高中數(shù)學(xué)人教B版高中必修2第六章平面向量初步-平面向量的概念及線性運(yùn)算(基礎(chǔ))-教案

1、學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：高一 課 時(shí) 數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師： 鄧云貴授課主題第07講-平面向量的概念及線性運(yùn)算授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)了解向量、向量的相等、共線向量等概念；掌握向量、向量的相等、共線向量等概念； = 3 * GB3 熟練掌握向量的線性運(yùn)算法則：加法法則，減法法則，數(shù)乘法則。授課日期及時(shí)段T（Textbook-Based）同步課堂知識(shí)梳理 *創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入如圖71所示，用100N的力，按照不同的方向拉一輛車，效果一樣嗎？ 圖71平面向量的概念： 1、平面向量：在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、時(shí)間、

2、溫度、面積、密度等既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等aAB圖72平面上帶有指向的線段（有向線段）叫做平面向量，線段的指向就是向量的方向，線段的長(zhǎng)度表示向量的大小如圖7-2所示，有向線段的起點(diǎn)叫做平面向量的起點(diǎn)，有向線段的終點(diǎn)叫做平面向量的終點(diǎn)以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作也可以使用小寫英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫時(shí)應(yīng)在字母上面加箭頭，記作 2、向量的模長(zhǎng)：向量的大小叫做向量的模向量a, 的模依次記作，3、零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的4、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向

3、量又稱為共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0與任一向量平行6、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量7、相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量平面向量的基本運(yùn)算：一般地，ab叫做a, b的一個(gè)線性組合（其中,均為系數(shù)）如果l a b，則稱l可以用a，b線性表示 向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算都叫做向量的線性運(yùn)算三角形法則： 位移叫做位移與位移的和，記作=+圖73ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點(diǎn)A(如圖73)，依次作=a, =b，則向量叫做向量a與向量b的和，記作ab ，即 ab = （71

4、）求向量的和的運(yùn)算叫做向量的加法上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則 2、平行四邊形法則：如圖74所示， ABCD為平行四邊形，由于=，根據(jù)三角形法則得圖74ADCB=這說明，在平行四邊形ABCD中， 所表示的向量就是與的和這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗(yàn)證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：（1）a0 = 0a = a； a（a）= 0；（2）ab=ba； （3）（ab） c = a （bc） 3、平面向量減法法則：與數(shù)的運(yùn)算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差即a b = a(b)設(shè)a，b ，則即 = （72）觀察圖

5、75可以得到：起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量a、 b，其差ab仍然是一個(gè)向量，叫做a與b的差向量，其起點(diǎn)是減向量b的終點(diǎn)，終點(diǎn)是被減向量a的終點(diǎn)aAa-bBbO圖75一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的模為 （73）若0，則當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同，當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反由上面定義可以得到，對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)時(shí)，有 （74）一般地，有 0a= 0, 0 = 0 數(shù)與向量的乘法運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，容易驗(yàn)證，對(duì)于任意向量a, b及任意實(shí)數(shù)，向量數(shù)乘運(yùn)算滿足如下的法則： 典例分析 考點(diǎn)一：平面向量的基本概念例1、給出下列六個(gè)命題： 兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； 若

6、|a|b|，則ab； 若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形； 在ABCD中，一定有eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()； 若mn，np，則mp； 若ab，bc，則ac.其中錯(cuò)誤的命題有_(填序號(hào))【解析】?jī)上蛄科瘘c(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故不正確；|a|b|，由于a與b方向不確定，所以a、b不一定相等，故不正確；eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，可能有A、B、C、D在一條直線上的情況，所以不正確；零向量與任一向量平行，故ab，bc時(shí)，若b0，則a與

7、c不一定平行，故不正確故答案為；例2、在平行四邊形ABCD中（圖75），O為對(duì)角線交點(diǎn)ADCB圖75O（1）找出與向量相等的向量；（2）找出向量的負(fù)向量；（3）找出與向量平行的向量【解析】要結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析兩個(gè)向量相等，它們必須是方向相同，模相等；兩個(gè)向量互為負(fù)向量，它們必須是方向相反，模相等；兩個(gè)平行向量的方向相同或相反解： 由平行四邊形的性質(zhì)，得（1）=；（2）=,；（3）ABDCF1F2k圖711BbOaAba（1）（2）圖714圖716ab,b a，因?yàn)镺分別為AC，BD的中點(diǎn)，所以 （ab）ab， （b a）a+b例5、平行四邊形OADB的對(duì)角線交點(diǎn)為C，eq o(BM,

