2003年高考全國卷.理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）注意事項(xiàng)：1. 答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上3. 考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式： 正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式 其中、分別表示 上、下底面周長，表示斜高或母線長. 球體的體積公式： ，其中r 表示球的半徑.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第卷（選擇題共60分）一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題

2、給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1已知，0），則 （ ） （a） （b） （c） （d）2圓錐曲線的準(zhǔn)線方程是 （ ） （a） （b） （c） （d）3設(shè)函數(shù) ，若，則的取值范圍是 （ ） （a）（，1） （b）（，） （c）（，）（0，） （d）（，）（1，）4函數(shù)的最大值為 （ ） （a） （b） （c） （d）25已知圓c：（）及直線：，當(dāng)直線被c截得的弦長為時(shí)，則 （ ） （a） （b） （c） （d）6已知圓錐的底面半徑為r，高為3r，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（ ） （a） （b） （c） （d）7已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的的等差數(shù)列，則 （ ） （a）1

3、（b） （c） （d）8已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為f（，0），直線與其相交于m、n兩點(diǎn)，mn中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是 （ ） （a） （b） （c） （d）9函數(shù)，的反函數(shù) （ ） （a） ，1 （b） ，1 （c） ，1 （d） ，110已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)a（0，0），b（2，0），c（2，1）和d（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從ab的中點(diǎn)沿與ab的夾角的方向射到bc上的點(diǎn)后，依次反射到cd、da和ab上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角），設(shè)的坐標(biāo)為（，0），若，則tg的取值范圍是 （ ） （a）（，1） （b）（，） （c）（，） （d）（，）11 （ ） （a）3 （b） （c） （d）

4、612一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則些球的表面積為（ ） （a） （b） （c） （d）2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第卷（非選擇題共90分）二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題中橫線上13的展開式中系數(shù)是 14使成立的的取值范圍是 2153415如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）pmnlpnmlnlpmlmnpnlpm16下列5個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)m、n、p分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出面mn

5、p的圖形的序號(hào)是 （寫出所有符合要求的圖形序號(hào)） 三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或或演算步驟17（本小題滿分12分） 已知復(fù)數(shù)的輻角為，且是和的等比中項(xiàng)，求dekbc1a1b1afcg18（本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，d、e分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)e在平面abd上的射影是abd的重心g（i） 求與平面abd所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（ii） 求點(diǎn)到平面aed的距離19（本小題滿分12分） 已知，設(shè) p：函數(shù)在r上單調(diào)遞減 q：不等式的解集為r如果p和q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍o北東oy線岸oxor(t)p海

6、20（本小題滿分12分） 在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市o（如圖）的東偏南）方向300km的海面p處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？21（本小題滿分14分）opagdfecbxy 已知常數(shù)，在矩形abcd中，o為ab的中點(diǎn)，點(diǎn)e、f、g分別在bc、cd、da上移動(dòng)，且，p為ge與of的交點(diǎn)（如圖），問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使p到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由22（本小題滿分12分，附加題4 分） （i

7、）設(shè)是集合 且中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即， 將數(shù)列各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：35 69 10 12 寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；求（ii）（本小題為附加題，如果解答正確，加4 分，但全卷總分不超過150分） 設(shè)是集合，且中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，已知，求.2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷) 數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）答案一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 每小題5分，滿分60分.1d 2c 3d 4a 5c 6b 7c 8d 9d 10c 11b 12a二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分,滿分16分.13 14（

8、-1，0） 1572 16三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17 解：設(shè)，則復(fù)數(shù)由題設(shè)18（）解：連結(jié)bg，則bg是be在abd的射影，即ebg是a1b與平面abd所成的角.設(shè)f為ab中點(diǎn)，連結(jié)ef、fc，（）解：19解：函數(shù)在r上單調(diào)遞減不等式20解：如圖建立坐標(biāo)系以o為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向.在時(shí)刻：（1）臺(tái)風(fēng)中心p（）的坐標(biāo)為此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是其中若在t時(shí)刻城市o受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有即答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.21根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)p坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)p到兩點(diǎn)距離的和為定值.按題意有a（2

9、，0），b（2，0），c（2，4a），d（2，4a）設(shè)由此有e（2，4ak），f（24k，4a），g（2，4a4ak）直線of的方程為：直線ge的方程為：從，消去參數(shù)k，得點(diǎn)p（x,y）坐標(biāo)滿足方程整理得 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)p的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)p軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)p到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長當(dāng)時(shí)，點(diǎn)p到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（的距離之和為定值當(dāng)時(shí)，點(diǎn)p 到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0， 的距離之和為定值2.22（本小題滿分12分，附加題4分）（）解：用(t,s)表示，下表的規(guī)律為 3（(0,1)=）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) （i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5) （i i）解法一：因?yàn)?00（1+2+3+4+13）+9，所以(8,14)16640解法二：設(shè)，只須確定正整數(shù) 數(shù)列中小于的項(xiàng)構(gòu)成的子集為 其元素個(gè)數(shù)為滿足等式的最大整數(shù)為14，所以取因?yàn)?00（）解：令 因 現(xiàn)在求m的元素個(gè)數(shù)：其元素個(gè)數(shù)為： 某元素個(gè)數(shù)為某元素個(gè)數(shù)為另法：規(guī)定（r,t,s），（3,7,10）則 （0,1,2） 依次為