Pythagoras完全比例的推廣研究

1、PAGE PAGE 3Pythagoras完全比例的推廣研究（110001 中國醫(yī)科大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 李明 362000 福建省泉州市現(xiàn)代中學(xué) 富明遠(yuǎn)）摘要：運(yùn)用類比思想試著將Pythagoras完全比例從2元推廣至一般的元()，提出了“元平均完全比例”的概念，并運(yùn)用歸納法對“元平均完全比例”成立的充要條件進(jìn)行了研究.最后，定義了更一般的“元次冪平均完全比例”，并指出它成立的條件和“元平均完全比例”成立的條件一致.關(guān)鍵詞：完全比例 推廣 元平均 充要條件 冪平均Absttracct:TTry to exttendd thhe PPythhagoorass peerfeect prooporrti

2、oon ffromm 2vvariiablles to thee geenerral n() vaariaablees byyanaaloggy,aand raiise thee coonceept “n-vvariiablle mmeann peerfeect prooporrtioon ”, tthenn reeaserrh tthe suffficciennt aand neccesssaryy coondiitioon ffor thee hooldiing of thee “n-vaariaablee meean perrfecct ppropportioon ”. Finnalll

3、y, deffinee a mucch mmoreegenneraal cconcceptt “n-vvariiablle aand -poowerr meean perrfecct ppropporttionn”, aand inddicaate thaat tthe conndittionn maakinng iit hholdd iss juust thaat mmakiing thee “n-vvariiablle mmeann peerfeect prooporrtioon” hoold.Keywwordds:pperffectt prropoortiion genneraalizz

4、atiion n-vvariiablle mmeann suuffiicieent andd neecesssarry ccondditiion poowerr meean一、問題題的提出出若為兩正正數(shù)，其其算術(shù)平平均，幾幾何平均均，調(diào)和和平均，則這三三個(gè)2元元平均恒恒滿足,該該式被PPythhagoorass學(xué)派稱稱為完全全比例【1】.一般地，若為()個(gè)正數(shù)數(shù)，其算算術(shù)平均均，幾何何平均，調(diào)和平平均，我們稱為由生成的的“元平均均完全比比例”.作為Pyythaagorras完完全比例例的推廣廣，時(shí)它恒恒成立；而時(shí)，它成立的的充要條條件是什什么呢？下文將將給出此此問題的的部分答答案.二、“33元

5、和4元元平均完全全比例”成立的充充要條件件定理我們研究究發(fā)現(xiàn)“3元平均均完全比比例”成立的的充要條條件可歸歸結(jié)為如如下的定定理：定理1：由三個(gè)正數(shù)數(shù)生成的的“3元平均均完全比比例”成立，當(dāng)且僅僅當(dāng)能夠夠按照某某個(gè)順序序排成等比比數(shù)列.證明：能夠按照照某個(gè)順順序排成等比比數(shù)列.類似地，我們也也得到了了“4元平均均完全比比例”成立的的充要條條件，歸歸結(jié)為如如下的定定理：定理2：由四個(gè)正數(shù)數(shù)生成的的“4元平均均完全比比例”成立，當(dāng)且僅僅當(dāng)中有有兩個(gè)數(shù)數(shù)的乘積積等于另另兩個(gè)數(shù)數(shù)的乘積積.證明：中有兩個(gè)個(gè)數(shù)的乘乘積等于于另兩個(gè)個(gè)數(shù)的乘乘積.三、“（）元平均均完全比比例”成立的充分條件件證明及及必要條條件

6、探究究由定理11和定理理2，通過類類比和歸歸納，我我們給出出如下猜猜測：猜測1：由（）個(gè)正正數(shù)生成成的“元平均均完全比比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)單調(diào)重排排后，所所有對稱稱項(xiàng)之積積均相等等.下面來證證明猜測測1給出出的條件件是“元平均均完全比比例”成立的充分條條件.證明：設(shè)設(shè)是的單調(diào)調(diào)重排.（1）當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)數(shù)時(shí)，由由于，于是，又，于是是，即成立立.（2）當(dāng)當(dāng)為奇數(shù)數(shù)時(shí)，由由于.于是，又，于是是，即成立立.綜合（11）、（2），我們便便證實(shí)了了“（）元平均均完全比比例”成立的的充分條條件.至于該該充分條條件是否否為“（）元平均均完全比比例”成立的的必要條條件，還還有待進(jìn)進(jìn)一步研研究.四、“元元次冪平

7、平均完全全比例”成立的的充要條條件探究究事實(shí)上，對于個(gè)正正數(shù)的算算術(shù)平均均、幾何何平均和和調(diào)和平平均，我我們有一一個(gè)統(tǒng)一一且更加加廣泛的的平均概概念，即即“元次冪平平均”【2】，記為：顯然，PPythhagoorass完全比比例就是是，而“元平均均完全比比例”就是，于是我我們可以以定義更更一般的的“元次冪平平均完全全比例”為：若為()個(gè)正正數(shù)，則則我們稱稱為由()個(gè)正正數(shù)生成成的“元次冪平平均完全全比例”.這個(gè)更更一般的的完全比比例成立立的充要要條件如如何呢？實(shí)際上上，稍加加推理就就會(huì)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)其成立立的充要要條件與與“元平均均完全比比例”成立的的充要條件件是一致致的，即即：（1）時(shí)時(shí)，“2元次冪

8、平平均完全全比例”恒成立立.（2）時(shí)時(shí)，“3元次冪平平均完全全比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)生成此此完全比比例的三三個(gè)正數(shù)數(shù)能夠按按照某個(gè)個(gè)順序排排成等比比數(shù)列.（3）時(shí)時(shí)，“4元次冪平平均完全全比例”成立，當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)生成此此完全比比例的四四個(gè)正數(shù)數(shù)中有兩兩個(gè)數(shù)的的乘積等等于另兩兩個(gè)數(shù)的的乘積.（4）時(shí)時(shí)，“元次冪平平均完全全比例”成立的的充分條條件是：生成此此完全比比例的個(gè)個(gè)正數(shù)單單調(diào)重排排后，對對稱項(xiàng)之之積相等等.至于此此充分條條件能否否成為“元次冪平平均完全全比例”成立的的必要條條件，還還有待于于猜測1的解解決.參考文獻(xiàn)獻(xiàn)1美莫莫里斯克萊因因著.古今今數(shù)學(xué)思思想（第一冊冊），張理京京，張錦錦炎，江江澤涵譯譯.上海?？茖W(xué)技技術(shù)出版版社.220022年7月月第一版版.第337頁.2靳靳平 主主編.數(shù)學(xué)的的1000個(gè)基本本問題.山西科學(xué)學(xué)技術(shù)出出版社.20004年1月第一一版.第第1055頁.作者簡介介：李明，男男，19981年年生，遼遼寧沈陽陽人，應(yīng)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)碩士，講師，中國數(shù)