理論課-數(shù)量2高照筆記

1、理論課-數(shù)量 2（筆記）第四節(jié)數(shù)列、平均數(shù)一、等差數(shù)列例 1（2014 山東）某舉辦圍棋聯(lián)賽，所有選手的都沒(méi)有出現(xiàn)并列名次。小周發(fā)現(xiàn)除自己以外，其他所有人數(shù)字之和正好是70。問(wèn)小周第幾？（）1【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列：通項(xiàng)公式：an=a1+（n-1）d。例：a1、a2、a3、a4、a5an 依次為 1、3、5、7、9an，d 是公差，相鄰兩項(xiàng)相差 2，a4=a1+（4-1）d=a1+3d，a4 與 a1 差 3 個(gè)格，推知 an 與 a1 差 n-1 個(gè)格。極差公式：（1）an-am=（n-m）d。推導(dǎo)：an=a1+（n-1）d，am=a1+（m-1）d，-得：an-am=（n-m）d，即極差公式，

2、第 n 項(xiàng)與第 m 項(xiàng)相差 n-m 個(gè)格，例：a3、a4、a5 的公差為 d，a3 與 a5 相差 2 個(gè)格，則 a5-a3=2d。（2）an=am+（n-m）d，給 a4 求 a7，此時(shí) a7=a4+3d。 3.求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位數(shù)*n=平均數(shù)*n。（1）a1、a2、a3、a4、a5 依次為 1、3、5、7、9，S5=（1+9）/2*n=5*n=a3*n， a3 不僅是中位數(shù)，而且是平均數(shù)。（2）a1、a2、a3、a4、a5、a6 依次為 1、3、5、7、9、11，S6=（a1+a6）/2*6=（1+11）/2*n=a3.5*n=6*n。4.中位數(shù)的求法：奇數(shù)項(xiàng)取中

3、間項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)沒(méi)有中間項(xiàng)，取中間兩項(xiàng)的中間數(shù)為中位數(shù)。例：1、2、3、4、5 共五項(xiàng)，中位數(shù)是 a（1+5）/2=a3。S22 的中位數(shù)是 a（1+22）/2=a23/2=a11.5。S17 的中位數(shù)是 a（1+17）/2=a9。S37 的中位數(shù)是a19。A.7B.8C.9D.10【】例 1.山東近五年中，連續(xù)三年考查等差數(shù)列。特點(diǎn)：前四名是連續(xù)的自然數(shù)，即等差數(shù)列，設(shè)有 n 名選手，所有的和為：1+2+3+n=70+小周，先找好算的奇數(shù)項(xiàng)，S9=（1+9）/2*9=5*9=45，偏小，到不了 70；S11=6*11=66，偏小，到不了 70 ； S12=S11+12=66+12=78 ，說(shuō)明小

4、周是第 8 名， 存在。S13=78+13=91=70+21，小周第 21 名，總共 13 人，與題意。【選 B】例 2（2014 政法干警）10 個(gè)連續(xù)偶數(shù)之和為 2030，則第一個(gè)偶數(shù)為（）。A.190B.192C.194D.196【】例2.“連續(xù)偶數(shù)”是等差數(shù)列，d=2，S10=a5.5*10=2030，a5.5=203，介于 a5、a6 之間，由于 10 個(gè)數(shù)是連續(xù)的偶數(shù)，則 a5=202，a6=204，問(wèn) a1，可以往前推導(dǎo)或枚舉。方法一：推導(dǎo)。a5=a1+4d，202=a1+8，a1=202-8=194。方法二：枚舉。a4=200，a3=198，a2=196，a1=194。【選 C

5、】【注意】公式和枚舉均可以，項(xiàng)數(shù)多時(shí)不建議枚舉。例：給 a25，求 a1，此時(shí)無(wú)法枚舉，a25=a1+24d。例 3（2017 聯(lián)考）有一根 9 節(jié)的竹子，其任意節(jié)與相鄰節(jié)的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，上面 4 節(jié)的長(zhǎng)度共 3 尺，下面 3 節(jié)的長(zhǎng)度共 4 尺，則從上到下第 6 節(jié)的長(zhǎng)度為多少尺？（）A.66/65B.65/66C.33/37D.37/33【】例 3.明確說(shuō)明了數(shù)列是等差數(shù)列，假設(shè) 9 節(jié)竹子的長(zhǎng)度分別為 a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、a9。方法一：上面 4 節(jié)為：a1+a2+a3+a4=3，下面三節(jié)為 a7+a8+a9=4，無(wú)法湊出a6，化簡(jiǎn)為：4a1+6d=3，化簡(jiǎn)為