8、sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，eq o(CN,sup6()eq f(1,3)eq o(CD,sup6()，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，用a、b表示eq o(OM,sup6()、eq o(ON,sup6()、eq o(MN,sup6().【解析】eq o(BA,sup6()ab，eq o(BM,sup6()eq f(1,6)eq o(BA,sup6()eq f(1,6)aeq f(1,6)b，eq o(OM,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BM,sup6()eq f(1,6)aeq f(5,6) o(OD,sup

9、6()ab，eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(CN,sup6()eq f(1,2)eq o(OD,sup6()eq f(1,6)eq o(OD,sup6()eq f(2,3)eq o(OD,sup6()eq f(2,3)aeq f(2,3) o(MN,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(OM,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,6)b.考點(diǎn)三：共線向量例1、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(1) 若eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2) 試確

10、定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線【解析】(1) 證明： eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)， eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2a8b3(ab)5(ab)5eq o(AB,sup6(). eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()共線又它們有公共點(diǎn)B， A、B、D三點(diǎn)共線(2) 解： kab與akb共線， 存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a、b是兩不共線的非零向量， kk10. k210. k1.例2、已知a、b是不共線的向量，eq

11、 o(AB,sup6()ab，eq o(AC,sup6()ab(、R)，當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)、滿足的條件為_【解析】由eq o(AB,sup6()ab，eq o(AC,sup6()ab(、R)及A、B、C三點(diǎn)共線得eq o(AB,sup6()teq o(AC,sup6()，所以abt(ab)tatb，即可得eq blc(avs4alco1(t，,1t，)所以1.考點(diǎn)四：向量共線的應(yīng)用例1、如圖所示，設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OB,sup6()，則AOB與AOC的面積之比為_【解析】如圖所示，設(shè)M是AC的中點(diǎn)，則eq o(OA,

12、sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OM,sup6().又eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()2eq o(OB,sup6()， eq o(OM,sup6()eq o(OB,sup6()，即O是BM的中點(diǎn)， SAOBSAOMeq f(1,2)SAOC，即eq f(SAOB,SAOC)eq f(1,2).例2、如圖，ABC中，在AC上取一點(diǎn)N，使ANeq f(1,3)AC；在AB上取一點(diǎn)M，使得AMeq f(1,3)AB；在BN的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使得NPeq f(1,2)BN；在CM的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使得eq o(MQ,sup6()eq o(CM,sup6()時(shí)

13、，eq o(AP,sup6()eq o(QA,sup6()，試確定的值【解析】eq o(AP,sup6()eq o(NP,sup6()eq o(NA,sup6()eq f(1,2)(eq o(BN,sup6()eq o(CN,sup6()eq f(1,2)(eq o(BN,sup6()eq o(CN,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()，eq o(QA,sup6()eq o(MA,sup6()eq o(MQ,sup6()eq f(1,2)eq o(BM,sup6()eq o(MC,sup6()，又eq o(AP,sup6()eq o(QA,sup6()，eq f(1,2)

14、eq o(BM,sup6()eq o(MC,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()，即eq o(MC,sup6()eq f(1,2)eq o(MC,sup6()，eq f(1,2).P(Practice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練 課堂狙擊1在下列判斷中，正確的是()長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；單位向量的長(zhǎng)度都相等；單位向量都是同方向；任意向量與零向量都共線ABCD【解析】由定義知正確，由于兩個(gè)零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個(gè)具體方向，故不正確顯然，、正確，不正確，所以答案是D.2向量(eq o(AB,sup6()eq o(

15、MB,sup6()(eq o(BO,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OM,sup6()等于()Aeq o(BC,sup6()Beq o(AB,sup6()Ceq o(AC,sup6()Deq o(AM,sup6()【解析】原式eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(AC,sup6()0eq o(AC,sup6()；故選C。3若a、b為非零向量，則下列說法中不正確的是()A若向量a與b方向相反，且|a|b|，則向量ab與a的方向相同B若向量a與b方向相反，且|a|b|，

16、則向量ab與a的方向相同C若向量a與b方向相同，則向量ab與a的方向相同D若向量a與b方向相同，則向量ab與b的方向相同【解析】a與b方向相反，且|a|b|時(shí)，ab與a的方向相反，ab與b的方向相同，故B不正確4已知下列各式：eq o(AM,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BA,sup6()；eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()；eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(CO,sup6().其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3【解析】eq o

17、(AM,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BA,sup6()0，eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CA,sup6()0，eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(CO,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(BO,sup6()，故選C.5等腰梯形ABCD兩腰上的向量eq o(AB,sup6()與eq o(DC,sup6()的關(guān)系是_【解析】由等腰梯

