3.4衍射受限非相干傳遞函數(shù)

1、 3.4 衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 單色光，相干光。波列長(zhǎng)度、波列持續(xù)時(shí)間，是理想情況準(zhǔn)單色光：波列長(zhǎng)度、波列持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng) 較大很小，非相干光：包含有許多連續(xù)分布的不同的波長(zhǎng)。 很小很大，370730nm相干光照明時(shí)：物面上各點(diǎn)發(fā)出的光波的振幅和相位隨時(shí)間作相同的變化，彼此相關(guān)（相干）。它們發(fā)出的光波之間的相位差僅由相對(duì)位置決定，相位差恒定。在像面上的光場(chǎng)分布是復(fù)振幅分布的線(xiàn)性疊加。非相干光照明時(shí)：在觀(guān)測(cè)時(shí)間內(nèi)，物面上各點(diǎn)發(fā)出的光波的振幅、相位隨時(shí)間的變化方式是彼此獨(dú)立的、統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)的。非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度的線(xiàn)性疊加，在一定條件下是強(qiáng)度的線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)。3.4.1 非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)

2、傳遞函數(shù) (OTF -Optical Transfer Function) 非相干成像系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)度是線(xiàn)性空間不變的，物、像的強(qiáng)度分布之間滿(mǎn)足: 是強(qiáng)度脈沖響應(yīng)，也稱(chēng)為非相干脈沖響應(yīng)，或強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，或非相干點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。 其中：是理想幾何像的強(qiáng)度分布，是實(shí)際像的強(qiáng)度分布，該式表明：像的強(qiáng)度分布是理想幾何像的強(qiáng)度分布與強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò) 散函數(shù)的卷積，系統(tǒng)的成像特性由強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)決定。 強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是點(diǎn)物產(chǎn)生的像斑的強(qiáng)度分布，等于相干點(diǎn)擴(kuò) 散函數(shù)的模的平方，即： 在頻域中，可表示為： 其中：由于Ii、Ig、hI都是強(qiáng)度分布，是非負(fù)實(shí)函數(shù)，它們的頻譜一般都是復(fù)函數(shù)，但必有一個(gè)幅值很大的零頻分量（直流分量）

3、，即： 下面用一個(gè)例子說(shuō)明這一點(diǎn)： 決定像的清晰與否，主要不是包括零頻成分在內(nèi)的總光強(qiáng)有多大，而在于攜帶有信息的高頻成分的那部分光強(qiáng)相對(duì)于零頻成分的比值有多大；所以更有意義的是Gi、Gg和HI相對(duì)于各自零頻成分的比值，即用零頻成分歸一化的頻譜，即： 1FT有正有負(fù)FT非負(fù)因?yàn)椋核裕瑲w一化頻譜也滿(mǎn)足：非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF）。在頻域中描述非相干成像系統(tǒng)的成像特性。 一般都是復(fù)函數(shù)，都可以用模和幅角來(lái)表示：稱(chēng)為調(diào)制傳遞函數(shù)（MTFModulation Transfer Function）。描述系統(tǒng)對(duì)各頻率成分對(duì)比度的傳遞特性。稱(chēng)為相位傳遞函數(shù)（PTFPhase Transfer F

4、unction）。描述系統(tǒng)對(duì)各頻率成分的相位傳遞特性。下面對(duì)OTF中的模及幅角的物理意義進(jìn)行進(jìn)一 步的說(shuō)明： 非相干成像系統(tǒng)就是這樣的系統(tǒng)。Ii, Ig, hI 都是實(shí)函數(shù)，Gi, Gg 和H都是厄米對(duì)稱(chēng)的。余弦函數(shù)是這類(lèi)系統(tǒng)的本征函數(shù)。即： 當(dāng)輸入為余弦形式的強(qiáng)度分布時(shí)，其輸出仍為同頻率余弦形式，只是對(duì)比度和相位發(fā)生變化。而其對(duì)比度和相位的變化分別決定于MTF和PTF。 第一章講過(guò)，對(duì)于脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的線(xiàn)性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)具有厄米對(duì)稱(chēng)性。即：模是偶函數(shù)，復(fù)角是奇函數(shù)例如：設(shè)輸入一個(gè)余弦型光強(qiáng)分布：而把Gg(u,v)代入，得：其頻譜為：對(duì)于確定的系統(tǒng)， HI (0,0)是常數(shù)，對(duì)強(qiáng)度分布無(wú)影

