線性代數(shù)PPT全集

1、關(guān)于線性代數(shù)PPT全集第一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月它的特點(diǎn)是研究的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁瑣和技巧性很強(qiáng)的數(shù)字計(jì)算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加強(qiáng)這些方面的訓(xùn)練。 第二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一章 行列式第二章 矩陣及其運(yùn)算第三章 矩陣的初等變換 及線性方程組第四章 向量組的線性相關(guān)性基礎(chǔ)基本內(nèi)容用向量的觀點(diǎn)討論基本問(wèn)題并介紹向量空間的有關(guān)內(nèi)容第五章 相似矩陣及二次型矩陣?yán)碚摰谌龔垼琍PT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、二元線性方程組與二階行列式用消元法解二元(一次)線性方程組:第一章 行列式(1

2、)(2)(1)a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2)a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,兩式相減消去x2, 得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;1.1 二階與三階行列式第四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月方程組的解為由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.第五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）的數(shù)表定義即第六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算若記對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式第七張，PPT共二百九十一頁(yè)

3、，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則二元線性方程組的解為第十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1解第十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、三階行列式定義記（6）式稱(chēng)為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.第十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(1)沙路法三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)第十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(2)對(duì)角線法則注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)說(shuō)明1 對(duì)角線法

4、則只適用于二階與三階行列式第十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 如果三元線性方程組的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組 2. 三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).第十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若記或第十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月記即第十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月得第二十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月得第二十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則三元線性方程組的解為:第二

5、十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 解按對(duì)角線法則，有第二十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3解方程左端第二十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4 解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式第二十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月同理可得故方程組的解為:第二十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對(duì)角線法則二階與三階行列式的計(jì)算三、小結(jié)第二十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題第二十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題解答解設(shè)所求的二次多

6、項(xiàng)式為由題意得得一個(gè)關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組,又得第二十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故所求多項(xiàng)式為第三十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.2 全排列及其逆序數(shù) 引例: 用1, 2, 3三個(gè)數(shù)字, 可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個(gè)大家熟知的問(wèn)題, 答案是: 3! = 6. 將此問(wèn)題推廣: 把n個(gè)不同的元素按先后次序排成一列, 共有多少種不同的排法. 定義: 把 n 個(gè)不同的元素排成一列, 叫做這 n 個(gè)元素的全排列(或排列). n 個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù), 通常用 Pn 表示, 稱(chēng)為排列數(shù). Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n!

7、 一、全排列第三十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、排列的逆序數(shù) 定義: 在一個(gè)排列 i1 i2 is it in 中, 若數(shù) isit,則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.例如: 排列32514 中, 我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序. 以 n 個(gè)不同的自然數(shù)為例, 規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序 定義: 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱(chēng)為此排列的逆序數(shù).前面的數(shù)比后面的數(shù)大第三十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3 2 5 1 4逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如: 排列32514 中,計(jì)算排列

8、逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列. 方法1: 分別計(jì)算出排在1,2, , n 前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和, 即先分別算出 1,2, , n 這 n 個(gè)元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).第三十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 方法2: 依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和, 即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù). 方法3: 依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素后面比它小的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和, 即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).第

9、三十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1: 求排列32514的逆序數(shù).解: 在排列32514中,3排在首位, 則3的逆序?yàn)?;2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3, 故2的逆序?yàn)?;3 2 5 1 4沒(méi)有比5大的數(shù), 故其逆序?yàn)?;個(gè), 故其逆序?yàn)?;4的前面比4大的數(shù)有1個(gè), 故逆序?yàn)?.5的前面1的前面比1大的數(shù)有3即于是排列32514的逆序數(shù)為 t = 0+1+0+3+1 = 5.第三十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解:此排列為偶排列.例2: 計(jì)算下列排列的逆序數(shù), 并討論其奇偶性.(1) 217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 4010013445

10、于是排列217986354的逆序數(shù)為:t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21解:n (n1) (n2) 2 1012(n1)(n2)t = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列n(n1)(n2) 21的逆序數(shù)為:第三十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 此排列當(dāng) n=4k, 4k+1 時(shí)為偶排列; 當(dāng) n=4k+2, 4k+3 時(shí)為奇排列.(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解:0121233(k1)(k

