金融時(shí)間序列分析

1、.金融時(shí)間序列分析第一章緒論第一節(jié)時(shí)間序列分析的一般問題人們?cè)谌粘Ｉ詈凸ぷ髦袝?huì)遇到大量的金融數(shù)據(jù)，如存款的利率、股票的價(jià)格、債券的收益等等，例 某支股票的價(jià)格。 。 。如何從這些數(shù)據(jù)中總結(jié)、發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，如何從這些數(shù)據(jù)中總結(jié)、發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，從而預(yù)測(cè)或控制現(xiàn)象的未來行從這些數(shù)據(jù)中總結(jié)為，這就是時(shí)間序列分析這門課程所要研究的問題。研究方式數(shù)據(jù)建立模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的類型。橫剖面數(shù)據(jù)：由若干現(xiàn)象在某一時(shí)點(diǎn)上所處的狀態(tài)所形成的數(shù)據(jù)，稱為橫剖面數(shù)據(jù)，剖面數(shù)據(jù)，又稱為靜態(tài)數(shù)據(jù)。它反映一定時(shí)間、地點(diǎn)等客觀條件下諸現(xiàn)象之間存在的內(nèi)在數(shù)值聯(lián)系。 例如，上海證券交易所所有股票在某一時(shí)刻的價(jià)格；某一時(shí)刻全國(guó)各省

2、會(huì)城 市的溫度，都是橫剖面數(shù)據(jù)；研究方法：多元統(tǒng)計(jì)分析?？v剖面數(shù)據(jù)：由某一現(xiàn)象或若干現(xiàn)象在不同時(shí)點(diǎn)上的狀態(tài)所形成的數(shù)據(jù)，稱為縱剖面數(shù)據(jù)，縱剖面數(shù)據(jù)，又稱為動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。 它反映的是現(xiàn)象與現(xiàn)象之間關(guān)系的發(fā)展變化規(guī)律。 例如，南京市 1980 年至 2005 年每年末的人口數(shù)；上海證券交易所所有股票在一年中每個(gè)周末收盤價(jià)，都是縱剖面數(shù)據(jù) 研究方法：時(shí)間序列分析時(shí)間序列概念時(shí)間序列概念。時(shí)間序列：簡(jiǎn)單地說，時(shí)間序列就是按照時(shí)間順序排成的一個(gè)數(shù)列，其中每一項(xiàng)的取值是隨機(jī)的。嚴(yán)格的時(shí)間序列的定義需要隨機(jī)過程的概念。設(shè) (?, , P )是一個(gè)概率空間，其中?是樣本空間， 是 ? 上的 - 代數(shù)， P是 Co

3、pyright: Rongbao Gu, Schoolof Finance,NanjingUniversity of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析? 上的概率測(cè)度。 又設(shè) T 是一個(gè)有序指標(biāo)集。概率空間 (?, , P 上)的隨機(jī)變量 X t : t T 的全體稱為隨機(jī)過程。 隨機(jī)過程。注： 指標(biāo)集 T 可以是連續(xù)的也可以是離散的，相應(yīng)地，隨機(jī)過程也有連續(xù)和離 散之分。 定義： 定義：若t i 是 R中的一個(gè)離散子集，則稱隨機(jī)過程 Xt : t t i = X ti 是一個(gè) 時(shí)間序列。簡(jiǎn)言之，一個(gè)離散隨機(jī)過程被稱為一個(gè)時(shí)間序列。 注： 1、從統(tǒng)計(jì)意義上

4、說，時(shí)間序列是一個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在不同時(shí)刻上的數(shù)值，按照時(shí)間順序排成的數(shù)列，由于統(tǒng)計(jì)指標(biāo)數(shù)值受到各種偶然因素影響，因此這數(shù)列表現(xiàn)出隨機(jī)性。 2、從系統(tǒng)論上說，時(shí)間序列是某一系統(tǒng)在不同時(shí)刻的響應(yīng)，是系統(tǒng)運(yùn)行的歷史行為的客觀記錄。時(shí)間序列的特點(diǎn) :(1)序列中的數(shù)據(jù)依賴于時(shí)間順序；(2) 序列中每個(gè)數(shù)據(jù)的取值具有一定的隨機(jī)性；(3)序列中前后的數(shù)值有一定的相關(guān)性- 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律(4) 序列整體上呈現(xiàn)某種趨勢(shì)性或周期性。研究時(shí)間序列的意義通過對(duì)時(shí)間序列的分析和研究，認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征（如趨勢(shì)的類型，周期波動(dòng)的周期、振幅，等等）；揭示系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律；進(jìn)而預(yù)測(cè)或控制系統(tǒng)的未來行為，或修正和重新設(shè)計(jì)系統(tǒng)（如改