6、：3a1+21d=4，a6=a1+5d，-得：a1-15d=-1 ， a6=a1+5d=a1-15d+20d=-1+20d ， *3- *4 得： d=7/66 ， 故 而 ： a6=-21+20*7/66=37/33。方法二：前四項(xiàng)相加為 3，后面三項(xiàng)相加為 4，說(shuō)明前面的數(shù)小，后面的數(shù)大，極差公式：an=am+（n-m）d，要求 a6，a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，a1=a6-5d，a2=a6-4d，a3=a6-3d，a4=a6-2d，a7=a6+d，a8=a6+2d，a9=a6+3d，代回得：4a6-14d=3，代回得：3a6+4d+6d=4，聯(lián)立可以解出 a6?！具x

7、 D】例 4（2017 事業(yè)）9 個(gè)人參加知識(shí)競(jìng)賽，前五名和后五名平均分相差 16分，除第五名外其余 8 人的分?jǐn)?shù)成等差數(shù)列。問(wèn)前兩名的分差為多少？（）A.1B.2C.4D.5【】例 4.設(shè) 9 個(gè)人的分?jǐn)?shù)從小到大排列為 a1、a2、a3、a4、q、a5、a6、a7、a8，例：我比你多 30 斤，即你和我相差 30 斤。前五名的平均分比后五名少16分，代表：（q+a5+a6+a7+a8）/5-（a1+a2+a3+a4+q）/5=16，分母相同，：q+a5+a6+a7+a8-a1-a2-a3-a4-q=16*5，不要算，a5 和 a1、a6 和 a2、a7 和 a3、a8 和 a4 的為 4d，

8、消掉 q：4d+4d+4d+4d=16*5，16d=16*5，解得 d=5?！具x D】【注意】本題計(jì)算量幾乎為 0，最?？技s分，考慮 a5 和 a1、a6 和 a2、a7 和 a3、a8 和 a4 的關(guān)系，即均相差 4d，充分體現(xiàn)了極差公式的運(yùn)用，即 an-am=（n-m）d?！緟R總】1-4：BCDD二、平均數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】溶液?jiǎn)栴}在近三年山東省只有 2014 年考過(guò)，利用線(xiàn)段法回顧溶液?jiǎn)栴}。3【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)：總數(shù)=平均數(shù)*人數(shù)。平均數(shù)=總數(shù)/人數(shù)?；旌掀骄鶖?shù)（常考）。1.溶液?jiǎn)栴}：濃度=溶質(zhì)/溶液。把糖放在水中，溶質(zhì)是糖，溶液是糖+水，這里常常有坑。例：把 36g 糖放入 100g 水中，濃度

9、=36/136 而非 36/100。2.線(xiàn)段法：（1）推導(dǎo)：濃度為 13%的溶液 A 克與濃度為 23%的溶液 B 克,混合后的濃度為 17%。答：13%A+23%B=（A+B）*17%，把 A、B 各自放在一起，得：（23%-17%）*B=（17%-13%）*A，23%-17%、17%-13%均是濃度的差值，即距離，對(duì)應(yīng)：距離1*量1=距離 2*量 2，距離和量的乘積相等，說(shuō)明距離和量成反比。混合之前寫(xiě)兩邊（13%，23%），混合之后的濃度一定介于 13%和 23%之間，寫(xiě)中間為 17%，距離之比為 4%：6%=2：3，量之比為 3：2。（2）距離和量成反比。距離：和混合后的距離差。（3）線(xiàn)

10、段法口訣：混合之前寫(xiě)兩邊，混合之后寫(xiě)中間。距離和量成反比。練習(xí) 2.濃度為 13%的溶液 200 克與濃度為 23%的溶液 B 克,混合后的濃度為15%。答：混合之前寫(xiě)兩邊（13%，23%），混合之后寫(xiě)中間為 15%，距離之比為 2%：8%=1：4，量之比為 4：1，4 份對(duì)應(yīng) 200g，則 Bg=1 份=50g。4練習(xí) 3.濃度為 13%的溶液 200 克與濃度為 23%的溶液 300 克,混合后的濃度為？%。答：混合之前寫(xiě)兩邊（13%，23%），混合之后寫(xiě)中間為？，距離未知，量之比為 200：300=2：3，距離之比為 3：2，總共 5 份，距離=23%-13%=10%=5 份，1份為 2

11、%，3 份為 6%，2 份為 4%，混合后濃度=13%+6%=23%-4%=19%。練習(xí) 4.濃度為 13%的溶液 A 克與濃度為 23%的溶液 400 克,混合后的濃度為21%。答：混合之前寫(xiě)兩邊（13%，23%），混合之后寫(xiě)中間為 21%，距離之比為 8%：2%=4：1，量之比為 1：4，1 份對(duì)應(yīng) 100g，4 份對(duì)應(yīng) 400g。5例：男生平均體重 150 斤，平均體重 100 斤，全班平均體重 120 斤，距離之比為 20：30=2：3，量（人數(shù)）之比為 3：2。注意（10 星重點(diǎn)）：平均數(shù)混合，量指的是人數(shù)。例 1（2013 山東）某共有職工 72 人，年底考核平均分?jǐn)?shù)為 85 分，

