高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修2第四章圓與方程-化隱為顯圓形畢露教學(xué)設(shè)計

1、化隱為顯，圓形畢露教學(xué)設(shè)計大彎中學(xué) 王佼教材分析： 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是由人教A版必修二第四章復(fù)習(xí)參考題P144 B組第二題所擴(kuò)展的內(nèi)容，是對阿波羅尼斯圓的了解和認(rèn)識，既是對圓的定義性質(zhì)的知識鞏固，也是為以后學(xué)習(xí)解析幾何打下基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)是在解析幾何的學(xué)習(xí)中起到了承上啟下的作用。本節(jié)課是以書中的習(xí)題為例，介紹了阿波羅尼斯以及阿波羅尼斯圓，通過讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化背景，從而培養(yǎng)學(xué)生的興趣，引發(fā)對知識的渴望。再通過對隱圓的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到解析幾何為幾何圖形創(chuàng)造出的便捷，讓學(xué)生體會到用代數(shù)思想去解決幾何問題的解析數(shù)學(xué)思想，減少他們對解析幾何的恐懼。學(xué)情分析： 從學(xué)生現(xiàn)有的知識水平來看，在學(xué)習(xí)本

2、節(jié)課之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了軌跡方程的求法，以及圓的概念和方程，絕大部分同學(xué)已經(jīng)掌握了求軌跡方程的直接法、定義法和相關(guān)代入法，并理解了圓相關(guān)概念和性質(zhì)，也能比較熟練的對等式進(jìn)行化簡，找到軌跡所對應(yīng)的圖形。因此本節(jié)課教學(xué)要借助這些已有的知識，通過觀察、分析、類比、歸納幫助學(xué)生理解隱圓的概念；從能力的角度上來看，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的思考辨析的能力、計算的能力、數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力以及歸納總結(jié)的能力，在本次教學(xué)中，借助學(xué)生這些能力，引發(fā)學(xué)生思考，向?qū)W生提供探究的題目材料，培養(yǎng)學(xué)生自主探究，合作學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)表達(dá)能力。設(shè)計思想： 本節(jié)課是一道習(xí)題所引發(fā)的微專題課，是對圓的定義的延續(xù)引申，本節(jié)課我的設(shè)計理念是：以

3、問題為載體，學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，營造和諧積極的課堂氛圍，從而充分調(diào)到學(xué)生的積極性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。在學(xué)生經(jīng)歷了自主探究和歸納總結(jié)的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，滲透從特殊到一般，分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握知識的同時又能提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維品質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：了解阿波羅尼斯圓的文化背景，通過掌握阿波羅尼斯圓的應(yīng)用從而從圓的幾何意義出發(fā)理解隱圓的含義，理解用代數(shù)方法解決幾何問題，掌握將隱圓化為顯圓的應(yīng)用。過程與方法：通過具體例子引導(dǎo)學(xué)生自主探究，概括總結(jié)，讓學(xué)生體驗從特殊到一般，分類討論的數(shù)學(xué)方法過程，并滲透數(shù)形結(jié)合思想。情感態(tài)度與價值觀：通過對阿波羅尼

4、斯圓的文化背景下手，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生對知識的渴求愿望，并樹立科學(xué)的人生觀和價值觀。教學(xué)重點：阿波羅尼斯圓的性質(zhì)應(yīng)用及隱圓的應(yīng)用。教學(xué)難點：阿波羅尼斯圓的推導(dǎo)及隱圓的應(yīng)用。教學(xué)方法：自主探究、合作、啟發(fā)引導(dǎo)教學(xué)過程設(shè)計：（一）引入：人教A版必修二第四章復(fù)習(xí)參考題P144 B組第二題：已知點M（x,y）與兩個定點的距離的比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（考慮m=1和m1兩種情況）。【教師提問】：此題求軌跡方程用到的什么方法？它所化簡出的二元二次方程有何特點？需要如何討論？【學(xué)生探究】：說出此題求軌跡的方法，并分類討論出對應(yīng)圖形,用多媒體展示做題過程并講解?！緦W(xué)情預(yù)

