史寧中校長談中小學(xué)數(shù)學(xué)教師素養(yǎng)

1、 中小學(xué)數(shù)學(xué)教師素養(yǎng)史寧中（東北師范大學(xué)校長）于北京一、中小學(xué)數(shù)學(xué)教師素養(yǎng)（一）教師的基本素養(yǎng)我認為現(xiàn)在的中、小學(xué)教師應(yīng)追求一個新的目標努力成為一名好的教師。我們國家在教育上有一個基本的轉(zhuǎn)變：過去努力解決一個能上學(xué)的問題，現(xiàn)在要解決的是上好學(xué)的問題。我想，能上學(xué)的問題主要是政府的行為，那么能上好學(xué)的問題主要是校長和教師的責(zé)任。一個好的校長實在太重要了。怎樣當一個好的教師呢？1、熱愛教育事業(yè)。熱愛教育事業(yè)應(yīng)該主動去熱愛，這是興趣之所在，是人生價值之所在，不是被動的責(zé)任感式的熱愛。而是要真心的熱愛，只要有了這個勁頭的話就可能當一個好的教師。光有熱愛還不行，還需要有一個很重要的教育理念。2、樹立明確

2、的教育理念。對于中、小學(xué)教師來說很重要的教育理念是：知識的掌握是一方面，教育理念的掌握是另一方面。這個教育理念必須是以人為本的教育理念。幾乎所有的領(lǐng)域都在談以人為本，而以人為本這個理念是從教育上先提出來的，這之前的理念是以知識為本的理念。以知識為本的理念在本質(zhì)上只關(guān)心兩件事情，就是我們應(yīng)該教什么？應(yīng)該讓學(xué)生掌握到什么程度？在這個理念指導(dǎo)下，我們整個的教學(xué)就是三個中心，就是凱洛夫提到的，以課堂為中心；以課本為中心；以教師為中心。這三個中心對中國的教育影響是非常大的，到現(xiàn)在為止很多提法在很多地方還是這三中心，這個問題實質(zhì)上是指教師是整個教學(xué)活動的中心、主人。以知識為本的教育我不是說它不好，它只適應(yīng)

3、于大工業(yè)時代。大工業(yè)時代的特點是標準化，個個工區(qū)的標準化以及產(chǎn)品的標準化，因此它需要的人才也是標準化的人才，實施的教育也應(yīng)是標準化的教育，所以他的教學(xué)模式以及考試形態(tài)基本是標準化的，這是傳統(tǒng)的教育。但是近幾十年來，因為知識經(jīng)濟的出現(xiàn)，信息產(chǎn)業(yè)的出現(xiàn)，使得我們不可能進行標準化的工作，因此在這個新的經(jīng)濟模式之下，在這個社會發(fā)展的驅(qū)動之下，我們必須改變我們的教育理念，這就是以人為本的教育理念。我試著解釋一下以人為本的教育：、關(guān)注學(xué)生的全面成長、培養(yǎng)合格的人。就是我們常說的素質(zhì)教育。、對小學(xué)教師尤其重要的，就是學(xué)會站在受教育者的立場上思考問題。這也是我們東北師大提出的尊重教育。講一個故事：我留學(xué)時間比

4、較長，兒子跟我是在日本讀完幼兒園讀完小學(xué)二年級后回來的，回來后到我們附小念書，在日本，一到四年級是一邊玩一邊學(xué)習(xí)的，所以到了附小后，上課要求手背后，不許交頭接耳，不許東張西望，無論如何要給老師亮出一個聽課的架勢，反正你也不知道他聽沒聽。我兒子不行，一會兒捅捅這個，一會兒捅捅那個。老師認為他表現(xiàn)不好，表現(xiàn)不好你就說他兩句算了，回想那個時候接近20年前，老師就讓我兒子到操場上去站著，一站就是兩個多小時。我兒子在日本時非常愿意念書的，他對動物學(xué)和天文學(xué)都非常感興趣。結(jié)果，兩個月后我兒子說啥也不愿去學(xué)校了。我就跟老師論理，我說你怎么這么教書，完了她給我說了一句話，給我氣傻啦，她說我是為你兒子好。我兒子

5、愿意念書，讓你教了半天不愿意念書了你怎么是為我兒子好呢？當時我氣得實在沒招。后來我當了校長，我?guī)缀趺磕甓既ソo附小講課，到現(xiàn)在已經(jīng)講了十多年了，就是要讓老師改變教育理念。你說你是真的為我兒子好啊，還是假的為我兒子好啊，我說你是為你自己好，為了你教學(xué)維護秩序方便、為了你講課方便，這完全是為了你自己好，怎么是為我兒子好呢？后來我為了把這件事情想得更透，我就找了幾個理由：第一、要站在學(xué)生的立場上去思考問題，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體。有一種說法“教育是社會發(fā)展的需要”。我想作為一個國家總理、作為政府來說是社會發(fā)展的需要，而作為一個教師來說，一定要認為教育是一個孩子生存的需要。我認為愿意接受教育是一個孩子的本能

