圓與球：跨時(shí)代跨文化的數(shù)學(xué)故事

1、圓與球：跨時(shí)代、跨文化的數(shù)學(xué)故事圓這座完善的古代建筑 , 最根本的設(shè)計(jì)元素竟然是最簡(jiǎn)潔的幾何圖形站立在北京天壇祈年殿前 , 贊揚(yáng)之情油然而生；這座完善的古代建筑 ,最根本的設(shè)計(jì)元素竟然是最簡(jiǎn)潔的幾何圖形圓；三層漢白玉圓形臺(tái)基、三層藍(lán)琉璃圓頂大殿 , 與鄰近的圓形皇穹宇和圜丘交相輝映 , 好一片圓美世界！圓和球仍是最有用的圖形；宏大如宇宙天體 , 微小至原子電子 , 飛轉(zhuǎn)的車輪 , 滴嗒的鐘表 人們的日常生活離不開(kāi)圓和球 開(kāi)圓和球； , 科技的進(jìn)步也離不簡(jiǎn)潔中寓深?yuàn)W；在圓與球簡(jiǎn)約的形狀下 , 潛藏著無(wú)窮的數(shù)學(xué)秘密；圓周長(zhǎng)和圓面積的運(yùn)算 , 蘊(yùn)涵著極限思想；中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“ 割圓術(shù) ,

2、就是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步靠近圓；劉徽從圓內(nèi)接正六邊形動(dòng)身 , 將邊數(shù)逐次加倍 , 并運(yùn)算逐次得到的正多邊形的周長(zhǎng)和面積 以及相應(yīng)的圓周率近似值 ；古希臘數(shù)學(xué)家稱用多邊形靠近曲線圖形的方法為“ 窮竭法 , 早在公元前 3 世紀(jì) , 阿基米德也是用這種方法去運(yùn)算圓的周長(zhǎng)、面積及圓周率的；不過(guò)阿基米德最引以驕傲的 , 是他對(duì)球體積的運(yùn)算；阿基米德考慮一個(gè)球和它的外切圓柱 , 以及一個(gè)幫助的圓錐 , 其根本做法是將這些立體分割成很多的薄片 , 并用力學(xué)平穩(wěn)的方法比擬它們的體積 , 最終求得球體積的正確公式： R 是球半徑 ；阿基米德的方法可以看成是積分學(xué)的先聲；無(wú)獨(dú)有偶 , 在東方 , 中國(guó)南北朝時(shí)

3、期的數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子祖 , 也是利用球和它的外切圓柱運(yùn)算出正確的球體積公式；不過(guò)與阿基米德不1 / 3 同 , 祖氏父子考慮的是同一個(gè)球的兩個(gè)相互垂直的外切圓柱的公共局部 劉徽最先發(fā)覺(jué)該種立體并命名為“ 牟合方蓋 , 并運(yùn)用歐洲學(xué)者遲至17世紀(jì)才重新發(fā)覺(jué)的不行重量原理推算出這局部立體與其所含內(nèi)切球的體積之比；祖氏父子的方法與阿基米德的可以說(shuō)是異曲同工 , 殊途同歸；至于近代微積分的制造 , 圓和球也扮演了重要的角色；我們知道 , 在 17世紀(jì)上半紀(jì)微積分醞釀時(shí)期 , 圓面積與圓周率 的運(yùn)算 , 曾是那些查找翻開(kāi)無(wú)窮小算法大門鑰匙的數(shù)學(xué)大師們關(guān)注的熱點(diǎn)；牛頓之前的先行者、英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯在

4、其代表作.無(wú)窮算術(shù) .中 , 用插值法運(yùn)算1/4 圓的面積 , 并進(jìn)而導(dǎo)出了無(wú)窮乘積表達(dá)式牛頓推廣沃利斯的方法而得到了指數(shù)可以是分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的二項(xiàng)定理 , 二項(xiàng)定理在建立微積分算法中的作用是眾所周知的；在解析幾何的制造人笛卡兒手中 , 圓是他作圖求解方程的根本工具；笛卡兒在 .幾何學(xué) .一書中提出的求曲線切線的方法甚至以“ 圓法著稱 , 而牛頓正是從討論、改善笛卡兒“ 圓法開(kāi)頭踏上制定微積分的漫漫征途；微積分的另一位制造人萊伯尼茨也運(yùn)算過(guò)圓面積及圓周率 , 他給出了 的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式饒有意味的是 , 與牛頓、萊布尼茨差不多同時(shí)代的日本“ 算圣關(guān)孝和 ,開(kāi)創(chuàng)了獨(dú)具一格的“ 圓理；他所謂的“ 圓理

5、, 即指與圓有關(guān)的討論 ,以無(wú)窮級(jí)數(shù)為根底 , 運(yùn)算各種曲線與曲面圍成的圖形之面積與體積 , 說(shuō)明當(dāng)時(shí)東方的數(shù)學(xué)家們也在盡力用圓這把鑰匙叩擊著微積分的大門；古希臘“ 數(shù)學(xué)之神阿基米德把球體積推算視為他一生最滿意的成果 ,曾留下遺囑把球及其外切圓柱的圖形刻在他的墓碑上；阿基米德在其次次布匿戰(zhàn)爭(zhēng)期間被羅馬士兵殺害 , 據(jù)傳當(dāng)羅馬軍士沖到阿基米德身邊時(shí) ,這位正在摸索數(shù)學(xué)問(wèn)題的老人喊出的最終一句話是：“ 別動(dòng)我的圓！阿2 / 3 基米德死后 , 羅馬軍隊(duì)的主帥馬塞呂斯下令為阿基米德鄭重建墓 , 并遵照阿基米德的遺愿 , 在他墓前豎了一塊石碑 , 墓碑上刻著的正是那不朽的圖形球及其外切圓柱；記載著阿基

6、米德球體積運(yùn)算的羊皮書手稿 , 歷經(jīng)千年塵封后最終重見(jiàn)天日 時(shí)； , 被譽(yù)為 20 世紀(jì)最重大的考古發(fā)覺(jué)而轟動(dòng)一至于圓周率 的運(yùn)算 , 這方面的成就往往被用作衡量某一時(shí)代、某一地區(qū)文化水平的標(biāo)征；前面已提到的祖沖之 , 亦以圓周率的運(yùn)算而彪炳史冊(cè)；據(jù).隋書 .記載 , 祖沖之算出圓周率的精確值在 3.1415926 與 3.1415927之間 , 這在公元 5 世紀(jì)時(shí)制造了世界之最；為了紀(jì)念這位文化名人 , 人們把月球上的一座環(huán)形山命名為“ 祖沖之山；1955 年 , 中國(guó)仍發(fā)行了祖沖之紀(jì)念郵票；祖沖之并不是僅有的顯現(xiàn)在郵票上并與圓周率有關(guān)的數(shù)學(xué) 家；伊朗曾發(fā)行過(guò)紀(jì)念阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾 卡西的郵票 , 阿爾 卡西恰恰是祖沖之之后刷新圓周率運(yùn)算記錄的第一人 精確到 13 位小數(shù)的圓周率近似值；今日 , 他在公元 14 世紀(jì) , 給出了 , 電子運(yùn)算機(jī)已經(jīng)將數(shù)值運(yùn)算到小數(shù)點(diǎn)后數(shù)萬(wàn)億位； 然而 , 電子運(yùn)算機(jī)的制造、 使用本身離不開(kāi)圓的數(shù)學(xué)；我們已