5、設(shè)】：學(xué)生可能會說不出軌跡方法，教師引導(dǎo)，學(xué)生可能會由題意先去討論出m=1的情況，教師可以引導(dǎo)先求軌跡方程?！驹O(shè)計意圖】：以教材的習(xí)題為引入，說明問題源于課本，又高于課本，更使學(xué)生重視教材，重視基礎(chǔ)。以問題為引入，激發(fā)學(xué)生的好奇心，并做進(jìn)一步探究。 讓學(xué)生上臺展示答案并講解是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力?！窘處熖釂枴浚捍祟}中有隱藏的圓，它需要哪些條件呢？【學(xué)生總結(jié)】：兩定點A, B， 一動點P，滿足PAPB=m,當(dāng)m0且m1時，P點的軌跡是個圓?！驹O(shè)計意圖】：讓學(xué)生總結(jié)歸納，培養(yǎng)學(xué)生交流表達(dá)能力及總結(jié)歸納能力。（二）定理介紹：1、數(shù)學(xué)理論：“阿波羅尼斯圓”：在平面上給定兩點A, B， 設(shè)P點在同一平

6、面上且滿足PAPB=,當(dāng)0且1時，P點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓。（=1時P點的軌跡是線段AB的中垂線）【師生互動】用幾何白板展示動點P的軌跡。【設(shè)計意圖】讓學(xué)生更明確阿波羅尼斯圓的條件及結(jié)論，通過直觀教學(xué)使學(xué)生更易理解掌握。2、人物介紹：阿波羅尼斯古希臘數(shù)學(xué)家。與歐幾里得、阿基米德齊名。圓錐曲線論是一部經(jīng)典巨著，它可以說是代表了希臘幾何的最高水平，自此以后，希臘幾何便沒有實質(zhì)性的進(jìn)步。直到17世紀(jì)的B.帕斯卡和R.笛卡兒才有新的突破 。此書集前人之大成，且提出很多新的性質(zhì)。他推廣了梅內(nèi)克繆斯（公元前4 世紀(jì)，最早系統(tǒng)研究圓錐曲線的希臘數(shù)學(xué)家）的方法，證明三種圓錐曲線都可以由同一個圓錐體

7、截取而得，并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱。書中已有坐標(biāo)制思想。他以圓錐體底面直徑作為橫坐標(biāo)，過頂點的垂線作為縱坐標(biāo)，這給后世坐標(biāo)幾何的建立以很大的啟發(fā)。 【設(shè)計意圖】：通過對阿波羅尼斯人物的介紹，滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生了解解析幾何起源背景，培養(yǎng)學(xué)生的對數(shù)學(xué)知識的興趣。（三）阿波羅尼斯圓的應(yīng)用：已知AB=2，AC=BC，求C的軌跡方程?！窘處熖釂枴浚耗阕龃祟}的第一步是什么？【學(xué)生探究】：建立直角坐標(biāo)系?！緦W(xué)生1】以A為原點；【學(xué)生2】以AB中點為原點【教師提問】：哪種建系方式更好？為什么？【學(xué)生探究】：以AB中點為原點的方法，由于對稱和計算簡便?！驹O(shè)計意圖】：培養(yǎng)學(xué)生觀察思考的能力，多種

8、建系方式讓學(xué)生更能體會建系的對稱性帶來的方便，也更應(yīng)容納更多的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，體會解析幾何的中心思想。變式：（2023江蘇）滿足條件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面積的最大值?！窘處熖釂枴浚哼€有其他方法去求解嗎？【學(xué)生探究】：利用三角形的余弦定理找到ACB的余弦，再通過同角關(guān)系，得到sinACB，從而三角形面積用邊表示?！窘處熖釂枴浚耗姆N方法更簡便？【學(xué)生探究】：建系找軌跡的方法?！窘處熆偨Y(jié)】：將直角坐標(biāo)系植入到幾何圖形中用代數(shù)思想求解幾何問題，這種方法叫做解析法。【設(shè)計意圖】：此題看似是常規(guī)的解三角形，可以以一三角邊為自變量，建立函數(shù)關(guān)系求最值問題，但是問題會比較復(fù)雜，若將三

9、角形解析化，問題就簡化不少，這也滲透了學(xué)生的解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】：學(xué)生可能在用三角函數(shù)的方法求解此題有些困難，教師適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生對解三角形的知識的鞏固。（四）隱圓介紹：在高考數(shù)學(xué)試題中，我們經(jīng)?？梢钥吹桨⒉_尼斯圓的一般形式，阿波羅尼斯圓是一個重要的題根。那我們能發(fā)現(xiàn)阿波羅尼斯圓實質(zhì)上是隱藏著的圓，我們將這種隱藏在題目中的圓簡稱“隱圓”，那么除了阿波羅尼斯圓這種形式，你還能舉出其他的隱圓形式嗎？【設(shè)計意圖】：抬出隱圓含義，喚起學(xué)生對新知識的渴求。（五）隱圓的典型應(yīng)用：例2 已知動點P(x，y)在橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,16)1上，若點A的坐標(biāo)為(3,0)，