6、。什么是本能呢？本能就是不經(jīng)過思考的一種下意識的行為。小孩不斷提問題，不是吃飽了沒事干，它是通過提問題了解周邊世界，它要更好的活下去。所以教育是本能在接受教育，學(xué)生天生是都愿意念書的，老師教書的第一條，就是教孩子愿意念書。培養(yǎng)孩子念書的興趣。所以教育的真諦就是發(fā)揚孩子們的本能，使得他們的潛能得到真正的發(fā)展。第二、要根據(jù)教育規(guī)律辦事。什么是教育規(guī)律辦事呢？最近十幾年有一個新的學(xué)問問世，就是表觀遺傳學(xué)，表觀遺傳學(xué)是說人基因是天生帶來了。但是，你不在后天、不在適當?shù)臅r機給它適當?shù)拇碳?，這個基因不能得到充分的表達。這是什么意思呢？舉個例子說，一個猴子，剛生下來，就把他的眼睛封住，一個多月后再打開，它已

7、看不見什么東西了。同樣，一個小孩，8歲之前你不教他說話，8歲之后他已經(jīng)說不好話了。一個孩子應(yīng)該有一個智力開發(fā)期。例如立體感觀的認識，一個圖形分辨的認識，這些基本的能力是存在的，不實施后天的認識他不能得到充分的表達。我們的教育應(yīng)該知道，在什么時候是他表達最充分、最合適的時間，而在哪個時間給他最充分的表達。我有兩件事情證明一、二年級的小孩不懂數(shù)學(xué)，不懂數(shù)學(xué)就不要給他講數(shù)學(xué)。試驗一：在袋子里放5個球，4個白球1個紅球，從袋子里摸出一個球來，可能是什么顏色的呢？我在一至六年級的孩子中做實驗，非常明顯，一、二年級的孩子答，我摸的是白球；三四年級的孩子答，我可能摸到白球，也可能摸到紅球；五六年級的孩子答，

8、摸到白球的可能性比摸到紅球的可能性大。這件事說明什么呢？說明小孩對可能性是怎么回事這個詞不理解，它不是對數(shù)學(xué)不懂而是對闡述數(shù)學(xué)的那個概念不懂，如果概念不懂的話你給他講什么，你一定要注意，用來闡述數(shù)學(xué)的概念的本身他是否懂了，特別是在小學(xué)階段，小學(xué)階段千萬不能講離開她生活背景的數(shù)學(xué)。他懂什么叫“祖國”嗎？“祖國”這么抽象的概念他怎么能懂呢。他懂得他的爸爸、媽媽，他懂他的同學(xué)、他懂他周邊的大自然，所以你說祖國山河多美好，他懂得什么是祖國山河多美好嗎，不按這個方法去教書的話是教不好書的。我認為知識分三種：一種是教了也不會的知識；一種是不教都會的知識；一種是教了才會的知識。按教育規(guī)律辦事就是要教那些教了

9、能會的知識。教了也不會的知識千萬不要教。不教也能會的知識教他干什么。要順其自然。要下功夫分辨哪些是教了能會的知識，我們要叫這些知識。試驗二：我發(fā)現(xiàn)孩子的基本邏輯建立不起來，所以你不要講許多邏輯推理的知識。我是這么做的試驗：有9個格子，格子里放上9樣?xùn)|西，小刀、橡皮，。讓孩子們看上3、4秒鐘，再拿去讓他們復(fù)原。小學(xué)一年級到六年級的復(fù)原率都差不多，都在8690%之間，但是復(fù)原的方式完全不一樣。小學(xué)一、二、三年級的學(xué)生是看著這里有小刀、有橡皮，就拿著小刀放到格子里；而小學(xué)四、五、六年級的學(xué)生是按原來的順序記下來的，格子里有小刀，就找出小刀放在原來小刀的位置上，基本概念不同。就此知道小學(xué)的基本邏輯不清

10、，邏輯最基本最基本的概念是“序”的問題，小學(xué)生“序”的關(guān)系不很清楚。所以在小學(xué)特別是在一、二年級不要講太多的邏輯的東西。第三、要啟發(fā)學(xué)生思考。有人問我什么樣的課算是一節(jié)好課？我認為，一堂好課，除了傳授知識之外，要滿足兩條：第一條，能培養(yǎng)孩子們的學(xué)習(xí)興趣，因為學(xué)習(xí)的興趣是學(xué)習(xí)的根本動力。而一個人在小學(xué)階段對什么東西都不感興趣的話，那么這個孩子的未來就不好辦了。必須讓他對一些事情感興趣，他不學(xué)數(shù)學(xué)可以，但他應(yīng)該有他感興趣的東西，應(yīng)該知道熱愛一些事情，這樣的話才可能以后有創(chuàng)造力。第二條，要培養(yǎng)孩子的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。關(guān)于良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣很多人有爭議。什么叫良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，我認為：不是上課手背到后面；不是

11、上課不交頭接耳；也不是課前預(yù)習(xí)；甚至不是上完課回家寫作業(yè)，這些都不是。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣就是能跟老師一起思考，而思考的根本是在于他能集中精力。所以小學(xué)階段培養(yǎng)孩子良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的核心是能夠培養(yǎng)孩子們集中精力。集中精力實在太重要了。把問題想不深刻得很重要的原因是不能集中精力。孩子集中精力的時間大概是20分鐘，你就得把握好這20分鐘，在20分鐘里把你要講的東西經(jīng)典的講出來。你看到孩子要溜號時，你不可能把孩子的精力拉回來時，怎么辦？你就通過一些活動、講故事讓孩子休息一下，在休息的過程中也能學(xué)到一點東西。我提出一個想法，這類事情是需要尋找一個規(guī)律性的東西的。因為我們不是因人施教，因人施教的話好辦。我們是對

