高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、情景引入問題2 如果改變圓錐的軸與截平面所成的角,那么會得到怎樣的曲線呢?問題1 用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個什么圖形？答案：如圖,用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時,可以得到不同的截口曲線,答案：截口曲線是一個圓.我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線( conic sections).它們分別是拋物線、橢圓和雙曲線.圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著緊密的關(guān)系. 第三章 圓錐曲線的方程 行星繞太陽運(yùn)行的軌道 3.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 生活中的橢圓 如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢

2、？情景引入1 什么是圓？2 取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在平面內(nèi)的同一點(diǎn)F上，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在平面內(nèi)慢慢移動，問筆尖畫出的圖形是什么？3 若將細(xì)繩兩端分開，并且固定在平面內(nèi)的F1，F(xiàn)2兩點(diǎn).當(dāng)長繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在平面內(nèi)慢慢移動，問筆尖畫出的圖形又是什么呢？合作探究答案：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓.答案：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓. 橢圓的定義 我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)（大于 |F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 這兩個定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn).兩個焦點(diǎn)的距離叫做焦距.注意:橢圓定義中

3、容易遺漏的地方： （1）兩個定點(diǎn)間的距離- | F1F2 |=2c （2）與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)-| MF1 |+|M F2 |=2a （3）2a2c2cMF1F2解惑提高 焦距的一半稱為半焦距. 我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)（大于 |F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.| F1F2 |=2c , | MF1 |+|M F2 |=2a2a2c2a=2c2a0)， M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a (2a2c) ，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) .xF1F2M0y建構(gòu)數(shù)學(xué)（問題：下面怎樣化簡？）由橢圓的定義得，限制條件：代入坐標(biāo)1)橢圓的

4、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)合作探究整理得兩邊再平方，得移項(xiàng)后平方得兩邊除以簡潔、美觀、對稱、和諧總體印象：對稱、簡潔，“像”直線方程的截距式焦點(diǎn)在y軸：焦點(diǎn)在x軸：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1oFyx2FM12yoFFMx解惑提高1建系設(shè)點(diǎn)2列等式3等式坐標(biāo)化4化簡5證明求橢圓的方程方法坐標(biāo)法解惑提高 圖 形方 程焦 點(diǎn)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)a,b,c之間的關(guān)系a2=b2+c2| MF1 | + | MF2 | =2a (2a2c0)定 義12yoFFMx1oFyx2FM兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)解惑提高共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的

5、左邊是平方和，右邊是1.不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓 項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在y軸的橢圓 項(xiàng)分母較大. 圖 形方 程12yoFFx1oFyx2F1.判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個軸，并指明a2、b2，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)答：在 x 軸.（-3，0）和（3，0）答：在 y 軸.（0，-5）和（0，5）答：在y 軸.（0，-1）和（0，1）解惑提高 判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個軸上.小試牛刀 2.將下列方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并判定焦點(diǎn)在哪個軸上，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)解惑提高 在下述方程中，A、B、C滿足什么條件，就表示橢圓？答： A、B、C同號，且A不等于B.小試牛刀(1) 兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-

6、4，0),(4，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10.例1：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解:因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:典型應(yīng)用(2) 求兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-2),(0,2)，并且經(jīng)過點(diǎn) 的橢圓方程.解:因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:法1：由題意得：解得：例1：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典型應(yīng)用(2) 求兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-2),(0,2)，并且經(jīng)過點(diǎn) 的橢圓方程.例1：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典型應(yīng)用法2：例1：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典型應(yīng)用解:設(shè)橢圓的方程為:解得:所求橢圓的方程為:解惑提高1 橢圓 上一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個焦點(diǎn)的距離為（ ）A.5 B.6 C.4 D.10A2.已知橢圓的方程為