5、變參數(shù)、周期等）按照新的結(jié)構(gòu)運(yùn)行。時(shí)間序列分析根據(jù)時(shí)間序列所包含的歷史行為的信息， 尋找相應(yīng)系統(tǒng)的內(nèi)在統(tǒng)計(jì)特征和發(fā)時(shí)間序列分析。展變化規(guī)律性的整個(gè)方法，稱為時(shí)間序列分析注： 時(shí)間序列分析是一種根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法， 是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。時(shí)間序列分析的類型(詳見 P7)。確定性時(shí)序分析：設(shè).法消除隨機(jī)型波動(dòng)，擬合確定型趨勢(shì)，形成長(zhǎng)期趨勢(shì)分析、 季節(jié)變動(dòng)分析和循環(huán)波動(dòng)測(cè)定的時(shí)間序列分析方法，稱為確定性時(shí)序分析。隨機(jī)時(shí)序分析：對(duì)許多偶然因素共同作用的隨機(jī)型波動(dòng)，運(yùn)用隨機(jī)理論來研究分析，找出其中的規(guī)律性，稱為隨機(jī)時(shí)序分析Copyright:Rongbao Gu, School

6、of Finance, Nanjing Universityof Finance and Economics,2006 金融時(shí)間序列分析第二節(jié)列的預(yù)測(cè)技術(shù)第二節(jié)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)技術(shù)本課程主要研究諸如資產(chǎn)收益率等金融時(shí)間序列，這些時(shí)間序列具有一些典型特征。時(shí)間序列的預(yù)測(cè)技術(shù)就是通過對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的分析處理來研究其變化趨勢(shì)。時(shí)間序列的基本變動(dòng)。長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)： 指序列朝一定方向持續(xù)上升或持續(xù)下降，或停留在某一水平上的傾向。例如， 1950年至 2000 年我國(guó)人口數(shù)一直保持增長(zhǎng)的趨勢(shì)；2000年至 2005年人口數(shù)量穩(wěn)定在13 億。 。季節(jié)變動(dòng)：指在一年或更短的時(shí)間內(nèi)，由某種固定周期性因素（如

7、自然、生產(chǎn)、消費(fèi)等季節(jié)性因素）的影響而呈現(xiàn)出有規(guī)律的周期性波動(dòng)。例如，雅戈?duì)栁鞣匿N售量在春秋兩季較高，而在冬夏兩季較低。循環(huán)變動(dòng)：指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波型相似的波動(dòng)。 例如， 經(jīng)濟(jì)的過熱或經(jīng)濟(jì)的蕭條；股票市場(chǎng)大約每四年一次的牛市等。不規(guī)則變動(dòng)：由許多不可控的偶然因素（如戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害或其它社會(huì)因素等）和隨機(jī)變動(dòng)（即由大量隨機(jī)因素產(chǎn)生的宏觀影響）所共同作用的結(jié)果例如，黎巴嫩今年的經(jīng)濟(jì)因以色列突然入侵而蒙受重大損失；我國(guó)7 月份福建、浙江因臺(tái)風(fēng)遭受重大損失等。幾種常見的預(yù)測(cè)模型幾種常見的預(yù)測(cè)模型如果在預(yù)測(cè)時(shí)間范圍以內(nèi)，無突然變動(dòng)且隨機(jī)變動(dòng)的方差 2 較小，并且有理由認(rèn)為過

8、去到現(xiàn)在的歷史演變趨勢(shì)將繼續(xù)發(fā)展到未來，可以用如下一些經(jīng)驗(yàn)方法來進(jìn)行預(yù)測(cè)。? 。簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)模型：用現(xiàn)象的現(xiàn)在值作為其下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，即xt +1 = xt。移動(dòng)平均模型（滑動(dòng)平均， Moving Average Model ） ： 當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)出現(xiàn)某些不規(guī)則的變化，如特大值或特小值，用簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)法將會(huì)產(chǎn)生較大偏差，可以用前一段時(shí)間的觀察值的平均數(shù)來削弱不規(guī)則變化對(duì)預(yù)測(cè)的影響。設(shè)觀察值序列x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ，一次移動(dòng)平均模型為 x(1) t = 1 ( xt + xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n Copyright: Rongbao

9、 Gu, School of Finance, NanjingUniversity of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析? 我們用此值作為下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，即令xt +1 = x (1) t。 注： 1、移動(dòng)平均的特點(diǎn)是“修勻 ”原序列中的某些不規(guī)則變化而使之平滑化，并使趨勢(shì)傾向更加明顯。2、當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)是在某一水平上下波動(dòng)時(shí)，可以用移動(dòng)平均模型來作預(yù)測(cè)。3、當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)的基本趨勢(shì)與某一線性模型相吻合時(shí)，常采用二次移動(dòng)平均模型，即1 (1) ? x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt+ x (1) t ?1? ? ? + x (

10、1) t ?( n?1) ) 。 n 4、當(dāng)預(yù)測(cè)目標(biāo)同時(shí)存在線性趨勢(shì)和周期波動(dòng)時(shí)，可用趨勢(shì)移動(dòng)平均模型 ? xt + j = at + bt j ， j = 1,2,? ? ? ? ? 其中： at = 2 x (1)t ? x ( 2 )t， bt = 2 ? ? ( x(1) t ? x ( 2) t )， n 為周期長(zhǎng)度。該模型在數(shù)n ?1 據(jù)處理中常用來作為預(yù)處理，消除周期波動(dòng)和減弱隨機(jī)干擾的影響往往是有效的。 。指數(shù)平滑模型（ Exponential SmoothingModel ） ： 觀察移動(dòng)平均模型可知，我們實(shí)際上是作了以下兩個(gè)假定：（ 1）下一期的預(yù)測(cè)值只與前n期的歷史數(shù)據(jù)有