18、形可知，兩腰長(zhǎng)度相等，故兩腰上的向量eq o(AB,sup6()與eq o(DC,sup6()滿足|eq o(AB,sup6()|eq o(DC,sup6()|.6如圖所示，已知梯形ABCD，ADBC，則eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()_.【解析】eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6().7如圖所示，O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形在圖中所示的向量中：(1)分別寫出eq o(AO,s

19、up6()，eq o(BO,sup6()相等的向量；(2)寫出與eq o(AO,sup6()共線的向量；(3)寫出與eq o(AO,sup6()的模相等的向量；(4)向量eq o(AO,sup6()與eq o(CO,sup6()是否相等？【解析】(1)eq o(AO,sup6()eq o(BF,sup6()，eq o(BO,sup6()eq o(AE,sup6().(2)與eq o(AO,sup6()共線的向量為：eq o(BF,sup6()，eq o(CO,sup6()，eq o(DE,sup6().(3)|eq o(AO,sup6()|eq o(CO,sup6()|eq o(DO,sup6

20、()|eq o(BO,sup6()|eq o(BF,sup6()|eq o(CF,sup6()|eq o(AE,sup6()|eq o(DE,sup6()|.(4)不相等8梯形ABCD中，ABCD，AB=2CD，M、N分別是CD和AB的中點(diǎn)，若=a，=b，試用a、b表示和，則=_，=_.【解析】解法一：連結(jié)CN，N為AB的中點(diǎn).ANCD，且AN=CD，ANCD為平行四邊形，有=b.又由于=0，=ba，=ab.解法二：梯形ABCD中，有=0，即有a（a）（b）=0，可得=ba.在四邊形ADMN中，有=0，即有ba（a）=0，可得=ab. 答案：baab課后反擊1把平面上一切單位向量平移到共同始點(diǎn)

21、，那么這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是()A一條線段B一段圓弧C兩個(gè)孤立的點(diǎn)D一個(gè)圓【解析】圖形是一個(gè)以始點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓故選D。2把所有相等的向量平移到同一起點(diǎn)后，這些向量的終點(diǎn)將落在()A同一個(gè)圓上B同一個(gè)點(diǎn)上C同一條直線上D以上都有可能【解析】由相等向量的定義知B正確3有下列說法：時(shí)間、摩擦力、重力都是向量；向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；相等向量一定是平行向量；共線向量一定在同一直線上其中，正確說法的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D3【解析】對(duì)于，時(shí)間沒有方向，不是向量，故錯(cuò)；對(duì)于，零向量的模為0，故錯(cuò)；正確；對(duì)于，共線向量不一定在同一直線上，故錯(cuò)故選B。4下列說法錯(cuò)誤的是()A作用力與反作用力是一對(duì)

22、大小相等、方向相反的向量B向量可以用有向線段表示，但有向線段并不是向量C只有零向量的模等于0D零向量沒有方向【解析】零向量的方向是任意的，故選項(xiàng)D說法錯(cuò)誤5如圖所示，圓O上有三點(diǎn)A、B、C，則向量eq o(BO,sup6()、eq o(OC,sup6()、eq o(OA,sup6()是()A有相同起點(diǎn)的相等向量 B單位向量C模相等的向量 D相等的向量【解析】模都等于半徑，但方向不同故選C。6a、b、ab為非零向量，且ab平分a與b的夾角，則()AabBabC|a|b|D以上都不對(duì)【解析】由向量加法的平行四邊形法則知，若ab平分a與b的夾角，則四邊形是菱形，因此|a|b|.故選C。7ABC中，D

23、、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是()Aeq o(AE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(FA,sup6()Beq o(DE,sup6()eq o(AF,sup6()0Ceq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0Deq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()0【解析】eq o(AE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()，又eq o(DE,sup6()eq o(FA,sup6()，故排除A；eq o(DE,sup6()eq o(AF,sup6

24、()，故eq o(DE,sup6()eq o(AF,sup6()0，排除B；eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0，排除C；故選D.8在四邊形ABCD中，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，則四邊形ABCD一定是()A矩形B菱形C正方形D平行四邊形【解析】在四邊形ABCD中，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，又eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()，四邊形ABCD是平行四邊形故選D。9某人從A點(diǎn)出發(fā)，向東走到B點(diǎn)，然后，再向正北方向走了60m到達(dá)C點(diǎn)已知|eq o(AC,sup6()|120m，求eq o(AC,sup6()的方向和A、B的距離【解析】依題意，在RtABC中，BAC30，|e