5、響，可略去。其中: H (0,0)=1，由于(u0,v0)是任意的，上式可寫(xiě)成一般形式，即：其中： 此式表明：余弦型強(qiáng)度分布經(jīng)過(guò)成像系統(tǒng)后，仍然是同頻率的余弦分布，只是振幅減小了，相位變化了，即： 還可以從條紋分布的襯比度（對(duì)比度、調(diào)制度）變化及相位變化來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)的成像特性。 理想幾何像的襯比度： 實(shí)際像的襯比度：從而得到：M(u,v): 調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF) 。襯比度的定義：襯比度變化：(u,v): 相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)產(chǎn)生的相移），若(u,v) =2，相當(dāng)于錯(cuò)開(kāi)一個(gè)條紋，相位變化：g(u,v): 理想像的相位分布，若(u,v) = ，相當(dāng)于錯(cuò)開(kāi)/2個(gè)條紋，一般情況下(u,v)不是一個(gè)常數(shù)，

6、與(u,v)有關(guān)。3.4.2 OTF與CTF的關(guān)系，即 H(u,v) 與 H(u,v) 的關(guān)系 此式說(shuō)明：OTF是CTF的自相關(guān)歸一化函數(shù)。 這一結(jié)論（或關(guān)系）對(duì)有像差系統(tǒng)和無(wú)像差系統(tǒng)（衍射受 限系統(tǒng)）都成立。因?yàn)樯?式是在 的基 礎(chǔ)上得出的；在此沒(méi)有涉及 的具體形式。 3.4.1, 3.4.2節(jié)的結(jié)論不僅對(duì)衍射受限系統(tǒng)成立, 而且對(duì)有像差系統(tǒng)也成立。對(duì)所有非相干光學(xué)成像系統(tǒng)都是適用的。 3.4.3 衍射受限非相干成像系統(tǒng)的OFT衍射受限系統(tǒng)相干成像的CTF為: 衍射受限系統(tǒng)非相干成像的OTF為:因?yàn)镻(di, di )是實(shí)函數(shù), 且只有0和1兩種取值, 所以P=P*,P2= P令 x=di,

7、 y=di ，得：分母是光瞳的總面積，設(shè)為S0。分子是經(jīng)過(guò)平移的中心在(-diu, -div)的光瞳與原光瞳的重疊面積，設(shè)為S(u,v)。令 x=di, y=di ，得：此式說(shuō)明，衍射受限非相干成像系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)自相關(guān)的歸一化函數(shù)。 OTF的幾何解釋?zhuān)?xyS0P(x+0, y+0)xyS(u,v)P(x+0, y+0)P(x+diu, y+div)diudiv 也可以這樣理解：系統(tǒng)的光瞳對(duì)不同的空間頻率成分(u,v)，其位置不同；對(duì)零頻成分為P(x,y)，中心位于軸上原點(diǎn)處，與實(shí)際光瞳重合，S(0,0)=S0, 顯然此時(shí)有H (u,v)=1；對(duì)于(u,v)不為零的成分，為P(x+di