12、課堂上幾十個同學(xué)同時施教，這樣必須找到一個共性，我們是一個共性的教育嗎。有一個集中精力很好的辦法，就是要脫離背景去思考問題。我問一個小學(xué)生一個問題，圓周是多少？小學(xué)生說：2nR。我說那半圓的周長是多少？小學(xué)生想想說，是不是圓的一周的一半再加上直徑阿。我說是阿，你得告訴我公式是什么？他說那沒有紙怎么寫？我說那不行，你學(xué)數(shù)學(xué)的得有個能耐，不靠本，不靠書，就得在腦子里想，把你的腦袋當草紙，你想啊。那孩子想了一會兒，告訴了我，我特別高興。其實我是在訓(xùn)練孩子思維，這是集中精力的一個很好的辦法。就是脫離任何背景，全憑腦袋思考。中國人是寫漢字的，中國人脫離形象不能思維，這是應(yīng)該注意的。我在日本留學(xué)的時候，碰

13、到一個非洲的學(xué)生，這個學(xué)生會幾國語言，到了日本后半年日語也學(xué)得很好。后來我突然想的一個問題，我就問這個非洲學(xué)生，你得母語是不是沒有文字？他說是的。他的母語沒有文字這說明什么？說明他的耳朵特別好使。他從小就是靠耳朵來記東西的，而不是像中國人是靠眼睛記東西的。所以，我們應(yīng)該在小學(xué)階段，一方面要教會學(xué)生用眼睛記東西，同時也要教會學(xué)生通過耳朵或通過腦子在沒有畫的情況下不寫東西也能記住東西，。你看現(xiàn)在好多外國人在中國演藝，漢語說得多漂亮，他不看漢字肯定不會寫，肯定是文盲，中國人幾乎辦不到。中國人學(xué)英語都得寫，不寫記不住。所以要注意教育規(guī)律，如何教會學(xué)生思考。3、建立大教育的觀念。在學(xué)校里，所有活動都是一

14、個大的教育。不能為了活動而活動，要注意它的教育價值。我認為培養(yǎng)孩子們良好、開朗的性格；培養(yǎng)他們的合作能力、語言表達能力、組織能力；對生活的觀察與思考能力。通過各種活動能夠達到這些目標。特別想說的是學(xué)科內(nèi)的，語文也好、數(shù)學(xué)也好，一定要注意孩子的全面成長。因為學(xué)科的學(xué)習(xí)的時間占整個的70%以上，這70%以上的時間不進行性格的塑造是不行的。這樣的教育將不是一個好的教育。不管你是教數(shù)學(xué)的還是教語文的教師，在上課的過程中，必須要教這么三件事情：第一學(xué)習(xí)的興趣；第二良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；第三良好的身心素質(zhì)。我認為良好的身心素質(zhì)就是開朗的性格，能夠善于與他人交流，能夠發(fā)展自己的思想。事實上，長大出問題的人，就是過

15、分內(nèi)向的人，過分封閉的人。我們的小學(xué)不要培養(yǎng)出這樣的人來。一個人本身的塑造，不是通過思想品德課；也不是通過活動，而是在所有的教學(xué)活動中，通過老師的潛移默化來養(yǎng)成的。4、學(xué)會培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。我們過去沒有注意到的，一個非常重要的問題，就是創(chuàng)造力的培養(yǎng)。這是我們的教育最缺乏的。而且這也是我們制定教育規(guī)劃中總理最關(guān)心的，如何建設(shè)創(chuàng)新型國家，如何培養(yǎng)出有創(chuàng)造力的學(xué)生，具有創(chuàng)造力的人才。這太重要了。?創(chuàng)造力應(yīng)從基礎(chǔ)教育抓起過去我們有個誤區(qū)：誤認為創(chuàng)造力是在大學(xué)或大學(xué)以后培養(yǎng)的，其實，創(chuàng)造型人才絕對是基礎(chǔ)教育培養(yǎng)的。一個18歲的孩子，沒有一個獨立思考問題的能力，他長大以后絕對不能成為一個人才。必須在小學(xué)或

16、初中把一些創(chuàng)造的意識，或創(chuàng)造的能力培養(yǎng)出來，創(chuàng)造的機遇是以后對事情。創(chuàng)新的意識絕對是基礎(chǔ)教育培養(yǎng)的，甚至是小學(xué)階段培養(yǎng)的。所以我們要通過一系列的事情，啟發(fā)他們思考，鼓勵他們創(chuàng)造，它創(chuàng)造的東西哪怕是微不足道的，只要對他來說是新的，那就是創(chuàng)造。不要把創(chuàng)造看得那么高，那么遠，那么高、那么遠的話就不可能實現(xiàn)了。而意識真正的塑造，就在于它克服了一些困難之后的喜悅。一個人很簡單的得到一個東西，它不一定會喜悅，特別是對一個孩子。但是他通過千辛萬苦得來的東西，他肯定會喜悅，它會記一輩子的。這就是創(chuàng)造的源泉。所以我很支持一些數(shù)學(xué)活動，數(shù)學(xué)活動不要搞得太多，但是在數(shù)學(xué)活動中一定要激發(fā)孩子的創(chuàng)造性。?關(guān)于創(chuàng)造力下面