12、根據(jù)考核分?jǐn)?shù)，90 分以上的職工優(yōu)秀職工，已知優(yōu)秀職工的平均分?jǐn)?shù)為 92 分，其他職工的平均分?jǐn)?shù)是 80 分，問(wèn)優(yōu)秀職工的人數(shù)是多少？（）A.12B.24C.30D.42【】例 1.混合平均數(shù)問(wèn)題，優(yōu)秀的人數(shù)和其他的人數(shù)混合為所有人，混合之前寫(xiě)兩邊（其他 80 分，優(yōu)秀 92 分），混合之后（所有人）寫(xiě)中間為 85 分，距離之比為 5：7，量之比為 7：5，即：其他/優(yōu)秀=7/5，優(yōu)秀的人數(shù)是 5 的倍數(shù)，對(duì)應(yīng) C 項(xiàng)，其他的人數(shù)是 7 的倍數(shù)，總?cè)藬?shù)是 12 的倍數(shù)?！具x C】6例 2（2016 廣州）某為全體員工進(jìn)行體檢，平均體重是 57.5 公斤。其中，男員工的平均體重是 62.5 公斤

13、，女員工的平均體重是 55.5 公斤。則該的男、女員工人數(shù)比為（）。A.2：5B.2：7C.7：2D.5：2【】例 2.混合平均數(shù)問(wèn)題，考慮線(xiàn)段法。混合之前寫(xiě)兩邊（女 55.5，男 62.5），混合之后寫(xiě)中間為 57.5，量之比為女：男=5：2，男：女=2：5?！具xA】例 3（2017 聯(lián)考）甲、乙兩隊(duì)舉行智力搶答比賽，兩隊(duì)平均得分為 92 分，其中甲隊(duì)平均得分為 88 分，乙隊(duì)平均得分為 94 分，則甲、乙兩隊(duì)人數(shù)之和可能是（）。A.20B.21C.23D.25【】例 3.混合平均數(shù)問(wèn)題用線(xiàn)段法，混合之前寫(xiě)兩邊（88，94），混合之后寫(xiě)中間為 92，距離之比為 4：2=2：1，量之比為 1：

14、2，說(shuō)明：甲/乙=1/2，問(wèn)的是甲乙兩隊(duì)總和，總和為 3 的倍數(shù)，對(duì)應(yīng) B 項(xiàng)?！具x B】【匯總】1-3：CAB7第五節(jié)周期、日期、問(wèn)題8【知識(shí)點(diǎn)】周期日期問(wèn)題：周期余數(shù)、周期相遇、日期推斷。是山東?？嫉闹R(shí)點(diǎn)。周期余數(shù)：例：1、2、3、1、2、3、1、2、3、。問(wèn)第 100 個(gè)數(shù)是多少？答：找規(guī)律，3 個(gè)為一組，說(shuō)明 3 個(gè)數(shù)是一個(gè)周期，100/3=331，前面有 33 個(gè) 1、2、3，只看余數(shù)，說(shuō)明第 100 個(gè)數(shù)與第 1 個(gè)數(shù)相同，即 1。例：99/3=330，沒(méi)有余數(shù)，正好 33 個(gè)周期，第 99 個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)周期最后一個(gè)，即 3。周期相遇：再次相遇，利用最小公倍數(shù)。例：高照和兩個(gè)人，高照

15、每 3 天洗一次澡，每 5 天洗一次澡，假設(shè)兩人在某天相遇，問(wèn)再過(guò)多少天兩人再次相遇？答：找 3 和 5 的最小公倍數(shù)，即 15 天，再過(guò) 15 天兩人相遇，指的是過(guò)了這一天之后的第 15 天。日期推斷：年份分為平年和閏年。小學(xué)時(shí)學(xué)過(guò)閏年能被 4 整除，但不夠規(guī)范。一年為 365.24天，并非 4 年一周期。（1）判定：四年一閏，百年不閏，四百年再閏。例：1937 年，不能被 4 整除（看末兩位），是平年。2004 年能被 4 整除，不能被 100 整除，是閏年。1900 年能被 4 整除，且能被 100 整除，但不能被 400 整除，是平年。2000 年能被 4 整除，能被 100 整除，且

16、能被 400 整除，是閏年。注：1900 年考官未出生，一般最近的年份，最近的歷史中，不會(huì)出現(xiàn)9百年不閏的情況，可以按照小學(xué)學(xué)過(guò)的四年一閏來(lái)做題。月份有大 ： （31 天）：1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、臘月（12 月）。右手握拳后如下圖，1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月在山峰，是大月為 31 天；2 月、4 月、6 月、9 月、11 月在谷底，是 為 30 天，2 月除外。2 月特殊，平年的 2 月為 28 天，閏年的 2 月為 29 天， 考得是公歷，不會(huì)考查陰歷。例：今天是 2017 年 11 月 3 日 五。問(wèn) 2018 年 11 月 3