11、關(guān)，而與前n 期以前的歷史記錄無關(guān)；（ 2）前 n 期的歷史數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值的影響是相同的，即都加權(quán)數(shù) 1 n 。 然而，這兩條假定是存在一定缺陷的：假定（1）限制我們不能充分利用數(shù)據(jù)帶來的信息；假定（2）與實(shí)際情況不相符合，因?yàn)橐话阏f來距離預(yù)測(cè)期越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)的影響應(yīng)當(dāng)越小。為了克服移動(dòng)平均模型的缺點(diǎn)，更好地符合實(shí)際情況，我們應(yīng)當(dāng)對(duì)各期的觀察值依時(shí)間的順序進(jìn)行加權(quán)平均來作為預(yù)測(cè)值。設(shè)觀察值序列為x1 , x 2 ,? ? ?, x n ,? ? ? ， 由移動(dòng)平均模型有1 ( xt +xt ?1 + ? ? ? + xt ?( n ?1) ) n 1 1 1 = xt+ ( xt ?1 + ?

12、 ? ? + xt ?( n ?1) + xt ? n ) ? xt ? n n n n 1 1 =xt + x (1) t ?1 ? xt ? n n n 1 如用 x (1) t ?1代替 xt ?n ，并記 = ，則上式可以寫成n x (1)t = x (1) t =+ (1?xt ) x (1) t ?1一般地，一次指數(shù)平滑模型為 S (1 ) t =+(1x ?t ) S(1 ) t ?1 Copyright: Rongbao Gu,School ofFinance, NanjingUniversityof Finance and.Economics, 2006 金融時(shí)間序列分析其中

13、 （0 0 ， l =0。例2設(shè)高斯白噪聲xt ，由例 1已經(jīng)算得? 2 ,若 l = 0 ( ) = Cov( xt +l,xt) = ? 0, 若 l 0故高斯白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為： ( 0) = 2 (l ) = 若? ?1,l= 0。 ?0, 若 l 0例 3 設(shè) X 是隨機(jī)變量， Var(X)=。記2x1 = x 2 = ? = X，則時(shí)間序列xt 有 (l ) = Cov( xt , xt +l ) = Cov( X , X )= 2，又 (0) =。所2以對(duì)任意 l ，1 (l ) = 1 。 Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance, Na

14、njing University of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析注：例 3的結(jié)論表明時(shí)間序列xt 具有極強(qiáng)的相關(guān)性。實(shí)際上，該序列的每一項(xiàng)是相同的，因而也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 與例2 比較可知， 白噪聲是另一個(gè)極端的情形。樣本自相關(guān)函數(shù) （ ACF ）假定有樣本xt T=1，則 xt 的間隔為1的樣本自 t相關(guān)系數(shù)為? 1 = (x t =1 T t ?x )( xt ?1 ? x ) t (x t =1一T般?地x)，2xt 的間隔為l的樣本自相關(guān)系數(shù)定義為T ? l = t = l+1 (x t ? x )( xt ? l ? x ) , t (x t

15、 =1 T 0 注： 1、若l Txt?1 ? x)是獨(dú)2?立同分布 (iid) 序列，且E ( xt ) q， l 漸近地服從均值為0、方差為 (1 + 2 i ) / T 2 1i=q的正態(tài)分布 （見 Box, Jenkins和Reinsel(1994) ） 。 ? 3、對(duì)于有限樣本， l 是 l 的有偏估計(jì)。T事實(shí)上，若記?l = ( xt ? x )( xt ?1 ? x ，)稱其為樣本自協(xié)方差。因?yàn)閷?duì)于t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, NanjingUniversity of Finance and Economics, 2

16、006金融時(shí)間序列分析0 l 0階滑動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為MA(q) 模型。 注： 1、 MA模型是用白噪聲序列組成的一個(gè)加權(quán)平均；2、MA 模型具有許多吸引人的特點(diǎn)，包括簡(jiǎn)單的均值和自協(xié)方差結(jié)構(gòu)。MA 模型性質(zhì)。MA(1) 模型的均值和方差2 E ( xt ) = 0， Var ( xt ) = (1 + 12 )對(duì)a MA(1) 模型： xt = at ? 1a t ?1，兩邊取期望可得E ( xt ) = 0；兩邊取方差可Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance, Nanjing University of Finance and Economics,

17、2006金融時(shí)間序列分析得 2 2 2 Var( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) ? 2+ 1E12(atE (at t2?1) )=+ 12a a =+(1 12 )。 a一般地，我們有如下命題：命題3.1對(duì) MA模型，我們有 (1) MA模型是零均值的；(2)MA(q) 模型的方差為2 Var ( xt ) = (1+ 12+ ? + q2 )。 a 。 MA模型的平穩(wěn)性因?yàn)?E( xt ) = 0，且 MA模型總是弱平穩(wěn)的?？?Cov( xt , xt ?l ) = E ( xt xt ?l ) = E (at at ?l ) ? E (at ?1at ?l )

18、 + E (at at ?l ?1 ) + 1 E (at ?1 at ?1?l ) 2 2 ? 2 1。 la1=? ?。MA(1)0l=1.模型的自相關(guān)函數(shù)在 MA(1)模型 0 = 1 ， 1 = ?，1l = 0 對(duì) l 1 1 + 12 xt = at ? 1a t ?1。 兩端同乘以xt ?l，得 xt ?l xt = xt ?l a t ? 1，xt ?l利a用t ?1MA(1) 模型的遞推性質(zhì)，將上式右端用白噪聲表示，有 xt ?l xt = xt ?l at ?1 (at ?l ?1 at ?l ?1 )at ?1 = xt ?lat ? 1 at t?l?1a + 1 at

