高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 1. 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示（精練）(含答案)

1、1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示(精練)【題組一 空間向量坐標(biāo)運算】1(2021全國高二課時練習(xí))已知，求：(1)； (2)【答案】(1)9，(2)【解析】1)因為，所以，因為，所以，(2)因為，所以2(2021全國高二課時練習(xí))已知，求：(1)； (2)； (3)； (4)，【答案】(1)，(2)，(3)，(4).【解析】因為，(1)所以，(2)(3)(4)3(2021全國高二課時練習(xí))已知，求，【答案】； .【解析】； .4(2021江蘇)(多選)已知向量，下列等式中正確的是( )ABCD【答案】BCD【解析】由題，所以不相等，所以A選項錯誤；，所以，所以B選項正確；，所以C選項正確；，

2、即，所以D選項正確.故選：BCD5(2021全國高二課時練習(xí))在空間直角坐標(biāo)系中，點P(2，1，4)(1)求點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)；(2)求點P關(guān)于xOy平面的對稱點的坐標(biāo)；(3)求點P關(guān)于點M(2，1，4)的對稱點的坐標(biāo)【答案】(1)(2，1，4)；(2)(2，1，4)；(3)(6，3，12)【解析】(1)由于點P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P1(2，1，4)(2)由于點P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為P2(2，1，4)(3)設(shè)對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3

3、的中點由中點坐標(biāo)公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)6(2021全國高二課時練習(xí))如圖，在長方體中，為棱的中點，分別以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系(1)求點的坐標(biāo)；(2)求點的坐標(biāo)【答案】(1)，；(2).【解析】(1)為坐標(biāo)原點，則，點在軸的正半軸上，且，同理可得：，點在坐標(biāo)平面內(nèi)，同理可得：，與的坐標(biāo)相比，點的坐標(biāo)中只有坐標(biāo)不同，綜上所述：，.(2)由(1)知：，則的中點為，即.【題組二 空間向量中數(shù)量積的坐標(biāo)運算】1(2021浙江)與向量共線的單位向量是( )ABC和D和【答案】D【解析】，且，故與向量共線的單位向量是或，故選

4、：D2(2021臺州市書生中學(xué)高二開學(xué)考試)已知向量，以為鄰邊的平行四邊形的面積ABC4D8【答案】A【解析】由題意，則，所以平行四邊形的面積為，故選A.3(2020全國高二課時練習(xí))(多選)已知，且，則( )AxBxCyDy4【答案】BD【解析】因為所以，因為 ，所以3(12x)4(2x)且3(4y)4(2y2)，所以x，y4故選：BD4(2020全國高二課時練習(xí))若(4，6，1)，(4，3，2)，且，則_【答案】或【解析】解：設(shè)(x，y，z)，由題意有，解得或故答案為：或5(2021全國高二課時練習(xí))已知點，點在直線上運動，當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為_.【答案】【解析】根據(jù)題意，點在直線上

5、運動，1，；設(shè)，當(dāng)時，取得最小值此時點的坐標(biāo)是，故答案為：6(2021陜西寶雞市)在空間直角坐標(biāo)系中，已知，點分別在軸，軸上，且，那么的最小值是_.【答案】【解析】設(shè)，0，0，1，-，即，(當(dāng)時取最小值)故答案為：7(2021山東泰安市高二期末)已知，且與的夾角為鈍角，則實數(shù)k的取值范圍為_【答案】【解析】由，所以，解得 若與反向，則則，所以 所以與的夾角為鈍角則且綜上的范圍是故答案為：8(2021甘肅慶陽市高二期末(理)已知， ，若，則_【答案】【解析】因為，所以， 又所以所以，解得或因為，所以，所以，故答案為：9(2021江蘇無錫市高二期末)已知空間向量，若，則_.【答案】【解析】因為，且

6、所以存在，使得，所以即解得所以故答案為：10(2021全國高二課時練習(xí))在空間直角坐標(biāo)系中，若三點A(1，-1，a)，B(2，a，0)，C(1，a，-2)滿足：，則實數(shù)a的值為_.【答案】【解析】由題意，所以，解得.故答案為：11(2021浙江高二單元測試)已知，且與夾角為鈍角，則x的取值范圍為_【答案】【解析】由題可知，即，解得且故答案為：12(2021廣東肇慶市高二期末)從，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，求異面直線與所成角的余弦值.問題：如圖，在長方體中，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，已知，_.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分.【答案】條件選擇見解析；值為：.【解