17、談一下創(chuàng)造能力。創(chuàng)造能力有三條：一個是知識的掌握；一個是思維的訓(xùn)練；一個是經(jīng)驗的積累。我們整個的基礎(chǔ)教育，關(guān)于知識的掌握打100分，關(guān)于知識的傳授，中國是一點兒問題都沒有，絕對達100分。關(guān)于經(jīng)驗的積累，打0分，因為我們沒有教。關(guān)于思維訓(xùn)練，打50分，我們交了一半。什么沒有教，就是經(jīng)驗積累。?關(guān)于經(jīng)驗積累（基本活動經(jīng)驗）如果說以知識為本的教育中，知識是結(jié)果，是你思考的結(jié)果，知識也可能是你經(jīng)驗的結(jié)果，知識是總結(jié)以后的東西。因此，以知識為本的教育是一種結(jié)果的教育。所以我們以前的教育是一種結(jié)果的教育，這種教育是不能夠培養(yǎng)智慧的，為什么呢？智慧表現(xiàn)在過程中，只有在解題的過程中，你才能發(fā)現(xiàn)那個孩子更有智

18、慧。一個事情做成了，在做成的過程中發(fā)現(xiàn)他們是如何克服困難的。表現(xiàn)過程之中的東西，完全靠結(jié)果的教育，是教不出來的。必須通過過程的教育，也就是說，我們必須在教育的一個過程中培養(yǎng)一種能力。這個能力就起名叫智慧。所以我們只關(guān)注結(jié)果的教育是不夠的，我們還要關(guān)注過程的教育。我們應(yīng)該明白，世界上的很多東西是不可傳遞的，就是說不可能通過你的語言就能夠表述的，就能夠掌握的東西，只能靠親身經(jīng)歷。如包餃子，你不親手包是不可能會包的；蓋房子，你怎么講，他不親身參與是不可能會蓋房子的。所以必須讓孩子親身參與在這個過程中，最重要的是幫助孩子理清如何去思考問題；如何去提出問題；如何去反思。幫助孩子逐漸積累這方面的經(jīng)驗。?關(guān)

19、于思維訓(xùn)練（基本思想）我認為在本質(zhì)上，思維有兩種形式。一種形式叫做演繹推理；一種形式叫做歸納推理。幾乎所有科學(xué)家都這么認為。比如愛因斯坦說：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎(chǔ)，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里德幾何中），以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時期）?！痹俦热鐥钫駥幷f：“我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的過度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國學(xué)到了演繹能力，我在美國學(xué)到了歸納能力。”演繹能力即能夠熟練使用演繹推理的能力。演繹推理來源于亞里士多德。就是我們討論問題必須有一個共同的出發(fā)點，這個出發(fā)點本身不需要再討論的。數(shù)學(xué)討論問題的出發(fā)點是公理、公式、定義、概念

20、、假設(shè)。有了這個出發(fā)點，接下來的論證只要是合理的、正確的，就能保證結(jié)果和前提的同樣性。就是亞里士多德提出的著名的三段論。這是演繹中最核心的。什么是三段論，就是大前提、小前提、結(jié)論。這是一種由一般到特殊的推理。比如凡人都有死，蘇格拉底是人，蘇格拉底就有死。就是說蘇是人，人都得死，蘇也得死。這就是數(shù)學(xué)證明。開始前提然后千方百計地證明你要討論的這個東西滿足這個前提。那么你討論的這個前提和得到的結(jié)論是一樣的。這就是數(shù)學(xué)論證的東西。而演繹推理只能驗證一個結(jié)論，它不能用于發(fā)現(xiàn)真理，他怎么可能發(fā)現(xiàn)真理呢？都是正確性命題，怎么能發(fā)現(xiàn)真理。演繹這個東西非常有意思，演繹在中國古代根本沒有，我現(xiàn)在正在非常認真的研究

21、，中國人是如何思考問題的？西方人是如何思考問題的？我現(xiàn)在正在寫一本叫做數(shù)學(xué)思想概論的書。我認為數(shù)學(xué)的思想基本有三個。一個是抽象；一個是推理；一個是模型。數(shù)學(xué)是你在現(xiàn)實生活中見到的共同的東西，在哲學(xué)上叫做共性。把共性抽象出來定義為數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展是邏輯推理，得到一系列結(jié)論。然后數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，靠的是模型。用數(shù)學(xué)工具構(gòu)造了一個模型來解釋外部世界，我認為數(shù)學(xué)主要靠這么三個思想。中國人怎么想問題？有一點是可以肯定的，中國人從古代開始根本沒有演繹，這個事情我是想透了。但是中國人是如何來思考問題的？一個規(guī)律性的東西，我正在想。最近讀了從老子、論語、周易等書，拼命的讀，我在找它們的共性，思想