19、 ?l ?1 at ?1 2兩邊取期望，得 l = E ( xt ?l at ) ? 1 E +(a t ?l a t ?1 ) 12 E (a t ?l ?1 at ?1 ) 2 ?由1于 aVar=? ?( xt0 2) = (1+ 12 )，a故 l =1 l 1 0 =1 ， 1 = ?，1 l = 0 對(duì) l 1。 1 + 12 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時(shí)間序列分析類似的計(jì)算可以得到（請(qǐng)同學(xué)自己驗(yàn)證）： 。MA(2) 模型的

20、自相關(guān)函數(shù)對(duì) MA(2) 模型 xt = at ?1 at ?1 ? 2 at ?2 ，有 0 = 1 ， 1 = ? +1 1 2 ? ， 2 2 =， l = 0 對(duì) l 2 。 2 2 1 + 1+ 21 + 12+ 22注： 1、上述自相關(guān)函數(shù)式表明：MA(1) 模型的自相關(guān)函數(shù)在間隔為1 以后是截 尾的； MA(2) 模型的自相關(guān)函數(shù)在間隔為2 以后是截尾的；一般地，對(duì) MA(q) 模型有 q，0但對(duì) l q 有 l = 0 ，即 MA(q) 模 型 的自相關(guān)函數(shù)在間隔為l q 以后是截尾的。因此MA(q) 序列是一個(gè)“有限記憶 ”模型。 2、 某些金融時(shí)間序列有時(shí)會(huì)有正的均值 ?

21、，這時(shí)就應(yīng)當(dāng)是把這個(gè)常數(shù)均值? 添加入到模型中去， 使得 MA(q) 模型變?yōu)閤t= ? + a t ? 1 a t ?1 ? ? ?那么q，a通t?過q計(jì)算可以得到E ( xt ) = ? ，而方差和自相關(guān)系數(shù)均保持不變。例3.1 考慮 MA(1) 模型： yt = a t ? 11 a ，t?1通過計(jì)算（同學(xué)自己完成）可得 0 = 1 ， 1 = ? ，1l = 0 對(duì) l 1 。1 + 12 即與上面MA(1) 模型 xt =at ? 1a t 具?1有相同的自相關(guān)函數(shù)。問題： 問題： MA(1) 序列 xt 與 y t 具有相同的相關(guān)系數(shù)， 那么選擇哪一個(gè)模型更為合適呢？ 為回答這個(gè)問

22、題， 我們將白噪聲a t 分別用數(shù)據(jù)xt 與 y t 表示： at = xt + 1 at ?1 = xt+ 1 ( xt ?1+ 1 at ? 2 ) = xt + 1xt ?1 + 1 xt ?2+ ? 2 (1) (2) at = yt + 1 1 at ?1 = y +t 1 1 ( y t ?1+ 1 1 at ? 2 ) = yt+ 1 1 yt ?1 + 1 1 2 yt ?2+ ? 如果 | 1 | q 有 l = 0 ， 則 xt服從一個(gè) MA(q) 模型。 ?注：在實(shí)際問題中，我們是計(jì)算序列的樣本自相關(guān)函數(shù)，如果從某 q 以后 的樣本自相關(guān)函數(shù)顯著的小，則可以近似地視樣本自

23、相關(guān)函數(shù)在q 項(xiàng)以 后是截尾的，從而是q 階 MA 模型。第四節(jié)自回歸模型另一類常用的模型是自回歸模型。自回歸模型之所以有吸引力是因?yàn)樗c很傳統(tǒng)的線性回歸模型非常相像。美國(guó)芝加哥大學(xué)證券價(jià)格研究中心（CRSP）價(jià)值指數(shù)的月收益率rt具有統(tǒng) 計(jì)顯著的間隔為1 的自相關(guān)系數(shù)， 這表明延遲的收益率rt ?1在預(yù)測(cè)rt 時(shí)會(huì)有一定的作用，描述這樣的預(yù)測(cè)功能的模型就是所謂的一階自回歸模型。自回歸模型概念自回歸模型的英文為： Auto Regressive Model ，縮寫為： AR模型。 。 AR(p)模型 假定 a t 是均值為零、 方差為 a 的白噪聲序列， 則稱 2 xt = ?1 xt ?1

24、+ ? + ? p xt ?p + a t ， p 0為 p階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR(p) 模型。 注： 1、自回歸模型從形式上看與線性回歸模型很相似，但是，兩者又有顯著的不同。下面以一階自回歸模型為例來與一階線性回歸模型進(jìn)行比較：一階回歸模型：yi = bxi + i 一自回歸模型： xt = ?1 xt ?1+ at xi 是確定性取值，y i是隨機(jī)性變量值，xt 均是隨機(jī)變量Copyright:Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析一隨機(jī)變量對(duì)另一確定性

