2022屆天津市第一中學(xué)高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 16 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁2022屆天津市第一中學(xué)高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)全集，集合，則（）ABCD【答案】B【解析】先解一元二次不等式求出集合B，從而可求出集合B的補(bǔ)集，進(jìn)而可求得【詳解】由得，所以，所以故選：B2設(shè)，則“”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)得出答案.【詳解】，可得“”是“”的充分條件；由，當(dāng)時(shí)，可得，即

2、；當(dāng)時(shí)，可得，即；可得“”不是“”的必要條件；所以“”是“”充分不必要條件；故選：A.3已知函數(shù)，則的大致圖像正確的是（）ABCD【答案】C【解析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故BD排除；又，因?yàn)椋?，所以，故排除A；故選：C4已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上遞減.若，則，的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】B【解析】由是偶函數(shù)在上遞減，故在上遞增，然后比較的自變量，進(jìn)而判斷得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以在上遞增，因?yàn)椋谏线f增，所以，即，故選:B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，對(duì)于抽

3、象函數(shù)，要靈活掌握并運(yùn)用圖像與奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，要注意定義域，還應(yīng)該學(xué)會(huì)解決的基本方法與技巧，如對(duì)于選擇題，可選用特殊值法、賦值法、數(shù)形結(jié)合等，應(yīng)用分析、邏輯推理、聯(lián)想類比等數(shù)學(xué)思想方法.5為了了解居民用電情況，通過抽樣，獲得了某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，分組的頻率分布直方圖如下圖.該樣本數(shù)據(jù)的55%分位數(shù)大約是（）ABCD【答案】C【分析】由已知，可通過頻率分布直方圖的性質(zhì)求解出的值，然后設(shè)出樣本數(shù)據(jù)的55%分位數(shù)為，根據(jù)題意列出等量關(guān)系，求解即可.【詳解】由直方圖的性質(zhì)可得：，解得，由已知，設(shè)該樣本數(shù)據(jù)的55%分位數(shù)大約是，由，解得.故選：C.6若所有棱長都是3的直三棱

4、柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）ABCD【答案】C【分析】正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積【詳解】解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離為：；所以外接球的半徑為：所以外接球的表面積為：故選：C【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力7已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）.A的最大值為2B由的圖像向左平移個(gè)單位C的最小正周期為D的單調(diào)遞增區(qū)間為（）【答案】D【分析】根據(jù)三角恒等變換公式可將化簡(jiǎn)為，然后根據(jù)各選項(xiàng)的要求分別求得

5、函數(shù)的最大值、最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間以及函數(shù)圖象平移后的解析式，最后作出判斷即可.【詳解】，顯然的最大值為，故A錯(cuò)誤；的圖像向左平移個(gè)單位后解析式為，故B錯(cuò)誤；的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；令（），解得（），所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（），故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單三角恒等變換，考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于常考題.8已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，離心率為，是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則雙曲線的方程為（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)雙曲線離心率為可得漸近線方程，再根據(jù)

6、漸近線與直線AM垂直求解可得【詳解】由拋物線的焦半徑公式可得，解得，故拋物線方程，又，所以，.又因?yàn)殡p曲線離心率為，故漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，不妨設(shè)，此時(shí)與直線AM垂直的漸近線斜率為，故，解得，故，雙曲線方程為故選：D9已知函數(shù)關(guān)于x的方程在上有四個(gè)不同的解，且若恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】由分段函數(shù)先畫出圖象，將方程變形得，故只有時(shí)才有四個(gè)不相同的解，由余弦函數(shù)對(duì)稱性可求，令可求范圍，令可得，則等價(jià)于，結(jié)合基本不等式可求的取值范圍.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：，由圖易知，當(dāng)時(shí)，方程無解，故只有時(shí)才有四個(gè)不相同的解，且由，解得或，從