22、的共性。我找我們古代這些先人們思維的共性?，F(xiàn)在碰到的不是數(shù)學(xué)上的問題，把數(shù)學(xué)理出頭緒來還好理，就是思維的頭緒最難理。我們?nèi)鄙賰蓚€能力：一個是根據(jù)情況預(yù)測結(jié)果的能力，我們沒有教。還有一個是根據(jù)結(jié)果“探究成因”的能力，這個也沒有教。我倒認為我們小學(xué)數(shù)學(xué)研究研究這個問題，給了一些條件之后，如何讓孩子們?nèi)グl(fā)現(xiàn)結(jié)果呢？去預(yù)測一下結(jié)果呢？在幼兒園做一個實驗：一個塑料瓶子，裝滿水，上、下各扎一個眼兒，問孩子哪一個眼兒里的水刺得遠？然后在試驗一下，看一看哪一個刺得遠。我想總要教孩子一些預(yù)測，然后驗證一下孩子們的預(yù)測對不對。你不要只教那些死的、固定了的東西。要在小學(xué)階段開發(fā)學(xué)生的智力，這段時間不開發(fā)智力，（什么

23、時間開發(fā)呢？）知識本身不是核心。還有一種思維叫做從特殊到一般的推理，這個推理就是歸納推理。這是培根在新工具一書提出來的。歸納推理就是從個別現(xiàn)象出發(fā)，抽象出共性，總結(jié)出一般的結(jié)論。歸納出的結(jié)果不一定是最（對）的，但是歸納是必要的，歸納是發(fā)現(xiàn)真理最重要的手段，之所以培根提出這個問題，這是文藝復(fù)興時期，工業(yè)快速發(fā)展，發(fā)現(xiàn)三段論的不足，就是發(fā)現(xiàn)了演繹方法的不足，當時需要給出一個新的思維方法，所以培根從認識論的角度提出了很多東西，這對科學(xué)的發(fā)展起了很重要的作用。?關(guān)于“雙基”“四基”。在小學(xué)階段，反復(fù)訓(xùn)練不是最主要的。特別是一些形式上的東西。什么大R怎么寫？等號怎么寫？那東西不是主要的。要抓住本質(zhì)的東西

24、教。所以這次在修改課標的時候，就稍改了一下，傳統(tǒng)的雙基，基礎(chǔ)知識、基本技能，加上“基本思想”、“基本活動經(jīng)驗”，變成了四基。?關(guān)于“兩能”“四能”。傳統(tǒng)的“兩能”，就是分析能力、解決問題的能力加了兩能，就是“發(fā)現(xiàn)問題的能力”、“提出問題的能力”。舉幾個教學(xué)中的例子；例一、有鵝4只，是鴨子的1/3，問有幾只鴨子？這堂課的教學(xué)目的是：4*1/3=4X3=12。這個算式的意義是非常難講的，為什么就是4*1/3呢？由此聯(lián)想到數(shù)學(xué)的四則運算。事實上只有一種運算，就是加法運算，加法運算是建立在自然數(shù)或者正整數(shù)之上的，現(xiàn)在把0放在自然數(shù)里是完全沒有道理的。0不是本質(zhì)的，在自然書中，最本質(zhì)的數(shù)是“1”，老子說

25、的話是沒錯的，“道生1，1生2，2生3，3生萬物?！?代表著有，“道”屬無，從無到有，1是本質(zhì)的。加法的本質(zhì)是1加1。為什么0不是本質(zhì)，這就涉及到了數(shù)，什么是數(shù)？數(shù)是對數(shù)量的抽象，要抽象就要把本質(zhì)的東西抽象出來。數(shù)量的本質(zhì)是什么呢？數(shù)量的本質(zhì)是多和少。在動物哪里能找到例子，動物是最知道多少的，來一只狼，狗敢跟它打一陣子，來一群狼，狗肯定跑了。再舉一個例子：科學(xué)預(yù)言中有個故事，很有意思，田莊地頭有一個望樓，看場院的。上面經(jīng)常有烏鴉?？刺锏霓r(nóng)民想把烏鴉殺死，可是他一進望樓，烏鴉就跑了，老遠在哪樹上瞅著他。等他走了，烏鴉又回來了，給他氣得沒辦法。這個人很聰明，他說我這回進去兩人，出來一個，留一個人，

26、等烏鴉回來時殺死它?？墒菫貘f比人還聰明，進去兩人，出來一人，烏鴉不回來，就等那人出來后烏鴉才回去。后來進去3人出來2人，進去4人出來3人，烏鴉都不回來。最后進去5人出來4人，烏鴉分不清了。烏鴉就會來了。烏鴉回來殺沒有殺死是另外一回事，反正烏鴉回來了。烏鴉不僅能分辨多和少，還分辨?zhèn)€數(shù)之間的差異。我對這件事情很好奇，就找孩子做試驗，唉！孩子也只能分辨出3、4個數(shù)來，也是在3和4之間，多了也蒙。我估計啊，成人也是這樣，遇到8、9也蒙。進來了8個人，下次進來7個人，你會認為人一般多的。所以人比動物沒聰明多少，聰明在哪兒呢？聰明在會數(shù)數(shù)啦。烏鴉和動物不會數(shù)數(shù)，就這塊聰明。所以，抽象成數(shù)是非常重要的。如果