17、日、2019 年 11月 3 日、2020 年 11 月 3 日分別是幾？答：2017 年 11 月 3 日到 2018 年 11 月 3 日正好過(guò)了平年的一年（不經(jīng)過(guò)閏年的 2 月），365/7=521，過(guò) 52 周，依然是周五，余 1 天，再過(guò)一天為周六。2018 年 11 月 3 日到 2019 年 11 月 3 日過(guò)一個(gè)平年，過(guò) 521 天，為周日。2020 年 11 月 3 日，2020 年是閏年，經(jīng)過(guò)了該年的 2 月 29 日，過(guò) 366天，366/7=522，余 2 天，從周日再過(guò) 2 天為周二。結(jié)論：平年+1，閏年+2。過(guò) 31 天，相當(dāng)于過(guò) 1 個(gè)，31/7=43 天，過(guò) 4

18、 周不變，+3。過(guò) 30 天，30/7=42，+2。 結(jié)論：過(guò)+3，過(guò)+2。連續(xù)的 7 天必然有一個(gè)周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日。連續(xù)的 28 天顯然一定有 4 個(gè)周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日，牽扯到月份的考查。例 1（2016）文化廣場(chǎng)上從左到右一共有 5 面旗子，分別代表中國(guó)、德國(guó)、英國(guó)和韓國(guó)。如果將 5 面旗子從左到右分別記作 A、B、C、D、E，那么從中國(guó)的旗子開(kāi)始，按照 ABCDEDCBABCDEDCBA的順序數(shù)，數(shù)到第 313 個(gè)字母時(shí)，是代表（）的旗子。A.英國(guó)B.德國(guó)C.中國(guó)D.韓國(guó)【】例 1.方法一：看選項(xiàng)，直接選中國(guó)，這種做法正確率最高，沒(méi)時(shí)間的情況

19、下要選項(xiàng)蒙，不要隨意蒙。方法二：找規(guī)律，8 個(gè)為一個(gè)周期，對(duì)應(yīng) ABCDEDCB，313/8=391，看余數(shù)，第 313 個(gè)即周期第一個(gè)，為中國(guó)?！具x C】【注意】你我他分 10 個(gè)桃子，3 個(gè)為一組，10/3=31，每人先分 3 個(gè)，余 1 個(gè)便給第一個(gè)人，說(shuō)明你分得的桃子最多。要想多，排在第一個(gè)。例 2（2016 國(guó)考）某新建小區(qū)計(jì)劃在小區(qū)主干道兩側(cè)種植銀杏樹(shù)和梧桐樹(shù)綠化環(huán)境，一側(cè)每隔 3 棵銀杏樹(shù)種 1 棵梧桐樹(shù)，另一側(cè)每隔 4 棵梧桐樹(shù)種 1 棵銀杏樹(shù)，最終兩側(cè)各種植了 35 棵樹(shù)，問(wèn)最多栽種了多少棵銀杏樹(shù)？（）A.33B.34C.36D.37【】例 2.“兩側(cè)各種”說(shuō)明每側(cè)種 35

20、棵，由“每隔 4 棵梧桐樹(shù)種 1 棵銀杏樹(shù)”，按一定順序排列，為周期問(wèn)題，銀杏用 Y 表示，梧桐用 W 表示，要想銀杏多，先種銀杏，一側(cè)：YYYWYYYW，4 個(gè)為一個(gè)周期，35/4=83，8 個(gè)周期，每個(gè)周期有3 棵銀杏，要想銀杏多，余下的3 棵均為銀杏，總共為：8*3+3=27。另一側(cè)：要想銀杏多，先種銀杏，YWWWWYWWWW，5 個(gè)為一個(gè)周期，35/5=70，每個(gè)周期只有 1 棵銀杏，共 7 棵。相加：27+7=34?！具x B】例 3（2015 河北）甲、乙、丙、丁每人隔不同的天數(shù)去房，甲 2 天去一次，乙 3 天去一次，丙 4 天去一次，丁 5 天去一次，上周日四人在房同日，下一次四

21、人同日去房是幾？（）10A.四B.五C.六D.日【】例 3.判定題型：“下一次四人同日去房”為再次相遇問(wèn)題，找公倍數(shù)：2、3、4、5 的最小公倍數(shù)為 60，再過(guò) 60 天才能再相遇，7 天為 1 個(gè)周期，60/7=84，再過(guò) 8 個(gè)依然是天，再加 4 天為四?！具x A】例 4（2016）三個(gè)學(xué)校的志愿隊(duì)分別去敬老院照顧老人，A 學(xué)校志愿隊(duì)每隔 7 天去一次，B 學(xué)校志愿隊(duì)每隔 9 天去一次，C 學(xué)校志愿隊(duì)每隔 14 天去一次，三個(gè)隊(duì)伍周三第一次同時(shí)去敬老院，問(wèn)下次同時(shí)去敬老院是？（）A.周三B.周四C.周五D.周六【】例 4.每隔 7 天代表每 8 天去一次，每隔 9 天代表每 10 天去一次