8、u, y+div)，中心位于(-diu, -div)，與實(shí)際光瞳不重合，S(u,v)S0, 有H (u,v)1。 重疊面積取決于兩個(gè)錯(cuò)開(kāi)的光瞳的相對(duì)位置， 即：與頻率(u,v)有關(guān)。3) OTF是光瞳重疊面積的歸一化，即：對(duì)于具有規(guī)則簡(jiǎn)單幾何形狀的光瞳，可以用幾何方法直接求出歸一化重疊面積的表達(dá)式，從而求出其OTF。對(duì)于復(fù)雜的光瞳，一般可用計(jì)算機(jī)用數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算在一系列分立 頻率上的OTF。 從OTF的幾何解釋?zhuān)梢粤私釵TF(衍射受限非相干成 像)的一些性質(zhì)： 1) 由于衍射受限非相干成像限系統(tǒng)的H (u,v)是實(shí)的、非負(fù)函數(shù)，所以非相干照明衍射受限系統(tǒng)只改變各頻率余弦成分的對(duì)比度，而不改

9、變它們的相位，即：只需考慮MTF而不必考慮PTF。2) H (0,0)=1。當(dāng)u=v=0時(shí)，兩個(gè)光瞳完全重疊，歸一化重疊面積為1，這表明理論上系統(tǒng)的零頻成分無(wú)阻擋，無(wú)衰減，無(wú)相位變化，且襯比度無(wú)變化。但這并不意味著實(shí)際系統(tǒng)中物和像的背景光強(qiáng)相同，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)中，由于吸收、反射、散射及光欄擋光等原因，像面背景光強(qiáng)總要弱于物面背景光強(qiáng)，只是從襯比度考慮，物方、像方零頻成分的襯比度都為單位值，襯比度無(wú)變化，無(wú)衰減。 3） H (u,v) H (0,0)。錯(cuò)開(kāi)后的重疊面積小于完全重疊時(shí)的重疊面積，非零頻分量的襯比度一般都有所衰減。 4） 存在截止頻率。當(dāng)(u,v)足夠大，兩光瞳完全錯(cuò)開(kāi)，重疊面積為零，

10、此時(shí)H(u,v)=0。即在截止頻率以外的信息成分，其OTF為0，不能通過(guò)系統(tǒng)到達(dá)像面。 下面以?xún)煞N典型的光瞳為例，求其OTF 例3.4-1：衍射受限非相干成像系統(tǒng)的光瞳為邊長(zhǎng)為 l 的正方形，求其光學(xué)傳遞函數(shù)OTF。 解： l/2di|u| - l/2l - di |v| l -di |u| = l/2-(di |u| -l/2)其中：c 是相干照明時(shí)的截止頻率， 所以，非相干照明時(shí)的截止頻率，例3.4.2：衍射受限系統(tǒng)的出瞳是直徑為D的圓孔，求此系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)OTF。 解：由于是圓形光瞳，OTF應(yīng)該是圓對(duì)稱(chēng)的。只要沿u軸計(jì)算H(u,v)即可。如圖所示是在x軸方向移動(dòng)diu后交疊面積的情況。交疊面積是由兩個(gè)面積相等的弓形組成。交疊面積為： 其中：因?yàn)椋篠弓形=S扇形S三角形= D/22而 S(u,v)=2S弓形在截止頻率內(nèi)：截止頻率可由時(shí)，重疊面積為0，相干照明下，該系統(tǒng)的截止頻率為， 顯然OTF的截止頻率（即非相干照明下的截止頻率）是相干照明下的截止頻率的2倍，即 =2c。 對(duì)于光瞳為圓形的系統(tǒng)，H(u,v)可在極坐標(biāo)下表示為： 其中：3.4.3非相干線(xiàn)擴(kuò)散函數(shù)和邊緣擴(kuò)散函數(shù) 在非相干照明下，平行于y0軸的狹縫光源在像面上產(chǎn)生的線(xiàn)響應(yīng)稱(chēng)為非相干線(xiàn)擴(kuò)散函數(shù)。它與光學(xué)傳遞函數(shù)的關(guān)系是 它是OTF沿軸截面分布的一維傅里葉變換。雖然線(xiàn)擴(kuò)散函數(shù)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，在相干