11、1)kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序數(shù)為: 此排列當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)為偶排列, 當(dāng) k為奇數(shù)時(shí)為奇排列.第三十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1. n個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)為n!個(gè);2. 排列具有奇偶性;3. 計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法.三、小結(jié)第三十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.3 n 階行列式的定義一、概念的引入三階行列式說(shuō)明(1) 三階行列式共有6項(xiàng), 即3!項(xiàng). 說(shuō)明(2) 每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積. 說(shuō)明(3) 每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不

12、同行不同列的三個(gè)元素的列標(biāo)排列的逆序數(shù)(行標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列).第三十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例如 a13a21a32, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列, 列下標(biāo)排列312的逆序數(shù)為t (312)=1+1=2, 偶排列. a13a21a32 的前面取+號(hào). 例如 a11a23a32, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列, 列下標(biāo)排列132的逆序數(shù)為t (132)=0+1=1, 奇排列. a11a23a32的前面取號(hào).其中是對(duì)列下標(biāo)的所有排列求和(3!項(xiàng)), t 是列下標(biāo)排列 p1p2p3 的逆序數(shù).第四十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、n 階行列式的定義定義: 設(shè)由 n2 個(gè)數(shù)排成一個(gè)

13、n 行 n 列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的 n 個(gè)數(shù)的乘積, 并冠以符號(hào)(1)t, 得到形如 其中 p1p2 pn 為自然數(shù)1, 2, , n 的一個(gè)排列, t為排列p1p2 pn的逆序數(shù). 的項(xiàng),第四十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月所有這 n! 項(xiàng)的代數(shù)和稱(chēng)為(由上述數(shù)表構(gòu)成的) n 階行列式.記作簡(jiǎn)記作 det(aij). 數(shù) aij 稱(chēng)為行列式 det(aij) (第 i 行第 j 列)的元素.即第四十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 說(shuō)明1. 行列式是一種特定的算式, 它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的; 說(shuō)明2. n

14、階行列式是 n! 項(xiàng)的代數(shù)和; 說(shuō)明3. n 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行, 不同列 n 個(gè)元素的乘積,的符號(hào)為(1)t; 說(shuō)明4. 一階行列式的符號(hào) | a | = a, 不要與絕對(duì)值符號(hào)相混淆, 一般不使用此符號(hào).第四十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1: 計(jì)算對(duì)角行列式解: 分析.展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是從而這個(gè)項(xiàng)為零,同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能 p1=4;若p14, 則即行列式中非零的項(xiàng)為:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即第四十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2: 計(jì)算上三角行列式解: 分析展開(kāi)式中

15、項(xiàng)的一般形式是所以非零的項(xiàng)只可能是: a11 a22 ann .從最后一行開(kāi)始討論非零項(xiàng). 顯然pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1,即第四十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月顯然= 1458同理可得下三角行列式第四十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)角行列式第四十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例5: 設(shè)證明: D1=D2. 中b的指數(shù)正好是a的行標(biāo)與列標(biāo)的差第四十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證: 由行列式定義有第四十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十張，PPT共二百九十一頁(yè)

16、，創(chuàng)作于2022年6月由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n,所以故第五十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式. n 階行列式共有n!項(xiàng), 每項(xiàng)都是位于不同行, 不同列的 n 個(gè)元素的乘積, 正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)第五十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題已知多項(xiàng)式求 x3 的系數(shù).思考題解答含 x3 的項(xiàng)有僅兩項(xiàng), 即對(duì)應(yīng)于= x3+ (2x3)故 x3 的系數(shù)為(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43第五十三張，PPT共二百九

17、十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、對(duì)換的定義1.4 對(duì) 換 定義: 在排列中, 將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào), 其余元素不動(dòng), 這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換 將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào), 叫做相鄰對(duì)換.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如第五十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系 定理1: 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換, 排列改變奇偶性.對(duì)換 a與b即除 a, b 外, 其它元素的逆序數(shù)不改變.證明: 先考慮相鄰對(duì)換的情形.a1 a2 al