22、，每隔 14 天代表每 15 天去一次，周期分別為 8 天、10 天、15 天，此處是坑。短除法求 15、10、8 的最小公倍數(shù)，公約數(shù)為 5，余 3、2、8，2、8 公約數(shù)為 2，余 3 、1 、4 ， 把最外層的所有數(shù)相乘得到最小公倍數(shù)： 5*2*3*1*4=120 。120/7=171，再過(guò) 17 個(gè)周期依然是三，再過(guò) 1 天為周四。【選 B】【注意】短除法求最小公倍數(shù)。例：15 和 10，公約數(shù)為 5，余 3、2，此時(shí)沒(méi)有公約數(shù)，把最外層的所有數(shù)相乘即為最小公倍數(shù)：5*3*2=30。11例 5（2013 國(guó)考）根據(jù)部分節(jié)假日安排，某年 8 月份有22 個(gè)工作日，那么當(dāng)年的 8 月 1

23、日可能是（）。A.周一或周三B.周三或周日C.周一或周四D.周四或周日【】例 5.工作日指周一至周五，周周日休息。日期問(wèn)題，8 月有 31 天，31/7=43，有 4 個(gè)完整的，余 3 天。共 22 個(gè)工作日，則有 31-22=9 個(gè)休息日。4 個(gè)完整的有 4*2=8 個(gè)休息日，說(shuō)明最后 3 天有且只有 1 天休息，要么有周六無(wú)周日（周四、周五、周六），要么有周日無(wú)周六（周日、周一、周二），則每個(gè)周期以周四或周日開(kāi)頭，即 8 月 1 日可能是周四或周日。【選D】【匯總】1-5：CBABD例 6（2015 江蘇）某年的 3 月有 5 個(gè)一和 4 個(gè)二，則該年的節(jié)是（ ）。A.二B.三C.四D.五

24、【】例 6.日期推斷問(wèn)題，3 月有 31 天，31/7=43，4 個(gè)完整的有 4 個(gè)周一和 4 個(gè)周二，說(shuō)明最后 3 天有周一無(wú)周二，只能為周六、周日、周一，即 3 月 31 日為周一，如果題目問(wèn) 3 月 1 日，則為周六。節(jié)是 10 月 1日，3 月 31 日為周一，經(jīng)歷四月 30 天，五月 31 天，六月 30 天，七月 31 天，八月 31 天，九月 30 天，十月 1 天，共經(jīng)過(guò) 30*6+4=184 天，184/7=262，說(shuō)明過(guò) 26 個(gè)還是周一，再過(guò)兩天為周三?！具x B】【注意】1.如果問(wèn) 2018 年 2 月，則 2 月為 28 天；2020 年 2 月，12則 2 月為 29

25、 天。2.某年 2 月份有 5 個(gè)周一和 4 個(gè)周二，問(wèn)這年是平年還是閏年？答：2 月要么 28 天要么 29 天，28 天有 4 個(gè)周一和 4 個(gè)周二，還少 1 個(gè)周一，則最后一天為周一，因此這年為閏年?！局R(shí)點(diǎn)】問(wèn)題：1.差不變。2.每過(guò) N 年每人都長(zhǎng) N 歲。3.例：假設(shè)高照老師 10 歲時(shí)和 1 歲的定娃娃親，領(lǐng)結(jié)婚證是 22 歲，女性領(lǐng)結(jié)婚證為 20 歲。高照老師長(zhǎng) 12 歲，為 22 歲，女方長(zhǎng) 12 歲，為 13 歲，此時(shí)不能領(lǐng)證，要等女方長(zhǎng) 7 歲，到 20 歲才能領(lǐng)證，此時(shí)高照老師也長(zhǎng) 7 歲，為29 歲。兩人差一直為 9 歲。4.注意：不考，考出生。例 7（2017 吉林

26、）已知張先生的童年占去了他的 1/14，再過(guò)了 1/7 他進(jìn)入成年，又過(guò)了 1/6 他結(jié)婚了，婚后 3 年他的兒子出生了，兒子 7 歲時(shí)，他們的和為某個(gè)素?cái)?shù)的平方，則張先生結(jié)婚時(shí)的是（）。A.38 歲B.32 歲C.28 歲D.42 歲【】例 7.如果問(wèn)張先生此生的，根據(jù)“過(guò)了 1/14、過(guò)了 1/7、過(guò)了1/6”，則為 14、7、6 的倍數(shù)，可以為 42 或 84，126 不現(xiàn)實(shí)。本題問(wèn)結(jié)婚時(shí)的，考慮代入，設(shè)結(jié)婚為 x，x+3+7+7=素?cái)?shù)，素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)。代入 A 項(xiàng)：38+3+7+7=55，不是平方數(shù)，排除。代入 B 項(xiàng)：32+3+7+7=49=7，滿(mǎn)足條件?！具xB】例 8（2014）張先生