7、析】選.，即.，異面直線與所成角的余弦值為.選.設(shè)，其中，從而，.，由于，所以.，異面直線與所成角的余弦值為.選.，.解法同.13(2021江蘇高二)已知空間三點.(1)若點在直線上，且，求點的坐標(biāo)；(2)求以為鄰邊的平行四邊形的面積.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，點在直線上，設(shè)，.(2)，所以以為鄰邊得平行四邊形的面積為.14(2021鉛山縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試(理)已知向量，.(1)若，求實數(shù)；(2)若向量與所成角為銳角，求實數(shù)的范圍.【答案】(1)；(2)且.【解析】(1)由已知可得，因為，所以，可得. (2)由(1)知，因為向量與所成角為銳角，所以，解得， 又當(dāng)時，可得實數(shù)的

8、范圍為且.【點睛】15(2021浙江高二單元測試)已知點，(1)若D為線段的中點，求線段的長；(2)若，且，求a的值，并求此時向量與夾角的余弦值【答案】(1)；(2)【解析】(1)由題意，點，且點D為線段的中點，可得，則，所以，即線段的長為(2)由點，則，所以，解得，所以，則，即向量與夾角的余弦值為16(2021浙江高二單元測試)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.單位正方體頂點A位于坐標(biāo)原點，其中點，點，點.(1)若點E是棱的中點，點F是棱的中點，點G是側(cè)面的中心，則分別求出向量，.的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，分別求出；的值.【答案】(1)；(2)；.【解析】(1)因為點E是棱的中點，點F是棱的中

9、點，點G是側(cè)面的中心，可得，所以；(2)由(1)可得；又由，所以.16(2021浙江高二單元測試)已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)若，且分別與，垂直，求向量的坐標(biāo)；(2)若，且，求點P的坐標(biāo)【答案】(1)或；(2)或【解析】(1)=(2，1，3)，=(1，3，2)設(shè)=(x，y，z)，|=，且分別與、垂直，解得，或=(1，1，1)，(1，1，1)(2)因為，所以可設(shè)因為(3，2，1)，所以(3，2，)又因為，所以，解得2.所以(6，4，2)或(6,4,2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y，z)，則(x，y2，z3)所以或解得或故所求點P的坐標(biāo)為(6，2,1)或(6,6

10、,5)【題組三 建立空間坐標(biāo)系】1(2021浙江)在三棱錐中，三條側(cè)棱，兩兩垂直，且的面積為，則的長為_.【答案】2【解析】依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，所以，即，所以，解得故答案為：2(2021安徽省安慶九一六學(xué)校高二開學(xué)考試(理)如圖，將邊長為1的正方形沿對角線折成直二面角，若點滿足，則的值為()AB2CD【答案】A【解析】記正方形的對角線交于點，連接，所以，因為二面角為直二面角，且，平面平面，所以平面，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：所以，所以，因為，所以，所以，故選：A.3(2021四川資陽市高二期末(文)如圖，棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方體

11、表面BCC1B1上的一個動點，E，F(xiàn)分別為BD1的三等分點，則的最小值為( )ABCD【答案】D【解析】過F作F關(guān)于平面的對稱點，連接交平面于點.可以證明此時的使得最?。喝稳?不含)，此時.在點D處建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，因為E，F(xiàn)分別為BD1的三等分點，所以,又點F距平面的距離為1，所以,的最小值為.故選：D4(2021全國高二課時練習(xí))設(shè)，向量且，則( )ABC3D4【答案】C【解析】因為，所以存在使得，所以，解得，所以，因為，所以，得，所以，所以，所以.故選：C5(2021全國高二課時練習(xí))如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，

12、N分別為A1B1，A1A的中點，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量，的坐標(biāo)【答案】(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，2)【解析】由題意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以點C為原點，分別以CA，CB，CC1的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，如圖所示則B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，2)6(2021全國高二課時練習(xí))如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分別為A1B1，A1A的中點(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值；【答案】(1)；(2).【解析】(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，|，線段BN的長為.(2)依題意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，10(1)1223.又|，|.cos.故A1B與B1C所成角的余弦值為.7(2021全國高二課時練習(xí))如圖，在正方體中，M，N分別為棱和的中點，求CM和所成角的余弦值【答案】【解析】以D為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體邊長為2，則所以,設(shè)CM和