18、a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如因此, 相鄰對(duì)換排列改變奇偶性.當(dāng) ab 時(shí), 對(duì)換后 a 的逆序數(shù)不變, b 的逆序數(shù)增加1;第五十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn對(duì)一般對(duì)換的情形, 例如對(duì)換 a與b經(jīng)過(guò)m次相鄰對(duì)換, 排列a1a2alab1bmbc1cn對(duì)換為a1a2alabb1bmc1cn,再經(jīng)過(guò)m+1次相鄰對(duì)換, 對(duì)換為a1a2albb1bmac1cn,共經(jīng)過(guò)了2m+1次相鄰對(duì)換. 所以, 由相鄰對(duì)換的結(jié)果知: 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換, 排列改變奇偶性.第五十六張，PPT共二

19、百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.對(duì)一般對(duì)換的情形, 例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn對(duì)換 a與b第五十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 推論: 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).證明: 由定理1知, 對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0), 論成立.因此, 推第五十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月下面討論行列式的另一種定義形式.對(duì)于行列式的任一項(xiàng)其中12ijn為自然排列, 其逆序

20、數(shù)0, t 為列標(biāo)排列p1p2pipjpn的逆序數(shù), 對(duì)換元素第五十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 此時(shí), 行標(biāo)排列12jin的逆序?yàn)槠鏀?shù), 而列標(biāo)排列p1p2pjpipn的逆序也改變了一次奇偶性. 換后行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和的奇偶性不變, 即t(1jin)+t(p1pjpipn)與t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性.因此, 對(duì)故第六十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 一般地, 經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換行列式的任一項(xiàng)乘積元素的位置后得到的符號(hào)仍為(1)t.因此, 總可以經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換行列式的任一項(xiàng), 得其中 s 為行下標(biāo)排列 q1q2 qn 的逆序數(shù).第六十一

21、張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理2: n 階行列式也可定義為其中s為行標(biāo)排列q1q2qn的逆序數(shù), 并按行標(biāo)排列求和.定理3: n 階行列式也可定義為其中 t 為行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆序數(shù)之和. 并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.因此, 我們可以得到行列式的另一種定義形式:根據(jù)以上討論, 還可以如下定義第六十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例1: 試判斷 a14a23a31a42a56a65 和a32a43a14a51a25a66是否六階行列式中的項(xiàng). 解: a14a23a31a42a56a65的行標(biāo)為順序排列, 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

22、:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù))所以 a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項(xiàng). 將a32a43a14a51a25a66的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列, 則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶數(shù))所以 a32a43a14a51a25a66 不是六階行列式中的項(xiàng).第六十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 解: 將a23a31a42a56a14a65的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列, 則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶數(shù))所以 a23a31a42a56a14a65 的前

23、邊應(yīng)帶正號(hào).例2: 在六階行列式中, 下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào).(1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 .第六十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 項(xiàng)a32a43a14a51a66a25的行下標(biāo)與列下標(biāo)的逆序數(shù)之和為 t (341562)+t (234165) =(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶數(shù))所以 a32a43a14a51a66a25的前邊應(yīng)帶正號(hào).第六十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3: 用行列式的定義計(jì)算解: 由于行列式Dn每行每列中僅有一個(gè)非零元素,

24、 所以Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2所以第六十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、小結(jié)1. 對(duì)換排列中的任意兩個(gè)元素, 排列改變奇偶性.2. 行列式的三種定義方法:其中 r 為行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆序數(shù)之和. 并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.第六十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題證明在全部 n 階排列中(n2), 奇偶排列各占一半

25、.思考題解答 證: 設(shè)在全部 n階排列中有s個(gè)奇排列, t 個(gè)偶排列,則 s + t = n！現(xiàn)來(lái)證 s = t . 若將所有 s個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換, 則這 s 個(gè)奇排列全變成偶排列, 故必有s = t = 若將所有 t 個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)作對(duì)換, 則這 t 個(gè)偶排列全變成奇排列, 如此產(chǎn)生的 s 個(gè)偶排列不會(huì)超過(guò)所有的 s 個(gè)奇排列, 所以 t s .過(guò)所有的 t 個(gè)偶排列, 所以 s t .如此產(chǎn)生的 t 個(gè)奇排列不會(huì)超第六十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.5 行列式的性質(zhì) 一、行列式的性質(zhì)行列式DT稱(chēng)為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式. 記將D的行列互換就得到第六十九張，P