25、變量的依存一隨機(jī)變量對(duì)自身過去值的依存關(guān)系關(guān)系 靜態(tài)條件下研究 動(dòng)態(tài)條件下研究a t獨(dú)立， xt 之間有相關(guān)性無條件回歸 i ， y i皆是獨(dú)立的條件回歸二者之間的聯(lián)系：若固定時(shí)刻t ? 1且 xt ?1已知時(shí)， AR(1) 是一元線性回歸；而 當(dāng)我們用時(shí)間序列的過去 （滯后）值代替線性回歸模型的預(yù)測(cè)子后，就得到一個(gè)AR模型。因此我們有理由相信經(jīng)典回歸所導(dǎo)出的大部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以只作少量的修改就可以.推廣到 AR 情形。 2、 p 階自回歸模型反映了系統(tǒng)的p 期記憶性，或 p階動(dòng)態(tài)性質(zhì)，即，系統(tǒng) 的 t 時(shí)刻的狀態(tài)主要與該時(shí)刻之前的p 個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，而與t 時(shí)刻之 前p 個(gè)時(shí)刻以前的狀態(tài)無關(guān)

26、。3、模型中 xt是因變量， xt ?1 , ? , xt ? p 是解釋變量，? j表示 xt 對(duì) xt ? j 的依賴程度。4、對(duì) AR(1) 模型，在已知過去收益率rt ?1的條件下，我們有 E (rt | rt ?1 ) = ?1 rt ?1， Var (rt | rt ?1 ) = Var (at ) =， 2即a，給定過去收益率rt ?1 ，現(xiàn)在的收益率將以?1 rt ?1 為中心取值，離散程度以 a衡量。 2 AR 模型的性質(zhì) 。AR(1) 模型的均值 當(dāng) AR(1) 序列是弱平穩(wěn)時(shí)， 其均值為零， 即 E ( xt ) = ? = 0，?11 在 AR(1) 序列 xt = ?

27、1 xt ?1 + at 的兩邊取期望，得Copyright: Rongbao Gu, SchoolofFinance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析E ( xt ) = ?1E ( xt ?1 ) + E (a t ) 由弱穩(wěn)定性假設(shè)可知E ( xt ) = E ( xt ?1 ) = ?，以及對(duì)所有的 t， E (at ) = 0 ，我們有 ? = ?1 ? ，于是，當(dāng) ?1 1時(shí)有 E ( xt ) = ? = 0。 。AR(1) 模型的方差當(dāng)AR(1) 序列是弱平穩(wěn)時(shí)，其方差為Var ( xt ) =

28、將 AR(1) 模型寫為 a2， ?1 1 2 1 ? ?1 xt= a t + ?1 xt ?1 兩邊取方差，得(4.1) Var ( xt ) = E ( xt ) = E (at )+ 2?1 E ( xt ?1 at )+?12E( xt2?1 ) 2 2 (4.2) 為計(jì)算 E ( xt ?1 a t ) ，我們利用疊代方程 (4.1)，重復(fù)疊代可推得， xt =at + ?1a t ?1 + ?1 a t ? 2 + ? = ?1 at ?i 2 i i =0 (4.3)將（ 4.3）式兩邊同乘以a t +1 再取期望，得 E ( xt at +1 ) = ?1 E (a t ?i

29、 at+1 ) i i =0利用白噪聲序列a t 的獨(dú)立性，我們有E( xt at +1 ) = 0 。由式 (4.2)得 Var ( xt ) = ?1 Var ( xt ?1 ) + a。 2 2 Copyright: Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融時(shí)間序列分析在平穩(wěn)性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt ?1 )，故 a2 Var ( xt ) = 。 2 1 ? ?1 注： 類似等式E ( xt at +1 ) = 0的證明，可以得到等式

30、E ( xt ?l at ) = 0 ，這表明白噪聲 序列 a t 在 t時(shí)刻的噪聲 a t 與其以前各時(shí)刻的歷史記錄xt ?l是獨(dú)立的。 。AR(1) 模型的弱平穩(wěn)性由于 AR(1) 模型弱平穩(wěn)的條件之一是方差非負(fù)有限，即0 Var ( xt ) ， 所 以 ?1 1 ，即 | ?1 | 1 。于是，我們得到 2 命題 4.1 AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平穩(wěn)的必要條件是 | ?1 | 1 。 注：由命題4.1，我們可以推得：對(duì)AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at，若系數(shù) |?1|，1則該模型不是弱平穩(wěn)的。問題： 我們?nèi)绾闻袛?AR(1) 模

31、型 xt = ?1 xt ?1 + at是弱平穩(wěn)的呢？問題 事實(shí)上，我們可以證明：命題4.2 AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1+ at 是弱平穩(wěn)的 ?|?1|1。 。 AR(1) 模型的自相關(guān)函數(shù)當(dāng) AR(1) 序列是弱平穩(wěn)時(shí)（即|?1|?10 , ，由后一方程 l = ?1推l?1得 若 l = 0 若 l 0 l = ?1。l?1又因 0 = 1 ，故有 l = ?1 。 l注： 1、 AR(1) 模型的自相關(guān)系數(shù)從 0 = 1 開始以比率為?1 指數(shù)衰減，因此不能在任意有限間隔后截尾。（然而由于是一指數(shù)衰減，實(shí)際問題的計(jì)算時(shí)，也可以視為是截尾的。）2、?1為正時(shí)， 若 AR(