27、數(shù)量的本質(zhì)是數(shù)的話，那么抽象出的“數(shù)”的本質(zhì)是什么呢？是“多”和“少”。多和少最簡單的情況是多多少呢?是多1個。所以1是非常核心的。1是“有”的代表。那么，什么是數(shù)呢？數(shù)就是有大小順序的符號，你不管使用A、B、C、D也好，還是用1、2、3、4也好，你怎么排都行，只要有大小順序它就可以和數(shù)一一對應(yīng)起來。特別是他們之間的差是1的話，就可以和自然數(shù)對應(yīng)起來，這就是“數(shù)”的本質(zhì)，這就是“數(shù)”。我理解的數(shù)就是這么個東西。所以”數(shù)”的本質(zhì)是能夠用來比較大小的符號。這個符號變成阿拉伯數(shù)字就是10個字母加上位數(shù)0。這就是數(shù)。在數(shù)的根本上我們在進行運算，就是加法。我為什么說只有加法呢？減法是加法的逆運算，因為減

28、法的出現(xiàn)才有了0，有了負數(shù)，就把正整數(shù)或者是自然數(shù)擴展到了整數(shù)。那么，乘法是加法的簡便運算，3X3表示什么呢？表示3個3相加，是加起來的。所以正數(shù)乘正數(shù)好理解，正數(shù)乘負數(shù)也好理解，就是3個-3加起來就是-9，所以正數(shù)乘負數(shù)等于負數(shù)。負數(shù)乘負數(shù)就不好理解了，這是證明出來的，是個規(guī)定。這個證明是：任何數(shù)乘0都等于0,-1X0=0或者0=-1X0；1+-1=0,所以，0=-1X1+(-1)=-1X1+(1)X(1),1X1=1，那么，0=1+(1)X(1),只有+1加上-1才可能等于0,所以，(-l)X(-l)=+1對嗎！一種運算在這個集合上成立，而擴展到一個新的集合上時，需要證明。很多運算法則本身

29、是需要驗證的。就是說，在正整數(shù)集合上成立的一種運算，到了一個新的集合上是不是成立，是需要驗證的。那么，除法是什么呢？除法是乘法的逆運算?；氐缴厦娴挠懻撋希褪鞘裁磾?shù)乘上1/3=4呢？而除法恰是乘法的逆運算，就變成了什么數(shù)=4*1/3呢？除法是從乘法過渡而來的，不是一開始就是除法。因此，講課應(yīng)這樣講，首先破解1/3的含義，什么叫鵝是鴨的1/3啊？是指鵝的數(shù)量是鴨的數(shù)量的1/3，也就是說，有3只鴨子，有1只鵝，這就是破解。同理推下來：有6只鴨子，就有2只鵝，有多少只鴨子，就有4只鵝呢？孩子們肯定會算，用乘法算，就是12只。所以12=4*1/3，而12恰等于4X3。這是不是偶然呢？你再做一些試驗，發(fā)

30、現(xiàn)這個規(guī)律是一般的，因此，我們就規(guī)定4*1/3=4X3。這就叫做歸納的方法。我認為我們教書應(yīng)該這樣教。教一些歸納的方法，開始不要講道理，而且道理你也講不通，這沒有道理可講，也不要給孩子們說這是歸納法，應(yīng)該邊講故事邊讓孩子們自己捋、捋、捋出條線來。其實過程教育就是幫助孩子們會思考，從頭到尾把問題想清楚。例二，在一個房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿加起來共16個，有幾個椅子和幾個凳子？有關(guān)雞兔同籠的問題，雞兔相差兩條腿，太難了。我們把4條腿的叫椅子，3條腿的叫凳子。椅子和凳子相差一條腿，有利于學(xué)生進行“嘗試”。處理這樣的題目，我們老師一上來就講道理。我當年學(xué)的時候，老

31、師就是給我講道理，我好像懂了知識沒有懂得道理。我后來做了很多研究的時候我發(fā)現(xiàn)，所有的問題都是從最簡單的數(shù)想起，列舉幾個數(shù)看對不對，對了之后把它推廣出來就完了。一個東西都是這么做出來的。我后來年紀逐漸大了的時候才感悟出這個道理。一定記住，沒有一個人腦袋里想一個非常復(fù)雜的問題，那腦袋不是累死了嗎。他想得是非常簡單的東西。我最近給一些中小學(xué)老師講，我是如何判斷你對一個知識明不明白的，這就是能不能舉出例子，如果你能舉出例子來，就說明你學(xué)明白了，如果你舉不出例子，就說明你沒明白。如果你能舉出一個讓所有人都能聽懂的例子，那你就能深入淺出啦。像例二我認為這么講，先別講道理，試一試絕對是一個好辦法，看起來笨，

32、其實很聰明。有16個椅子，凳子就是0，加出的腿就是64，腿多了怎么辦？減椅子，加凳子；那么，15個椅子，1個凳子，加出的腿是63，腿還多。再減椅子，加凳子。，椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)1604X16=641514X15+3X1=631424X14+3X2=62對于凳子和椅子的問題，可以仍然用嘗試的方法列方程：椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)A=1616-a=04Xa+3X(16-a)=64A=1516-a=14Xa+3X(16-a)=63A=1416-a=24Xa+3X(16-a)=62這樣符合題意的方程為：4Xa+3X(16-a)=60這樣的話孩子們肯定自己能把方程列出來，如果孩子們能自己把方程列出來，我認為