7、而，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，關(guān)于直線對(duì)稱，則，由，即，解得x1或x9，從而，令得，則，故等價(jià)于，故，恒成立，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值），所以，故選：D二、填空題10已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（），且滿足，則_.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可得，再利用復(fù)數(shù)模的求法即可求解.【詳解】由題意，得，所以，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)模的求法，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11在的展開式中，的系數(shù)是_【答案】10【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，解得所以的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考

8、查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12已知直線和圓相交于兩點(diǎn)若，則的值為_【答案】5【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用弦長公式，即可求得【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，由可得，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題13已知，則的最小值是_【答案】【解析】由題得，化簡(jiǎn)整理得再利用基本不等式可得解.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)或；則的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)

9、必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.14甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的概率為_.【答案】【解析】根據(jù)題意可得恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的情況為：甲第一局贏，第二局輸，第三局和第四局贏，由此可求出概率.【詳解】根據(jù)題意可得恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲

10、贏得比賽的情況為：甲第一局贏，第二局輸，第三局和第四局贏，則恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的概率為.故答案為：.三、雙空題15如圖,菱形ABCD的邊長為3,對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn),|=2,E為BC邊(包含端點(diǎn))上一點(diǎn),則|的取值范圍是_,的最小值為_.【答案】 .【解析】時(shí)，長度最短，與重合時(shí)，長度最長然后以)以O(shè)為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，把向量數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可求得最小值【詳解】根據(jù)菱形性質(zhì)可得OC,則BO.(1)作AFBC,則AF,此時(shí)AE最短,當(dāng)E與C重合時(shí),AE最長,故,即|;(2)以O(shè)為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建系如圖:則A(0,)B(,

11、0),C(0,),D(,0),所以BC:y,設(shè)E(m,)則,其中m對(duì)稱軸為m,故當(dāng)m時(shí)最小,最小值為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查向量的模和向量的數(shù)量積，向量模的范圍可由幾何圖得出，而數(shù)量積的最值通過建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算把數(shù)量積表示一個(gè)函數(shù)，由函數(shù)知識(shí)求解這樣只要計(jì)算即可四、解答題16在中，.(1)求AB的長；(2)求；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系結(jié)合正弦定理可得AB的長；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和，結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可；（3）根據(jù)二倍角公式與兩角差的余弦公式求解即可【詳解】(1)由，且可得.由正弦定理有，得(2)由題意可得(3)由（2），

12、由二倍角公式可得：，故.17如圖，平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求二面角的正弦值；（）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求線段的長.【答案】（）證明見解析；（）；（）.【分析】（）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到；（）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解（）設(shè)，則，從而，由（）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解【詳解】（）連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以為平行四邊?由點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，可得且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，可得且，即四邊形為平行四邊形，所以，又，所以.（）因

13、為，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得，.設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得.，于是.所以，二面角的正弦值為.（）設(shè)，即，則.從而.由（）知平面的法向量為，由題意，即，整理得，解得或，因?yàn)樗裕?【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18已知正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足

14、，是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.【分析】（1）由等比中項(xiàng)求出，再由等差中項(xiàng)得到方程，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式相關(guān)計(jì)算求出公比，得到通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消求和和分組求和得到答案.【詳解】(1)是正項(xiàng)等比數(shù)列，故，所以，又，設(shè)公比為q（q0），即，即，解得：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.19已知點(diǎn)是離心率為的橢圓C：上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合.(1)求橢圓C的方程；(2)求證：直線AB、AD的斜率之和為定值；(3)的面積是否存在最大值

15、？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由？【答案】(1)(2)證明見解析(3)的面積存在最大值為【分析】（1）由已知解方程組即可；（2）設(shè)出直線BD的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理解決；（3）將ABD面積表示成，再利用基本不等式求得最值.【詳解】(1)點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，解得，橢圓的方程為(2)設(shè)，直線、的斜率分別為、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，得，則，（）將、式代入式整理得，直線，的斜率之和為定值0(3)，又點(diǎn)到直線：的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題20已知函數(shù)（自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，（）證明：存在唯一的極值點(diǎn)；（）證明：.【答案】(1)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；(2)（）證明見解析；（）證明見解析【分析】（