32、1) 模型的自相關(guān)函數(shù)圖在上方以?1比率指數(shù)衰減；?1若 為負(fù)時(shí)， AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)圖由上下兩個(gè)都以?1 比率衰減的圖形組成。2 ?1=0.8 的 ACF 圖：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University ofFinance and Economics,2006 金融時(shí)間序列分析?1 =0.8 的 ACF圖： 3、如果把一個(gè)常數(shù)? 0 加入到方程中，使得 AR(1) 模型變?yōu)?xt = ? 0 + ?1 xt ?1 + a t 仿照上面方法計(jì)算可得（請(qǐng)同學(xué)自己驗(yàn)證）：(4.4) Copyright: Rong

33、bao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics,2006 金融時(shí)間序列分析E ( xt ) = ? = a2， ?0Varl ( xt ) = ， l = ?1 ， l 021?11 ? ?1 這表明序列 xt的均值與常數(shù)項(xiàng) ? 0有關(guān)，而方差和自相關(guān)函數(shù)均保持不變。易見，.xt 的均值為零 ? ? 0 = 0。 為求方差，由上述均值公式可得?0=(1?1)?，代入 (4.4)得 xt ? ? = at + ?1 ( xt ?1 ? ? )利用此方程重復(fù)疊代可推得，xt ? ? = at + ?1 a

34、t ?1 + ?1 at ? 2+ ? = ?1 a t ?i 2 i i =0將 （ 4(4.5.5)） 式 兩 邊 乘 以 a t+1再取期望，并利用 序 列 a t 的 獨(dú) 立 性 ， 我 們 有 E( xt ? ? )a t +1 = 0 。由協(xié)方差定義，Cov( xt ?1 , at ) = E( xt ?1 ? ? )at = 0。故對(duì) （ 4.4） 式兩邊平方再取期望，可得 E( xt ? ? )2 = E?1 ( xt ?1 ? ? ) 2 + 2?1 ( xt ?1 ? ? )at + at 2 2即 Var ( xt ) = ?1 Var ( xt ?1 )+ a 2 2

35、2其中 a 是 a t的方差。在平穩(wěn)性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt ?1 )，故 a2 Var ( xt ) = 2 1 ? ?1 。AR(2) 模型的均值用類似上面的方法（請(qǐng)同學(xué)自己驗(yàn)證），可以證明均值 當(dāng)AR(2) 序列是弱平穩(wěn)時(shí)，其均值為E ( xt ) = ? = 0， ?1+?1 1 Copyright: Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析。AR(2) 模型的自相關(guān)函數(shù)由 AR(2) 模型 xt = ?1 xt ?1 +

36、? 2 xt ?2 + at兩端同乘以xt ?l，有xt ?l xt = ?1 xt ?l xt ?1 + ? 2 xt ?l xt ? 2 + at xt ?l (4.3)利用 AR(2) 模型的平穩(wěn)性以及E ( xt ?lat ) = E ( xt ?l a t ) ? ?E (a t ) = 0， l 0 ，對(duì)(4.3)式兩邊取期望， 得 l = ?1+ l?12 l ?2 ， （ l 0 ）稱為平穩(wěn) AR(2) 模型的矩方程。對(duì)上述矩方程兩邊同乘除以0 ， 我們可以得到平穩(wěn)AR(2) 時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù) l 滿足條件： l = ?1 l+?1 2 l ?2（ l 0 ）進(jìn)一步，有(1

37、) 0 = 1， 1 = ?1 ， l = ?1+l ?12 l ?2 +1 ?2 （ l 2）(2) 對(duì)間隔為 1的自相關(guān)函數(shù)，利用 0 = 1 以及 t的對(duì)稱性，有 1 = ?1+? 02 ?1= ?1 + ? 2 ，1 （ l 0）命題 4.3若 AR(2) 序列是弱平穩(wěn)的，則其自相關(guān)函數(shù)滿足二階差分方程 (1?1B?2B2)（l =l 0 0）其中 B是向后推移算子， 即 B l = l ?1。注： 對(duì)弱平穩(wěn) AR(2) 序列，我們沒能得到自相關(guān)函數(shù)的具體表達(dá)式，而僅得到了自相關(guān)函數(shù)所滿足的差分方程。 AR(2) 模型的特征方程與特征根上述自相關(guān)函數(shù)所滿足的差分方程決定了平穩(wěn)AR(2)

38、 時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)的特性，同時(shí)也決定了xt的預(yù)測(cè)方法。定義：與二階差分方程 (1?1B?2B2)對(duì)l= 0應(yīng) 的 二 次 多 項(xiàng) 式 為Copyright: Rongbao Gu, SchoolofFinance,Nanjing Universityof Finance and Economics,2006 金融時(shí)間序列分析x 2 ? ?1 x ? ? 2 = 0，稱為 AR(2) 模型的特征方程， 其解稱為 AR(2)模型的特征根。模型的特征方程，記 AR(2) 模型的特征根為1, 2 = ?1 +?124? 2 2 。(i) 若 ?12 + 4? 2 ，0則 1 和 2 均是實(shí)數(shù)， 此