26、PT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明: 記行列式 D=det(aij) 的轉(zhuǎn)置行列式為:性質(zhì)1: 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, 即DT = D.按定義即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),第七十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月又由行列式的另一種表示得,所以, DT = D, 結(jié)論成立 說(shuō)明: 性質(zhì)1行列式中行與列具有同等的地位, 因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的結(jié)論, 對(duì)列也同樣成立.第七十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)2: 互換行列式的兩行(列), 行列式變號(hào).證明: 設(shè)行列式第七十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月是

27、由行列式互換 i, j (i j 時(shí)，則稱(chēng) A 為上三角矩陣.若當(dāng) ij 時(shí)第二百零五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月即 C為上三角矩陣.第二百零六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月方陣的冪和方陣的多項(xiàng)式定義設(shè) A 是 n 階方陣，k 個(gè) A 的連乘積稱(chēng)為 A 的k 次冪，記作即當(dāng) m，k 為正整數(shù)時(shí)，有只有方陣能定義冪當(dāng)AB不可交換時(shí)，一般當(dāng)AB可交換時(shí)，第二百零七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義 設(shè)是 x 的 k 次多項(xiàng)式，A 是 n 階方陣，則稱(chēng)為方陣 A 的 n 次多項(xiàng)式.第二百零八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若 f(x)，

28、g(x) 為多項(xiàng)式，A、B為 n 階方陣，則f(A) g(A) = g(A) f(A)當(dāng) AB 不可交換時(shí)，一般f(A) g(B) = g(B) f(A)第二百零九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月特別當(dāng)矩陣為對(duì)角陣=diag(1, 2, n ) 時(shí),則f()=a0E + a1 +akk,第二百一十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二百一十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 方陣A的多項(xiàng)式可以類(lèi)似一般多項(xiàng)式一樣相乘或分解因式. 例如(E + A)(2 E A) = 2 E + A A2,(E A)3 = E 3A + 3A2 A3.因?yàn)閱挝痪仃?E 與任

29、意同階方陣可交換，所以有第二百一十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解:例4:第二百一十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由此歸納出第二百一十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)k=2時(shí), 顯然成立.假設(shè), 當(dāng)k=n時(shí)結(jié)論成立, 對(duì) k=n+1時(shí),第二百一十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月所以對(duì)于任意的 k 都有:也可利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算.第二百一十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月記于是注意到：第二百一十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月即當(dāng)時(shí)，所以第二百一十八張，PPT共二百九十一頁(yè)

30、，創(chuàng)作于2022年6月第二百一十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義: 把矩陣A 的行列互換, 所得到的新矩陣, 叫做矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作AT.例如:第二百二十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) (A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)一般地第二百二十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明（4）設(shè)首先容易看到與為同型矩陣.因?yàn)樗缘牡?i 行第 j 列的元素為第二百二十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月又因?yàn)橹?/p>

31、第 i 行的元素為 B 中第 i 列的元素中第 j 列的元素為 A 中第 j 行的元素于是的第 i 行第 j 列元素為故第二百二十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解法1: 因?yàn)槔?: 已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT第二百二十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6：設(shè)（1）的第 i 行第 j 列的元素為（2）的第 i 行第 j 列的元素為（3）的第 i 行第 j 列的元素為第二百二十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)A = ( aij )為 n 階方陣, 對(duì)任意 i, j, 如果aij = aji都成立, 則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣; 如

32、果aij = aji 都成立, 則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)矩陣; 顯然，若 A 是反對(duì)稱(chēng)矩陣，那么對(duì)任意 i，有第二百二十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由矩陣轉(zhuǎn)置和對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣的定義可得:方陣A 為對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是: A=AT.方陣A 為反對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是: A=AT.第二百二十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明: 因?yàn)?例7: 設(shè)列矩陣X = (x1 x2 xn)T, 滿(mǎn)足XTX = 1, E為n 階單位矩陣, H = E 2XXT, 證明: H為對(duì)稱(chēng)矩陣, 且HHT = E.HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2X

33、XT = H.所以, H為對(duì)稱(chēng)矩陣.= E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)= E 4XXT + 4(XXT)(XXT)= E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E HHT = H2 = (E 2XXT)2第二百二十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例8: 證明任一n 階方陣A 都可表示成對(duì)稱(chēng)陣與反對(duì)稱(chēng)陣之和.證明: 設(shè) C = A + AT,所以, C為對(duì)稱(chēng)矩陣.從而, 命題得證.則 CT = ( A + AT)T = AT + A = C,設(shè) B = A AT,則 BT = ( A AT)T = AT A =