27、今年 70 歲，他有三個(gè)孫子。長(zhǎng)孫 20 歲，次孫 13歲，幼孫 7 歲。問(wèn)多少年后，三個(gè)孫子之和與祖父的相同？（）A.10B.15C.18D.2013【】例 8.“次”是“二”的意思，如高照老師在家，稱(chēng)為“次子”。假設(shè)過(guò) N 年，則 20+N+13+N+7+N=70+N，化簡(jiǎn)：40+3N=70+N，2N=30，解得N=15?！具x B】【注意】每過(guò) N 年，每人都長(zhǎng) N 歲。例 9（2015 河北）的比的大 3 歲，全家三口的總和為74 歲，9 年前這家人的總和為 49 歲，那么的今年多少歲？（）A.32B.33C.34D.35【】例 9.爸=媽+3，現(xiàn)在全家的和為 74 歲，9 年前全家的和

28、為 49 歲，74-49=25 歲，按理說(shuō)每人長(zhǎng) 9 歲，應(yīng)該差 9*3=27 歲，則說(shuō)明9 年前未出生，則 9 年前爸+媽=49，-，可知9 年前為 23 歲，9 年后為 23+9=32 歲。今年為 35 歲，今年為（74-35-32）歲?！具x A】例 10（2017 國(guó)考）出生于 20 世紀(jì) 70 年代，某年他發(fā)現(xiàn)從當(dāng)年起連續(xù)10 年自己的均與當(dāng)年年份數(shù)字之和相等（出生當(dāng)年算 0 歲）。問(wèn)他在以下哪一年時(shí)，為 9 的整數(shù)倍？（）A.2006 年B.2007 年C.2008 年D.2009 年【】例 10.20 世紀(jì) 70 年代為 197X 年，連續(xù) 10 年自己的均與當(dāng)年年份數(shù)字和相等，一

29、定是連續(xù)的，則年份數(shù)字和也是連續(xù)的。如數(shù)字和為 27，1990 年數(shù)字和為 19，此時(shí)不連續(xù)，說(shuō)明需要從 19X0 年開(kāi)頭。假設(shè)從 1970 年開(kāi)始，1+9+7+0=17，出生于 197X 年，不可能為 17 歲，排除。假設(shè)從 1980 年開(kāi)始，1+9+8+0=18，就算 1970 年出生也只有 10 歲，排除。假設(shè)從 1990 年開(kāi)始，1+9+9+0=19，則 1990-19=1971 年出生，符合題意。代入 A 項(xiàng)：2006-1971=35，不是 9 的倍數(shù)；代入 B 項(xiàng)：2007-1971=36，是 9 的倍數(shù)，滿(mǎn)足條件?！具x B】【匯總】6-10：BBBAB14【小結(jié)】周期、日期、問(wèn)題

30、：1.周期、日期：（1）簡(jiǎn)單周期：總個(gè)數(shù)/周期個(gè)數(shù)=周期數(shù)余數(shù)。周期最值：最多，就放到周期的第一個(gè)。（2）周期重合：每隔 N 天=每 N+1 天；每隔 N 分鐘/小時(shí)=每 N 分鐘/小時(shí)。因?yàn)椤疤臁笔菚r(shí)間段，而“時(shí)刻”為時(shí)間點(diǎn)。給多個(gè)小周期，則重合的大周期為小周期的公倍數(shù)。（x 個(gè)大周期+1 天）內(nèi)，最多重合（x+1）次。（3）日期計(jì)算：基礎(chǔ)：今天是A，再過(guò) B 天是幾？結(jié)論 1：平年加一，閏年再加一（即閏年加二）。結(jié)論 2：過(guò)一個(gè)，加 3；過(guò)一個(gè)，加 2。（4）日期推斷：理論基礎(chǔ)：任意連續(xù)的 7N 天內(nèi)，周一到周日各有 N 個(gè)。15如：2 月有 5 個(gè)3 月 1 日是？1 月 31 日是？2

31、.問(wèn)題：（1）每過(guò) N 年，每人都長(zhǎng) N 歲。（2）差不變。（3）隨著時(shí)間的推移，倍數(shù)關(guān)系越來(lái)越小。第六節(jié)幾何問(wèn)題16【注意】幾何問(wèn)題：國(guó)考和山東每年都在考。知識(shí)點(diǎn)比較散，分為點(diǎn)、線(xiàn)、面、體。點(diǎn)：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短。三角形。（1）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。（2）面積：1/2*底*h。周長(zhǎng)：三邊之和。相似三角形：如下圖，“1”和“2”三個(gè)角都相等，則為相似三角形。直角三角形：滿(mǎn)足 a+b=c，即直角邊的平方和等于斜邊的平方。30、60、90的直角三角形：30所對(duì)的直角邊為斜邊一半；長(zhǎng)直角邊是短直角邊的3倍。1745、45、90的直角三角形：斜邊為直角邊的2倍。三組特殊勾股數(shù)：3、4