39、時(shí)模型中二次差分方程能分解這表明AR(2) 模型可以看成兩個(gè)AR(1) 模型的疊加。此時(shí) xt成 (1? 1 B)(1 ?，2 的B)自相關(guān)函數(shù)是兩個(gè)指數(shù)衰減的混合。(ii)若 ?12+4?20，則 1 和 2 均是復(fù)數(shù)，xt 的自相關(guān)函數(shù)將呈現(xiàn)出減幅的正弦和余弦的圖像。在經(jīng)濟(jì)和商業(yè)的應(yīng)用中，復(fù)數(shù)特征根是很重要的， 它們會(huì)導(dǎo)致商業(yè)環(huán)的出現(xiàn)。對(duì)于經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列模型來說，復(fù)數(shù)特征根是經(jīng)常出現(xiàn)的。 對(duì) AR(2) 模型而言， 若 出現(xiàn)一對(duì)共軛復(fù)特征根，則其隨機(jī)環(huán)的平均長(zhǎng)度為k =360 cos ?1 ?1 /(2 ? ? 2 )。 例 考慮美國(guó)的實(shí)際國(guó)民總產(chǎn)值（GNP）的嫉妒增值率，時(shí)間是從1947

40、年第二個(gè) 季度到1991年的第一個(gè)季度?？梢院?jiǎn)單利用AR(3) 模型來分析，用 rt表示增長(zhǎng)率，建立模型為：? rt = 0.0047 + 0.35rt ?1 + 0.18rt ? 2 ? 0.14rt ?3 + a t， a = 0.0098 改寫成 rt ? 0.35rt ?1 ? 0.18rt ? 2+ 0.14rt ?3 = 0.0047+ a t得到對(duì)應(yīng)的三階差分方程1?0.35B?0.18B2 +0.14B3=0 將方程分解為(1 + 0.52 B )(1 ? 0.87 B+0.27B2)= 0 第一個(gè)因子(1+0.52B)表示所考慮的GNP增長(zhǎng)率大體上呈指數(shù)衰減；對(duì)第二個(gè) 因子

41、1 ? 0.87 B + 0.27 B 2 = 0 ，有 ?12 + 4? 2 = ?0.323 0 。因此，這個(gè) AR(3) 模型的 第二個(gè)因子說明美國(guó)的實(shí)際GNP 的嫉妒增長(zhǎng)率中存在隨機(jī)商業(yè)環(huán)。這一點(diǎn)是合理的，因?yàn)槊绹?guó)經(jīng)濟(jì)經(jīng)歷了膨脹和緊縮期。隨機(jī)環(huán)的平均長(zhǎng)度大約為k=360cos ?1 /(2 ? ? 2 )?1 =10.83(季度 ) Copyright: Rongbao Gu,SchoolofFinance, NanjingUniversityofFinance andEconomics, 2006金融時(shí)間序列分析這大約為3 年。 若用一個(gè)非線性模型把美國(guó)經(jīng)濟(jì)分解成 “膨脹期 ”和 “

42、緊縮期 ” ，數(shù)據(jù)將表明緊縮期平均長(zhǎng)度大約為三個(gè)季度，而膨脹期的平.均長(zhǎng)度為 3 年。 10.83 個(gè)季度 是這兩個(gè)平均長(zhǎng)度的折中。AR(2) 模型的弱平穩(wěn)性 命題4.4AR(2) 模型 xt = ?1 xt ?1 + ? 2 xt ?2 + at 是弱平穩(wěn)的條件是其兩個(gè)特征根 i 的模都小于1，即 | 1 | 1， | 2| 0 ，對(duì) 上式兩邊取期望，得 l = ?1+ l?12 l ? ，2l 0 ） Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance andEconomics, 2006 金融時(shí)間

43、序列分析兩邊同乘除以0 ，得 l = ?1 l ?1 + ? 2 l?2（ l 0 ）即 l 滿足二階差分方程(1?1B?2B2) l = 0 。 AR(p) 模型 均值 當(dāng)AR(p) 序列是弱平穩(wěn)時(shí)，其均值為E ( xt ) =0 ， ?1 + ? + ? p 1 特征方程x p ? ?1 xp ?1 ? ? ? ? p = 0 平穩(wěn)性條件 特征根 i 的模皆小于1，即 | i | l = 00 ）模型的 識(shí)別 AR模型的階AR 模型的階的識(shí)別并不像MA模型直接利用其自相關(guān)函數(shù)那么簡(jiǎn)單，需要所謂的偏自相關(guān)函數(shù)而偏自相關(guān)函數(shù)的引入比較麻煩且不容易理解， 偏自相關(guān)函數(shù)。我們留在 偏自相關(guān)函數(shù)下一

44、章再去介紹。第五節(jié) 簡(jiǎn)單的 ARMA模型 在有些應(yīng)用中， 為了把握較復(fù)雜現(xiàn)象的時(shí)間序列，我們需要高階的MA模型或AR模型才能充分地描述數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，這樣就會(huì)有多個(gè)參數(shù)需要估計(jì)，問題就變得復(fù)雜起來。為避免由此帶來的困難， 人們想到 AR模型與 MA 模型結(jié) 合起來， 這就是自回歸滑動(dòng)平均模型（見Box, Jenkins和 Reinsel(1994)） 。 自回歸滑動(dòng)平均模型概念自回歸滑動(dòng)平均模型的英文為： Auto Regressive and Moving Average Model,簡(jiǎn)記為： ARMA模型。 。ARMA(p,q) 模型 假定 a t 是均值為零、 方差為 a 的白噪聲序列，

