《數(shù)學(xué)物理方法》課程八課件

1、主講教師:冉揚(yáng)強(qiáng)數(shù)學(xué)物理方法第六章 一維波動方程的付氏解第一節(jié) 波動方程的建立第二節(jié) 齊次方程的分離變量法 主要內(nèi)容 (1)、一維波動方程的建立 (2)、齊次方程的分離變量法 (3)、付氏解的物理意義 (4)、非齊次方程的求解 (5)、非齊次邊界條件的處理 第六章 一維波動方程的付氏解第一節(jié) 波動方程的建立 一、弦振動方程的建立 本節(jié)以弦振動為例，討論如何把物理規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)物理方程，要求掌握這種方法.數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為： 1、確定研究的物理量u . 2、從研究的系統(tǒng)中任取一部分，根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和這小部分的相互作用，并略去不重要的因素. 3、將相互作用在短時間內(nèi)如何影響物理量u

2、用算式表達(dá)出來. 4、化簡整理得數(shù)學(xué)物理方程. 設(shè)弦的長度為 ，密 度為 ，把它繃緊固定 在 上，在不振動時是 一條直線，取直線的方向 為x軸，如圖所示，當(dāng)它在平衡位置附近作垂直于x 軸的微小振動時，研究弦上各點的位移u與坐標(biāo)x 及時間t 的關(guān)系即 其中 是橫向加速度 ，對于小振動， 令 時，則有 其中：令令 (ii).第二邊界條件: (iii).第三邊界條件: 其中 為已知函數(shù)， 為常數(shù)。如果 則稱為齊次邊界條件。 該等式左端只是t 的函數(shù)，等式右端只是 x 的函數(shù). 而x , t 是兩個相互獨立的變量，所以只有兩邊都是常數(shù)時，等式才能成立，把這一常數(shù)記作 ，則有： (ii). ， 的解為：

3、 (iii). , 的通解為： （n 為正整數(shù)） （n 為正整數(shù)） 分離變數(shù)過程中所引入的常數(shù) 不能為負(fù)數(shù)或零，甚至也不能是任意的正數(shù)，它必須取 所決定的特定值，才可能從方程 和邊界條件 解出有意義的解： 除此以外，只能得到恒等于零的解。常數(shù) 的特定數(shù)值叫做特征值(本征值)，相應(yīng)的解叫作特征函數(shù)(本征函數(shù))。 以上的求解方法稱為分離變量法，其基本思想是把分離變量形式的試探解代入偏微分方程，從而把它分解為幾個常微分方程，問 題就轉(zhuǎn)化為求解常微分方程。上述分離變量形式的解正是付里葉正弦級數(shù)，我們把這種形式的解，稱為付氏解。 這正是我們分離變量法中所求結(jié)果。以上這個方法就稱為付里葉級數(shù)法。它不是一個獨立 的方法。因為級數(shù)展開的基本函數(shù) 正是分離變量法所求得的本征函數(shù)。 三、付氏解的物理意義 節(jié)，在兩個波節(jié)之間，各點的振動都有相同的位相，它們同時又達(dá)到自己的最達(dá)位移， 又同時通過平衡位置。在 這些點上，振幅達(dá)到最大值，稱為波腹，兩相鄰節(jié)點間隔應(yīng)為半個波長，從而駐波波長 ，駐波的圓頻率 。