32、、5；6、8、10（24）；5、12、13（30），后兩組勾股數(shù)面積等于周長(zhǎng)，分別為 24 和 30?！就卣埂咳粢恢苯侨切蔚闹荛L(zhǎng)與面積的數(shù)值相等，且兩直角邊長(zhǎng)之和為14，則該三角形的面積是（ ）。A.20B.24C.12D.6.2【】拓展.周長(zhǎng)和面積相等，兩直角邊和為 14，對(duì)應(yīng)勾股數(shù) 6、8、10，則面積為 24?！具x B】【注意】若兩直角邊和為 17，則對(duì)應(yīng)勾股數(shù) 5、12、13，面積為 30。3.四邊形。長(zhǎng)方形：面積：ab。周長(zhǎng)：2*（a+b）。正方形：面積：a。周長(zhǎng)：4a。菱形：四邊相等的平行四邊形。面積=1/2*對(duì)角線(xiàn)乘積。4.正六邊形。（1）六條邊相等。18每個(gè)內(nèi)角是 120。由

33、 6 個(gè)等邊三角形（連接對(duì)角線(xiàn)，內(nèi)角被分為兩個(gè) 60）。【拓展】一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形周長(zhǎng)相等， 六邊形面積為正三角形的：A.2倍B.1.5 倍C.3倍D.2 倍【 】拓展.正三角形有 3 條邊，正六邊形有 6 條邊，周長(zhǎng)相等，假設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為 2， 六邊形邊長(zhǎng)為 1。正六邊形由 6 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形 ，連接正三角形的三邊中點(diǎn)，可知正三角形由 4 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形 ，則 6/4=1.5 倍?！具x B】5.圓形：3.14。 表示角度時(shí)為 180，/2=90、/3=60、 /4=45、/6=30。周長(zhǎng)：2r。面積：r。6.：（1）正四面體：屬于錐體，?？俭w積。V 錐（圓錐

34、、棱錐都適用）=1/3*底面積*h。19六面體：常考長(zhǎng)方體和正方體。體積：長(zhǎng)*寬*高。表面積：六個(gè)面的面積之和。球體：V 球=4/3*r，S 表面積=4r。7.補(bǔ)充：平面圖形中，若周長(zhǎng)一定，越接近于圓，面積越大。假設(shè)把一根繩子的兩端合在一起，撐起來(lái)變?yōu)閳A的形狀時(shí)面積最大。圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越大。如往袋中吹氣，越接近于球，體積越大?！就卣埂肯嗤砻娣e的四面體、六面體、正十二面體及正二十面體，其中體積最大的是()。A.四面體B.六面體C.正十二面體D.正二十面體【】拓展.表面積相同，越接近于球體積越大，正二十面體最接近球。【選 D】（3）若將一個(gè)圖形尺度（長(zhǎng)度，圓中指半徑）擴(kuò)大

35、至 N 倍，則：對(duì)應(yīng)角度不變。周長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的 N 倍，擴(kuò)大了 N-1 倍。例 1（2014 吉林）文化廣場(chǎng)舉行放風(fēng)箏比賽，老年組、老侯、老黃三位選手同場(chǎng)，評(píng)委測(cè)量各人放出的風(fēng)箏線(xiàn)長(zhǎng)分別為 60 米、50 米、40 米，風(fēng)箏線(xiàn)與地平面所成角分別為/6、/4、/3。假設(shè)風(fēng)箏線(xiàn)看作是拉直的，則三位選手放風(fēng)箏最高的是（）。A.B.老侯C.老黃D.不能確定【】例 1.表示角度時(shí)為 180。20面積（包括普通面積和圖形的表面積）變?yōu)樵瓉?lái)的 N倍，擴(kuò)大了 N-1 倍。體積變?yōu)樵瓉?lái)的 N倍，擴(kuò)大了 N-1 倍。舉例：邊長(zhǎng)為 1 的正方形，擴(kuò)大至 2 倍，邊長(zhǎng)變?yōu)?2。對(duì)應(yīng)角度不變。原來(lái)周長(zhǎng)為 4，現(xiàn)在周長(zhǎng)為

36、8，變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍，擴(kuò)大了 1 倍。原來(lái)面積為 1，現(xiàn)在面積為 4，變?yōu)樵瓉?lái)的 4（2）倍，擴(kuò)大了 3 倍。假設(shè)例子中為正方體，原來(lái)體積為 1，現(xiàn)在體積為 8，變?yōu)樵瓉?lái)的 8（2）倍，擴(kuò)大了 7 倍。若正方體體積變?yōu)樵瓉?lái)的 8 倍，則邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍?！就卣?1】圓形的周長(zhǎng)擴(kuò)大至原來(lái)的 2 倍，它的面積比原來(lái)增大了（ ）。A.1 倍B.2 倍C.3 倍D.4 倍【】拓展.周長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái) 2 倍，面積增大了 2-1=3 倍。【選 C】【拓展 2】正四面體的棱長(zhǎng)增長(zhǎng) 10%，則表面積增加多少？（）A.21%B.15%C.44%D.40%【】拓展.棱長(zhǎng)增加 10%即變?yōu)樵瓉?lái)的 1.1 倍，表

