過簡(jiǎn)單的變量變換使之直線化，這樣就可以按最小二乘法原理求出變換后變量的直線方程，在實(shí)際工作中常利用此直線方程繪制資料的標(biāo)準(zhǔn)工作曲線，同時(shí)根據(jù)需要可將此直線方程還原為曲線方程，實(shí)現(xiàn)對(duì)資料的曲線擬合。編輯本段常用的非線性函數(shù).指數(shù)函數(shù)(exponential function)Y=aebX(12.29)對(duì)式(12.29 )兩邊取對(duì)數(shù)，得

26、將曲線擬合在選定點(diǎn)上lnY=lna+bX (12.30)b0時(shí)，丫隨*增大而增大；b 0) (12.32)b0時(shí)，丫隨*增大而增大，先快后慢；b0, X0)(12.34)曲線擬合式中b0時(shí)，丫隨*增大而增大；b0時(shí)，丫隨*增大而減少。對(duì)式(12.34 )兩邊取對(duì)數(shù)，得lnY=lna+blnX (12.35)所以，當(dāng)以lnY和lnX繪制的散點(diǎn)圖呈直線趨勢(shì)時(shí)，可考慮采用幕函數(shù)來描述丫和X間的非線性關(guān)系，lna和b分別是截距和斜率。更一般的幕函數(shù)Y=aXb+k(12.36)式中k為一常量，往往未知。編輯本段利用線性回歸擬合曲線的一般步驟(一)繪制散點(diǎn)圖，選擇合適的曲線類型 一般根據(jù)資料性質(zhì)結(jié)合專業(yè)知

27、識(shí)便可 確定資料的曲線類型，不能確TH垃二遼d廿_L_二 一曲線擬合定時(shí)，可在方格坐標(biāo)紙上繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)的分布，選擇接近的、合適 的曲線類 型。(二)進(jìn)行變量變換Y =f(Y),X =g(X)(12.37)使變換后的兩個(gè)變量呈直線關(guān)系。(三)按最小二乘法原理求線性方程和方差分析(四)將直線化方程轉(zhuǎn)換為關(guān)于原變量X、Y的函數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)單地說都屬于III類油，具體建議下。潤滑油基礎(chǔ)油分類簡(jiǎn)介國外各大石油公司過去曾經(jīng)根據(jù)原油的性質(zhì)和加工工藝把基礎(chǔ)油分為石蠟基基礎(chǔ)油、中間基基礎(chǔ)油、環(huán)烷基基礎(chǔ)油等。20世紀(jì)80年代以來，以發(fā)動(dòng)機(jī)油的發(fā)展為先與，潤滑油趨向低黏度、多級(jí)化、通用化，對(duì)基礎(chǔ)油的黏度指數(shù)提出

28、了更高的要求， 原來的基礎(chǔ)油分類方法已不能適應(yīng)這一變化趨勢(shì)。 因此，國 外各大石油公司目前一般根據(jù)黏度指數(shù)的大小分類，但一直以來沒有嚴(yán)格的標(biāo) 準(zhǔn)。 API于 1993 年將基礎(chǔ)油分為五類（ API-1509 ），并將其并如 EOLCS （API 發(fā)動(dòng)機(jī)油發(fā)照認(rèn)證系統(tǒng)）中，其分類方法見表-1 。表-1API-1509 基礎(chǔ)油分類標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)方法 ASTM D2007 ASTM D2270 ASTM D2622/D4294/D4927/D3120類別 飽和烴含量 /% 黏度指數(shù) VI 硫含量 /% （質(zhì)量分?jǐn)?shù)）I 類 90% 800.3II 類 90% 80120 90% 120 140 很高 黏度指

29、數(shù) 120W VI140 高 黏度指數(shù)90 VI120 中黏度指數(shù)40VI90 低黏度指數(shù)VI40 通用基礎(chǔ)油 UHVI VHVI HVI MVI LVI 專用基礎(chǔ)油 低凝 UHVI W VHVI W HVI W MVI W 深度精制 UHVI S VHVI S HVI S MVI S 該標(biāo)準(zhǔn)按黏度指數(shù)把基礎(chǔ)油分為低黏度指數(shù)（LVI ）、中黏度指數(shù)（MVI）、高黏度指數(shù)（HVI）、很高黏度指數(shù)（VHVI）、超高黏度指數(shù)（UHVI）基 礎(chǔ)油 5 檔。按使用范圍，把基礎(chǔ)油分為通用基礎(chǔ)油和專用基礎(chǔ)油。專用基礎(chǔ)油又分為適用于多級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)油、 低溫液壓油和液力傳動(dòng)液等產(chǎn)品的低凝基礎(chǔ)油 （代號(hào)后加W ）和適用于汽輪機(jī)油、 極壓工業(yè)齒輪油等產(chǎn)品的深度精制基礎(chǔ)油 （代號(hào)后加S ）。 其中 HV