34、 B,所以, B為反對(duì)稱(chēng)矩陣.第二百二十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月五、方陣的行列式 定義: 由n 階方陣A 的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣A 的行列式, 記作 | A | 或 detA .例如:則方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì)| AT | = | A |;| kA | = kn| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.第二百三十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理：設(shè)A、B是兩個(gè) n 階方陣，則思路：利用分塊行列式的結(jié)論，行列式的性質(zhì)6及矩陣乘法的定義.對(duì)于同階方陣A和B，一般AB BA ，但是|AB|=

35、|BA|第二百三十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二百三十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月繼續(xù)做第二百三十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月重要例子例9.設(shè)其中是行列式 |A| 中元素的代數(shù)余子式.矩陣A的伴隨矩陣注意其元素的下標(biāo)證明：（2）當(dāng)|A|不等于0時(shí)，稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣。第二百三十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證：設(shè)其中于是第二百三十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月兩邊取行列式得:因?yàn)樗灶?lèi)似可證：第二百三十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月六、共軛矩陣 定義: 當(dāng) A = (aij)

36、為復(fù)矩陣時(shí), 用 表示aij 的共軛復(fù)數(shù), 記 , 稱(chēng) 為A 的共軛矩陣.運(yùn)算性質(zhì)設(shè)A, B為復(fù)矩陣, 為復(fù)數(shù), 且運(yùn)算都是可行的, 則:第二百三十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對(duì)稱(chēng)陣與伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣五、小結(jié) (1) 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí), 才能進(jìn)行加法運(yùn)算. (2) 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí), 兩矩陣才能相乘, 且矩陣相乘不滿(mǎn)足交換律. (3) 矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的性質(zhì)3不同.注意第二百三十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題思考題解答 設(shè)A與B為 n 階方陣, 等式

37、A2B2 = (A+B)(AB)成立的充要條件是什么?答: 因?yàn)?(A + B) (A B) = A2 + BA AB B2,故等式A2 B2 = (A + B)(A B)成立的充要條件是:AB = BA.第二百三十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月作業(yè)：P5354 3，4，7，9，10第二百四十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月在數(shù)的運(yùn)算中, 當(dāng)數(shù) a 0 時(shí), 有 aa-1 = a-1a = 1. 在矩陣的運(yùn)算中, 單位陣 E 相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1, 那么, 對(duì)于矩陣A, 如果存在一個(gè)矩陣A-1, 使得為a 的倒數(shù), 或稱(chēng)a的逆(元).其中 AA-1 = A-

38、1A = E,則矩陣A稱(chēng)為可逆矩陣, 稱(chēng)A-1為A逆陣.一、逆矩陣的概念和性質(zhì)2.3 逆 矩 陣第二百四十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月或者從線性變換的觀點(diǎn)來(lái)看：給定線性變換若記其系數(shù)矩陣則線性變換可記為：第二百四十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若記則上式可以寫(xiě)作：這是一個(gè)從 Y 到 X 的線性變換，它是線性變換的逆變換.第二百四十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月為恒等變換則有：第二百四十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義: 對(duì)于n 階方陣A, 如果存在一個(gè)n 階方陣B, 使得 AB = BA = E則稱(chēng)矩陣A是可逆的, 并

39、稱(chēng)矩陣B為A的逆矩陣. A的逆矩陣記作A-1, 即（1）A與為同階方陣；（2）若 B 是 A 的逆矩陣，那么 A 也是 B 的逆矩陣;(3) 第二百四十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例如: 設(shè)由于 AB = BA =E, 所以 B 為 A 的逆矩陣.第二百四十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月說(shuō)明: 若A是可逆矩陣, 則A的逆矩陣是唯一的.事實(shí)上: 若設(shè)B和C是A的逆矩陣, 則有所以, A的逆矩陣是唯一的, 即AB = BA = E, AC = CA = E,可得:B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.B = C = A-1.第二百四十七