10、|eq o(AM,sup6()|1，且eq o(PM,sup6()eq o(AM,sup6()0，則|eq o(PM,sup6()|的最小值是_【教師提問】：A點與橢圓是什么關(guān)系？【學(xué)生探究】：A點是橢圓的焦點?！窘處熖釂枴浚簗eq o(AM,sup6()|1，那么M點的軌跡是什么？【學(xué)生探究】：M點軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓。【教師提問】：eq o(PM,sup6()eq o(AM,sup6()0怎么翻譯成幾何語言？如何在圖形中表現(xiàn)？【學(xué)生探究】：PM是圓的切線?！窘處熖釂枴浚呵芯€長如何求解？【學(xué)生探究】：切線長放進(jìn)直角三角形的勾股定理中，切線長的最小值轉(zhuǎn)化求橢圓上的點到焦點的距離的最小

11、值?！緦W(xué)生總結(jié)】：此題的化隱為顯是用到的圓的定義?！驹O(shè)計意圖】：以圓的定義化為顯圓，讓學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境，更容易讓學(xué)生掌握化隱為顯的方法?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能在PM是圓的切線中轉(zhuǎn)化有困難，可用提問的形式，比如什么線垂直于半徑這樣的問題來引導(dǎo)學(xué)生。變式1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：xy4x0及點A(1,0)，B(1,2)在圓C上是否存在點P，使得PAPB12？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，請說明理由【教師提問】：P點軌跡是什么？【學(xué)生探究】：圓?！窘處熖釂枴浚耗闶窃趺磳⑦@個隱圓化成顯圓的呢？【學(xué)生探究】：設(shè)點P（x，y），用直接法代入式子PAPB12，得到P點軌跡是x

12、 2(y1)24。【教師提問】：那P點怎么翻譯成幾何語言？如何求P的個數(shù)？【學(xué)生探究】：P點表示為兩圓的交點，所以找兩圓的位置關(guān)系，圓心距（0，4），兩圓相交，則P點有兩個?！緦W(xué)生總結(jié)】：此題的化隱為顯是用到的PA2+PB2=m?！驹O(shè)計意圖】：以PA2+PB2=m化為顯圓，讓學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境，更容易讓學(xué)生掌握化隱為顯的方法?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生在找P點軌跡上會存在問題，可以在做題思考前先問學(xué)生P點軌跡是什么呢。變式2 已知圓O的方程是A(1,3),B(3,1),若在圓O上存在點P，使，則實數(shù)m的取值范圍為_【教師提問】：P點軌跡是什么？【學(xué)生探究】：圓。【教師提問】：你是怎么將這

13、個隱圓化成顯圓的呢？【學(xué)生探究】：PAPB=0，P點是以AB為直徑的圓。【教師提問】：那P點怎么翻譯成幾何語言？ 【學(xué)生探究】：P點表示為兩圓的公共點，問題轉(zhuǎn)化為兩圓之間相交或相切問題?！緦W(xué)生總結(jié)】：此題的化隱為顯是用到的PAPB=0【設(shè)計意圖】：以PAPB=0化為顯圓，讓學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境，更容易讓學(xué)生掌握化隱為顯的方法?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】直徑圓的求法可用幾何方式，也可用求軌跡的直接法求解，可以多問學(xué)生用的什么方法，容納多種方法求解。（六）小結(jié)：隱圓變顯圓常見的有以下策略：隱圓變顯圓常見的有以下策略：策略一利用_(到定點的距離等于定長的點的軌跡)確定隱圓；策略二兩定點A，B，動點 P 滿足APBP(0，1)確定隱圓(_圓)策略三動點P對兩定點 A，B的張角是_(kPAkPB_或eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()_)確定隱圓；策略四兩定點A，B，動點 P 滿足PA2PB2是_確定隱圓；策略五兩定點A，B，動點 P 滿足eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()確定隱圓；來【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生大膽回答，老師及時給與點評和歸納，并用多媒體展示出來，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有系統(tǒng)認(rèn)識。（七）課后思考：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A-12,0,B(0,6)，點P在圓O：xy50上，若PAPB20，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_【設(shè)計意圖】：利用