點(diǎn)擊導(dǎo)數(shù)在函數(shù)應(yīng)用中的幾個(gè)誤區(qū)

1、點(diǎn)擊導(dǎo)數(shù)在函數(shù)應(yīng)用中的幾個(gè)誤區(qū) 四川省德陽中學(xué) 管智勇函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，導(dǎo)數(shù)是在解決函數(shù)問題中分析和解決問題時(shí)的不可缺少的工具，尤其是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極植、最值、和切線的方程，但是在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用還存在許多誤區(qū)。誤區(qū)之一：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線時(shí)，（1）對(duì)“過”與“在”理解上出錯(cuò)；（2）對(duì)不可導(dǎo)點(diǎn)處是否有切線理解出錯(cuò)；（3）函數(shù)的切線是否唯一。例題1：已知曲線C：，則經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的曲線C的切線方程？分析：由得則所求切線方程為，即上述解法錯(cuò)因是此處所求的切線只是說經(jīng)過點(diǎn)P，而沒有說P點(diǎn)一定是切點(diǎn)，于是切線斜率k與不一定相等。正確解法是：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（1，2

2、）的經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）的直線與曲線C相切于點(diǎn)（由得在點(diǎn)（處的切線斜率k=，所以在點(diǎn)（處的切線方程為。又因?yàn)辄c(diǎn)（和P（1，2）均在曲線C和切線上，有解得，于是切線方程為或反思：在解決曲線的切線問題時(shí)，要注意曲線在某點(diǎn)處的切線若有，則只有一條；曲線過某點(diǎn)的切線往往不只一條；因而切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè)。因此在審題時(shí)首先要判斷是“過”還是“在”。例題2：（1）已知曲線上的一點(diǎn)M（0，0），試求過點(diǎn)M的切線方程。（2）已知函數(shù)圖象上的一點(diǎn)M（0，0），試求過點(diǎn)M的切線。分析在處不可導(dǎo)，在處不可導(dǎo)，在點(diǎn)M的切線不存在。正確解法是：曲線上的一點(diǎn)M（0，0）的切線方程為 函數(shù)圖象上的一點(diǎn)M（0，0）

3、切線不存在反思：在解決曲線的切線存在時(shí)，要正確理解切線的定義，過曲線上的一點(diǎn)P（作曲線的而曲線上的一點(diǎn)M（0，0）的割線的極限位置為軸，此時(shí)不存在，切線存在，切線方程為。 函數(shù)圖象上的一點(diǎn)M（0，0）割線的極限不存在，所以切線不存在這兩個(gè)函數(shù)雖然在某點(diǎn)不可導(dǎo)，但對(duì)不可導(dǎo)點(diǎn)處是否有切線，還需要由割線的極限來確定。誤區(qū)之二：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，忽視f(x)的定義域；或忽視導(dǎo)函數(shù)恒成立的等號(hào)例題1：已知函數(shù)（1），若函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。分析：，若函數(shù)的極值存在，令=0，0，即0上述解法錯(cuò)因：此函數(shù)的定義域?yàn)?，而不是正確解法是：令當(dāng)m=0時(shí)，有實(shí)根，在點(diǎn)左右兩側(cè)均

4、有故無極值當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表所示：+0-0+極大值極小值的極大值為，的極小值為當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根， 同上可得的極大值為綜上所述，時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為當(dāng)時(shí)，的極大值為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 反思：用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，決不能忽視f(x)的定義域。例題2：已知函數(shù)，其中，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍分析：由題意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立錯(cuò)誤的主要原因是：由于對(duì)函數(shù)在D上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件是（或）且在D任一子區(qū)間上不恒為零沒有理解。正確解法是：由題意在區(qū)間上恒成立，所以，設(shè)，則，令，得或（舍去）當(dāng)

5、，即時(shí)，由于時(shí)；時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因此當(dāng)，即時(shí)，由于時(shí)，即在上單調(diào)遞增，所以，因此綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，反思：用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性求字母系范圍時(shí)，要注意導(dǎo)函數(shù)恒成立的等號(hào)誤區(qū)之用三：導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值時(shí)，不檢驗(yàn)f(x)=0的根x=的左右側(cè)符號(hào)。例題1：已知函數(shù)，若在處取得極值，求a的值；分析： ，在處取得極值，則，解得或上述解法錯(cuò)因：不是所求。因?yàn)楫?dāng)恒小于，所以在處取得無極值。正確解法是：本題反思：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值時(shí)，檢驗(yàn)f(x)=0的根x=的左右側(cè)符號(hào)誤區(qū)之四、求函數(shù)的最值沒有考慮函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。 例1. 求在上的最大值和最小值。分析：由題意得令得當(dāng)和3時(shí)，函數(shù)的最大值是 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是1錯(cuò)誤的主要原因：是解題過程中忽略了對(duì)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的考察，因?yàn)楹瘮?shù)