函數(shù)展開成冪級數(shù) (2)講稿

1、關(guān)于函數(shù)展開成冪級數(shù) (2)第一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 若冪級數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù)；且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同，即收斂域1.冪級數(shù)和函數(shù)的分析運算性質(zhì):復(fù)習(xí)第二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 求部分和式的極限二、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和逐項求導(dǎo)或求積分法 逐項求導(dǎo)或求積分對和式積分或求導(dǎo)難（在收斂區(qū)間內(nèi)）第三張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第五節(jié)本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù) 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 第九章 展開方法直接展開法間接展開法第四張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于20

2、22年6月則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)例如:第五張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)問題:1.如果能展開, 是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?第六張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)給定函數(shù)如果能找到一個冪級數(shù)，使得函數(shù)能展開成冪級數(shù)的定義:它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)例如

3、:無窮級數(shù)有限形式表示函數(shù)第七張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù) 其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項 .則在若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :1.回憶泰勒公式第八張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月為f (x) 的泰勒級數(shù) . 則稱待解決的問題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 2.泰勒級數(shù)定義:當(dāng)x0 = 0 時, 泰勒級數(shù) 又稱為麥克勞林級數(shù) . ？第九張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1 .各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)

4、的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:證明:設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內(nèi)具有3.泰勒級數(shù)的收斂定理:泰勒級數(shù)收斂于f(x)第十張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2.若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是惟一的 , 且證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .4.系數(shù)的惟一性定理:第十一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月說明：2)冪級數(shù)的展開式是唯一的.？問題:1.如果能展開, 是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?第十二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直

5、接展開法由泰勒級數(shù)理論可知, 第一步第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開0. 求第二步 寫出泰勒級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 則第十三張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù). 解: 其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足故( 在0與x 之間)故得級數(shù) 第十四張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例2. 將展開成 x 的冪級數(shù).解: 得級數(shù):其收斂半徑為 對任何有限數(shù) x , 其余項滿足第十五張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月常用函數(shù)的冪級數(shù)

6、展開式（要求牢記！）第十六張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 間接展開法根據(jù)唯一性, 利用已知的函數(shù)展開式, 通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導(dǎo), 逐項積分等方法,函數(shù)已知展開式的新函數(shù)轉(zhuǎn)化將所給函數(shù)展開成冪級數(shù). 例1. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解:把 x 換成, 得第十七張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月解思考：例2將展開成x的冪級數(shù).將-2x代入上式中x的位置，即得將展開成x的冪級數(shù).將展開成x的冪級數(shù).第十八張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月解例3將展開成x的冪級數(shù).第十九張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例4. 將展成解: 的冪級數(shù). 第二十張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例5解第二十一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例6. 將在x = 0處展為冪級數(shù).解:因此第二十二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例7.將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)解:x1 時, 此級數(shù)條件收斂,因此 第二十三張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月注意：把函數(shù)展開為冪級數(shù)的間接展開法實際上就是轉(zhuǎn)化函數(shù)展開式已知的新函數(shù)轉(zhuǎn)化經(jīng)驗：1)有理函數(shù)轉(zhuǎn)化2)指