函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第1頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一一、單調(diào)性的判別法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一定理1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一證應(yīng)用拉格朗日中值定理，得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例1解注意: 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)，共5

2、9頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一說(shuō)明：1.此定理只給出了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)的充分條件，而不是必要條件。2. 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在,不影響區(qū)間的單調(diào)性.只需用導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分定義區(qū)間，就能保證函數(shù)的各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào)，從而使函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。又例例如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一定義: 若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)方法:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，

3、5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例2解單調(diào)區(qū)間為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例3解單調(diào)區(qū)間為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例4證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例5證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例6證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

4、 證明第13頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明1利用單調(diào)性證：第14頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明2利用單調(diào)性證第15頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明3利用中值定理證第16頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明1利用單調(diào)性證列表x0_0+0第17頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明2利用中

5、值定理證由中值定理知 ，第18頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明3利用泰勒公式證第19頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一二、曲線的凹凸性問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分

6、，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第24頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一定理2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第26頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第27頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第28頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期

7、一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。第29頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例10解注意到,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第30頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一推論：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第31頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例11解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1)(2)第32頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一三、曲線的拐點(diǎn)及其求法1、定義注意: 拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線。2、拐點(diǎn)的求法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

8、第33頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第34頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例12解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第35頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一注意:例13解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第36頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求函數(shù) f (x) 的拐點(diǎn)的步驟：注意：例第37頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一定理5證明：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第38頁(yè)，共

9、59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例14解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第39頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一四、漸近線定義:1.鉛直漸近線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第40頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一例如有鉛直漸近線兩條:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第41頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第42頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機(jī)

10、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第43頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一證明：由漸近線的定義，有要使此時(shí)成立，必須機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第44頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一注意:例15解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第45頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第46頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第47頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一五、小結(jié)1. 單調(diào)性的判別（它是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)

11、用）.3. 應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.單調(diào)性2. 單調(diào)區(qū)間的求法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第48頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一曲線的彎曲方向凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);1 凹凸性的判定.2 拐點(diǎn)的求法.凹凸性及拐點(diǎn)漸近線的求法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第49頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一習(xí)題(3-4)P151 3 (2)(5) ; 4 (2)(3)(4) ; 8 (2)(4)(6) ; 9 (3) ; 11；12 ; 13 ; 作業(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第50頁(yè)，共59頁(yè)

12、，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一思考題1解答不能斷定.例但機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考題1第51頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，注意 可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第52頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一思考題2解答例機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考題2第53頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一思考題 3 解答機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考題3第54頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一思考與練習(xí)上則或的大小順序是 ( )提示: 利用單調(diào)增加 ,及B1. 設(shè)在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第55頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一 ; .2. 曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及 ;第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第56頁(yè)，共59頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)33分，星期一1.求證曲線 有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).證明：備