33、這個教學(xué)就成功了。老師講出來，你講得再精彩，那都是你老師的事。只有學(xué)生自己推出來的才是自己的東西。所以有時候老師講得茁一點，不要緊，要引發(fā)學(xué)生思考，而引發(fā)學(xué)生思考的最好辦法，是你跟學(xué)生一塊兒思考，你明明懂了，但你還跟著一起來想，來引導(dǎo)學(xué)生想，一起想，最后把這個結(jié)論得到，逐漸逐漸得這么教，就可能培養(yǎng)出一個能想問題的孩子。所以講得太精彩不一定是一個好老師，我認為能引發(fā)學(xué)生跟你一起思考、能培養(yǎng)一個好的思考習(xí)慣的，才是一個好老師。例三，袋子里有5個球，4個白裘1個紅球，通過摸球估計那種球多、兩種球的比例。摸球驗證出現(xiàn)白球的可能性是4/5。這是一個原始的問題，就是擲硬幣，記錄總的次數(shù)和正面朝上的次數(shù)。過

34、去的教學(xué)叫頻率，來驗證是不是1/2。這件事情本質(zhì)上的不成立的教學(xué)方法。應(yīng)該是這樣的，不是驗證白球出現(xiàn)的可能性是4/5。如果驗證白球出現(xiàn)的可能性是4/5，那是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)和統(tǒng)計是有差別的。數(shù)學(xué)的歸納，出發(fā)點是公理、命題和運算法則。對問題判斷的方法是演繹法，整個過程是演繹的。對結(jié)果的判斷是對和錯，在數(shù)學(xué)上必須給出一個對和錯的判斷。而統(tǒng)計學(xué)的核心是什么呢？統(tǒng)計學(xué)的出發(fā)點是數(shù)據(jù)，統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來判斷產(chǎn)生數(shù)據(jù)的背景的信息。比如我通過JDP來估計一個國家的經(jīng)濟發(fā)展情況；通過人均JDP來估計這個國家的人的生活水平。我是通過數(shù)據(jù)獲取一些信息，這是統(tǒng)計學(xué)的思想。出發(fā)點是不一樣的，論證的方法和原則也是不一樣的。因

35、此，統(tǒng)計學(xué)最后結(jié)論的判斷是什么呢？不是對和錯，而是好和壞。所以我們數(shù)學(xué)老師的腦子里要有這個印象，對所有結(jié)果的判斷不一定必須是對和錯，可能有好壞之分。對一個學(xué)生思考能力的判斷，沒有對、錯，只有好壞，要分清楚。像例三這個問題要這樣教，讓孩子們摸球，摸完了放回去，放回去是為了保證它的隨機性，就是每次的條件是一樣的。要記下摸了幾次球，出現(xiàn)白球是多少次。然后問學(xué)生第一個問題：這里是白球多還是紅球多？在一般情況下，白球比紅球多，在不很特殊的情況下，肯定白球比紅球多。你事先不要告訴孩子這里有多少個球，更不能告訴他們有幾個白球幾個紅球。你就告訴孩子有一些球，我們估計一下、預(yù)測一下、推算一下白球多還是紅球多？手

36、段是什么呢？是摸球，摸了看。這就是嘗試推理。莫的次數(shù)多的時候孩子們就知道了，白球和紅球的比例是多少呢？一定記住，摸球摸出來的恰恰是4/5，這可能性是不大的。但是，4/5是8/10，7/10到9/10之間的可能性還是很大的。所以，我們數(shù)學(xué)必須認定一個數(shù)等于另一個數(shù)是不成立的。我們在說一個數(shù)的時候，事實上說這個值可能取在這個數(shù)的附近，所以，我們在小學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常要談到估計的問題，事實上在現(xiàn)實中恰恰是這樣的，有些事情不一定成立的，除了人為的。這樣就有一個區(qū)間的概念，那么，這個球的比例大概在7/109/10之間，這是可以算出來的。就是說，如果你摸球60次以上，那么你摸到的球有95%是在7/10到9/1

37、0之間。就是100次的摸，可能會有95次是在7/10和9/10之間，這樣就挺好了。還要解釋一個問題，就是一種估計的方法。整個摸球的次數(shù)當分母，摸白球的次數(shù)當分子，這個方法不一定是最好的，方法有好有壞。比如：投籃球，就投一把，投中了。你能估計他投籃球的準確率是100%？投2個，都重了。你能說正確率是100%嗎？用這個方法只能得到1，就是100%，怎么辦呢？還有一個方法。摸球的總數(shù)加2當分母，摸白球的數(shù)加1當分子，那好，投1次重了，就是1+1/2+1=2/3（概率），投5把都重了，概率就是5+1/5+2=6/7，但是永遠不能是1，比1差一點。這個方法不也挺好的嗎。所以對世界上很多事情方法不是唯一的