40、張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解: 利用待定系數(shù)法.例1: 設(shè)求A的逆矩陣.是A的逆矩陣,設(shè)即則第二百四十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月又因?yàn)閯t解得,所以即AB = BA = E, 如上求逆矩陣的方法對(duì)于方陣的階較高時(shí)顯然是不可行的, 必須尋求可行而有效的方法.第二百四十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明: 若A可逆, 則有A-1, 使得AA-1 = E.定理1: 矩陣A可逆的充要條件是| A | 0, 且其中A*為矩陣A的伴隨矩陣.故 | A | A-1 | = | E | = 1,所以, | A | 0.第二百五十張，PPT共二百九十一頁(yè)

41、，創(chuàng)作于2022年6月由伴隨矩陣的性質(zhì): AA*= A*A = | A | E, 知當(dāng)| A | 0時(shí),按逆矩陣的定義得,第二百五十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月說(shuō)明：（1）該定理揭示了矩陣可逆的充要條件，并給出了逆矩陣的一種求法公式法.(2) 上（下）三角矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)主對(duì)角元全不為0，且當(dāng)時(shí)這里逆矩陣由定義得到！第二百五十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若當(dāng) 12n 0時(shí)，A可逆，且第二百五十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2、當(dāng)a，b滿(mǎn)足什么條件時(shí)，矩陣 A 不可逆，其中第二百五十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：第

42、二百五十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由矩陣可逆的充要條件可知：當(dāng)a=1或b=2時(shí)，A不可逆.第二百五十六張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)| A | = 0 時(shí), 稱(chēng)A為奇異矩陣, 否則稱(chēng)A為非奇異矩陣. 由此可得, A是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異矩陣.若A可逆，那么由AB = OB = O由AB = ACB = C第二百五十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1,推論: 若 AB=E (或 BA=E), 則 B=A-1.故| A | 0.因而, A-1存在, 于

43、是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.故結(jié)論成立.推論說(shuō)明：若 ABE，則一定有 BAE.第二百五十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)| A | 0 時(shí), 定義 A0 = E, A-k = (A-1)k (k為正整數(shù)).且此時(shí)對(duì)任意整數(shù), , 有 AA = A+, (A) = A.第二百五十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)(1) 若矩陣A可逆, 則A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A.(2) 若矩陣A可逆, 且 0, 則 A 亦可逆, 且第二百六十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若A,

44、 B為同階可逆方陣, 則AB亦可逆, 且(AB)-1 = B-1A-1.證明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以(AB)-1=B-1A-1.一般地第二百六十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明:(4) 若矩陣A可逆, 則AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T =(A-1A)T=ET =E,所以(AT)-1=(A-1)T.求轉(zhuǎn)置和求逆可以換序.第二百六十二張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(5) 若矩陣A可逆, 則有| A-1 |=| A |-1.證明:因?yàn)?AA-1 = E,所以 | A | | A

45、-1 | = | E | = 1,因此| A-1 |=| A |-1.第二百六十三張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注意：（1）當(dāng) A，B 可逆時(shí)，A + B 不一定可逆；即使 A + B 可逆，一般反例： 設(shè) A 可逆，取B = A，顯然 B 可逆，但A + B = O 不可逆.第二百六十四張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月取 Adiag（2，1），B diag（1，2），此時(shí)A + B = diag (3, 1)可逆，且顯然第二百六十五張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月的逆矩陣.例3: 求方陣解: 因?yàn)槎?、關(guān)于逆矩陣的求法所以A-1存在.第二百六十六張，

46、PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月同理可得所以,故第二百六十七張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解:例4: 下列矩陣A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩陣.所以, A可逆.由于第二百六十八張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月同理可得所以由于故B不可逆.第二百六十九張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4: 求的逆矩陣( ad bc 0 ).解: 用伴隨矩陣的方法求A逆陣.| A | = ad bc 0.A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a .設(shè)則A可逆且第二百七十張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月則 求二階矩陣A的逆可用“兩換一除”的方法, 其做法如下: 先將矩陣 A 中的主對(duì)角元素調(diào)換其位置, 再將次對(duì)角元素調(diào)換其符號(hào), 最后用 A 的行列式 |A| 除矩陣A的每一個(gè)元素, 即可得 A 的逆矩陣 A-1.第二百七十一張，PPT共二百九十一頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月利用公式求A的逆矩陣，要注意：（1）不要忘記除以 |A|;(2) 注意A的伴隨矩陣的定義和其中元素的符號(hào)；（3）適用范圍：特殊矩陣，低階矩陣.求出A的逆矩陣后，可以檢查其正確性：