37、面積增加了 1.1- 1=0.21。【選 A】：/6=30，風(fēng)箏線(xiàn)為 60 米，30所對(duì)直角邊是斜邊的一半，則高度為 30=900。老侯：/4=45，風(fēng)箏線(xiàn)為 50 米，斜邊是直角邊的2倍，則高度為 50/2=（50*2）*/（2*2）=252=1250。老黃：/3=60，風(fēng)箏線(xiàn)為 40 米，短直角邊為 20 米，長(zhǎng)直角邊是短直角邊的3倍，則高度為 203=1200。可知老侯的風(fēng)箏最高。【選 B】例 2（2017 河北）某準(zhǔn)備擴(kuò)建一矩形花圃，若將矩形花圃的長(zhǎng)和寬各增加 4 米，則新矩形花圃的面積比原來(lái)的面積增加了 40 平方米。那么，原矩形花圃的周長(zhǎng)是多少？（）A.12 米B.24 米C.32

38、 米D.40 米【】例2.矩形包括長(zhǎng)方形和正方形，正方形是特殊的長(zhǎng)方形。設(shè)長(zhǎng)為x，寬為 y，則（x+4）*（y+4）-xy=40，展開(kāi)為 xy+4x+4y+16-xy=40，則 4x+4y=24，原周長(zhǎng)為 2x+2y=24/2=12?！具x A】【注意】根據(jù)問(wèn)題找關(guān)系。21例 3（2014）一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的玻璃魚(yú)缸，從魚(yú)缸內(nèi)側(cè)量，它的 2 個(gè)相鄰的側(cè)面及底面的面積分別是 5、6、7.5 平方分米，則這個(gè)玻璃魚(yú)缸最多可以裝多少立方分米的水？（）A.12B.15C.16D.18【】例 3.設(shè)三邊分別為 a、b、c，V=abc。已知 ab=5，ac=6，bc=7.5，abc）=5*6*7.5=30*7

39、.5=225，則 V=225=15。【選 B】三式相乘可知：（例 4（2014 政法干警）下圖中，每個(gè)小正方形網(wǎng)格都是邊長(zhǎng)為 1 的小正方形，則陰影部分面積最大的是（）【】例 4.陰影面積不規(guī)則，不好計(jì)算，則把陰影面積最大轉(zhuǎn)化為白色面積最小。A 項(xiàng)：左下角三角形面積為 2*1/2=1，上面三角形面積為 2*2/2=2，右下角三角形面積為 2*3/2=3，總面積為 1+2+3=6。B 項(xiàng)：4 個(gè)小正方形面積為 4*1=4，4 個(gè)角形面積為 0.5*4=2，總面積為4+2=6。22C 項(xiàng)：左上角三角形面積為 1*3/2=1.5，右上角三角形面積為 2*1/2=1，左下角三角形面積為 2*1/2=1

40、，右側(cè)三角形面積為 2*1/2=1，右下角小正方形面積為 1，總面積為 1.5+1+1+1+1=5.5。可排除 A、B 項(xiàng)。D 項(xiàng)：左上角三角形面積為 2*1/2=1，左下角三角形面積為 2*2/2=2，右下角三角形面積為 1*3/2=1.5，上面三角形面積為 0.5，總面積為1+2+1.5+0.5=5。【選 D】【注意】時(shí)可以通過(guò)觀(guān)察排除 A、B 項(xiàng)，從 C、D 項(xiàng)中猜一個(gè)。例 5（2017 國(guó)考）一塊種植花卉的矩形土地，AD 邊長(zhǎng)是 AB 的 2 倍，E 是 CD 的中點(diǎn)，甲、乙、丙、丁、戊區(qū)域分別種植白花、紅花、黃花、紫花、白花。則種植白花的面積占矩形土地面積的（）23A.3/4B.2/3C.7/12D.1/2【】例 5.甲和戊都是白花，設(shè) DC 長(zhǎng)度為 2，則 AD 長(zhǎng)度為 4。戊面積：1/2*1*4=2。甲和丙是相似三角形，則 DE/AB=h 丙/h 甲=1/2，說(shuō)明 h 丙占 1 份，h 甲占 2 份，則 h 甲=2/3*4=8/3。甲面積：1/2*2*8/3=8/3。白花面積/矩形土地面積=（2+8/3）/（4*2）=7/12?！具x C】【注意】不會(huì)做可以借助尺子量，近似的計(jì)算面積。【匯總】1-5：BABDC例 6（2017 吉林）與在離地面 1 米的空中決斗，