38、，判斷也不一定必須是正確或錯誤。在進行統(tǒng)計學(xué)教學(xué)中，要讓孩子懂得世界上還有這樣的思維方法，還有這樣對事務(wù)處理的方法。這樣的教學(xué)就是過程的教學(xué)，在這個過程中培養(yǎng)孩子的思維、培養(yǎng)孩子的智慧。再講幾何的問題，幾何講最簡單的點、線、面、幾何圖形。亞里士多德說：“我們研究點、線、面，不是想證明點、線、面的存在，而是想研究點、線、面之間的關(guān)系?！蔽覀冎v圖形并不是說一個三角形是存在的、一個正方形是存在的，而是講它們之間的關(guān)系。三角形可以分成三種類型，銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形。他們的分水嶺是什么呢？他們的分水嶺在直角上，比直角小時銳角，比直角大是鈍角。分類的事情往往有包含的關(guān)系，圖形的包含關(guān)系是最難

39、講的。平行四邊形里包含著矩形，孩子們很難能理解，但是老師腦袋里要有個數(shù)，如果這個集合和那個集合一點關(guān)系也沒有的話，孩子一下就變清楚了。最難懂的是正方形是矩形，他很難理解，包含關(guān)系是最難理解的。我們教幾何很重要的是教直觀，直觀是極為重要的。所有的數(shù)學(xué)結(jié)論是看出來的，不是證出來的。沒有一個數(shù)學(xué)家說，他不知道目的就把結(jié)果證出來的，他首先想像一個結(jié)果，然后用演繹的方法證這個結(jié)果，這個結(jié)果是怎么看出來的？用歸納的方法看出來的，看憑借什么？憑借直觀，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)特別是幾何教學(xué)培養(yǎng)孩子直觀是非常重要的。它通過圖有個感性認識，能預(yù)測到一些結(jié)果。特別是三維空間，我們圖形是把三維空間的東西硬拿到二維空間上來，在

40、平面上讀。事實上孩子們看到的都是三維的。因此，在一、二年級讓孩子們看立體的圖形很重要。事實也證明，小學(xué)一、二年級的孩子的直觀想像并不差于初中的孩子，甚至比初中的還要好。所以，在小學(xué)階段的教育中，我認為還是兩條，一個是培養(yǎng)孩子的興趣，還有一個是該教給孩子什么你就教什么。這是兩個核心的根本的問題。（二）、教師的特殊素質(zhì)小學(xué)教學(xué)一定要注意身邊的事情，要多實踐，不能想當然。特別是要站在學(xué)生的立場想問題，學(xué)生會怎么想，我如何引導(dǎo)他們得到一個更好的思維方法，把這些積累起來就是經(jīng)驗。1、扎實的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)。作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，對中小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容所涉及的幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、統(tǒng)計與概率等學(xué)科的內(nèi)容要有初步的理解

41、，對中小學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容能夠把握，知道其中的關(guān)聯(lián)。如：小學(xué)與中學(xué)：數(shù)的運算與擴展，初中與高中函數(shù)定義的異同、方程與函數(shù)等。2、全面把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識。數(shù)學(xué)的核心是：抽象、邏輯、模型；數(shù)學(xué)的本質(zhì)是：研究“關(guān)系”；數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是：定義、符號、假設(shè)。例如：兩個蘋果、兩匹馬“2”：就是一個抽象的符號，現(xiàn)實中是不存在的。再如：點是怎樣抽象出最本質(zhì)的東西呢？歐幾里德叫做沒有部分的東西。什么叫線呢？線就是只有長度的那種東西。什么叫直線呢？直線就是排齊的那種線。這些定義是沒有道理的，如果不這么定義又表示不了這些東西。真正的抽象應(yīng)抽象到什么程度呢？基爾普特認為應(yīng)抽象到符號。他說：我用大寫字母A、B、C來表示點，用小

42、寫字母a、b、c來表示線，用希臘字母0、&、&來表示面，然后再用一個符號表示他們之間的關(guān)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)就抽象到這一步了，是不是合理，我認為非常合理。真正擺脫了物理意義上的抽象，只能用符號表示了。所以近代數(shù)學(xué)的核心是：概念的符號化和推理的形式化。這個思想越來越影響到中學(xué)數(shù)學(xué)，甚至小學(xué)數(shù)學(xué)。但是這個思想也有弊端，為什么？這對于培養(yǎng)直觀非常不利，對看到結(jié)果也是不利的。我非常希望小學(xué)老師能知道這些，數(shù)學(xué)獎的是概念的符號化、推理的形式化。但講課的時候不能這么講，還要將孩子們身邊的事。有一個幾何中的例子，埃及的亞歷山大圖書館，有一屆館長叫貝塔，他是個地理學(xué)家。他在資料中看到，尼羅河的某地在夏至的這天，豎起一個桿子，沒有影子，太陽光可以直接照到井底的水面上?？墒牵谕惶焱粫r刻，在亞歷山大豎起一個桿子為什么有影子呢？這是他得到一個結(jié)論：地球是圓的。為什么呢？他有一個假設(shè)，數(shù)學(xué)就是驗證假設(shè)的。它假設(shè)太陽光照在地球的表面上是是平行的，如果地球是平面的，那么太陽光在一個地方照射沒有影子，在其他地方也應(yīng)該沒有影子，產(chǎn)生影子的原因就是因為地球是圓的。這里就用到小學(xué)數(shù)學(xué)中的平行。再一個例子，什么叫直線？孩子們一定認為，