45、 則稱 2 xt = ?1xt ?1 + ? + ? p xt ? p + a t ? 1 at ?1 ? ? ?為ARMAqat? q（ p,q）模型。 注：金融中的收益率序列，直接用ARMA模型的機(jī)會(huì)較少。然而，ARMA模型 Copyright: Rongbao Gu,School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析的概念與波動(dòng)率建模有密切聯(lián)系。事實(shí)上，推廣的自回歸條件異方差（ GARCH ）模型就可以近似地認(rèn)為是關(guān)于序列at 的 ARMA 模型。 ARMA(1,1) 模型的性質(zhì) 模型的

46、性質(zhì)。ARMA(1,1) 模型的均值2當(dāng) ARMA(1,1) 序列 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at 是?1弱平穩(wěn)時(shí)，其均值為零， 即 E ( xt ) = ? = 0 ， ?1 1在 ARMA(1,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at ?1的兩邊取期望，得 E ( xt ) ? ?1 E ( xt ?1 ) = E (a t ) ?由1E弱(a平t穩(wěn)?1性)可知：對(duì)所有的t ， E ( xt ) = E ( xt ?1 ) = ?。又由 E (a t ) = 0 ，我們有?1?=0 。于是，當(dāng) ?1 1時(shí)有 E ( xt ) = ? = 0 。注

47、：一般地，當(dāng)序列是弱平穩(wěn)時(shí)，ARMA(1,1)模型與 AR(1) 模型具有相同的期 望值。 。ARMA(1,1)模型的方差當(dāng) ARMA(1,1)序列是弱平穩(wěn)時(shí)， 其方差為 2(1 ? 2?1 + 1 12 ) a Var ( xt ?1 ，)= ?1 1 1 ? ?12在 ARMA(1,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at ?1的兩端乘以a t 再取期望， 得 2 E ( xt at ) = ?1 E ( xt ?1 at ) + E (at ) ? 1 E (at ?1 at )= a 2 (5.1)再在模型 xt = ?1 xt ?1 + a t ? 1 at的?

48、1兩端取方差， 得 Var ( xt ) = E ( xt ) = E(?1 xt2?1 + at2 + 12 at2?1+ 2?1 xt ?1at ? 2?1 1 xt ?1 at ?1 ? 2 1at at ?1 ) 2 2 =+ ?1 E ( xt2?1 )E (at2 ) + 12 E (at2?1 ) ? 2?1( xt ?1atE ?1 ) 2 2 2 2 = ?1 Var ( xt ?1 )+ a+ 12 a ?2?1 1 a （2由 a t 與 xt ?1 不相關(guān)及 (5.1)） Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,Nanjing

49、UniversityofFinance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析所 以 2 Var( xt ?1 ) ? ?1 Var ( xt ?1 ) = (1 ? 2?1+ 12 ) a2當(dāng)1序列 xt 平穩(wěn)時(shí)，有 Var ( xt ?1 ) =.Var ( xt ?1 )，故當(dāng) ?12 1時(shí)，有 2 (1 ? 2?1+ 1 12 ) ar V( xt ?1 ) =。 1?12。ARMA(1,1) 模型的平穩(wěn)性由于 ARMA(1,1)模型弱平穩(wěn)的必要條件之一是方差是非負(fù)有限的，即 0 Var ( xt ) ，所以 ?11，即 | ?1 | 1 。于是，我們又有2 命題 5.

50、1 AR(1)模型 xt = ?1 xt ?1 + at 是弱平穩(wěn)的必要條件是|?1| qCopyright:Rongbao Gu, School ofFinance,Nanjing UniversityofFinance and Economics,2006 金融時(shí)間序列分析由 MA(q)模型 xt = at ? 1 at ?1 ? ? ?顯見q。a t 。?qAR(1).模型的格林函數(shù)G j = ?1j ， j = 0,1,2, ?由AR(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at改寫為 (1?1B)xt = at，解出 xt得 1 1 ? ?1 B xt = a t = (1+ ?

51、1 B + ?12 B 2 + ?)a t = at + ?1 at ?1 + ?12 at ? 2+ ? = ?1j at ? j j =0 所以 G j= ?1j 。 注：對(duì)于 AR(1) 模型，如果 | ?1 | 1 ，則當(dāng) j 時(shí)， G j 0，即系統(tǒng)在充分長(zhǎng)時(shí)間后將恢復(fù)到它的平衡位置（期望為零）。這從另外一個(gè)角度導(dǎo)出了AR(1) 模 型平穩(wěn)的條件。ARMA(2,1)模型的格林函數(shù)? ? ? ? ? 1 ? j G j = ? 1 1 ?+ ? 2 ? 1j ? ? ? ? ，j =?0,1,2,? ? ? 1 2 ? ? 2 1 ? 其中 1 ， 2 為模型的AR多項(xiàng)式的兩個(gè)根。由

52、ARMA(2,1)模型 xt = ?1 xt ?1 + ? 2 xt ? 2 + a t ? 1 at ?1 改寫為 (1 ? ?1 B ? ? 2 B 2 ) xt = (1 ?， 解出1 B xt)at得 xt = 1 ? 1 B at 1 ? ?1 B ? ?2B2（*） 若 ARMA(2,1) 模型有特征根 1 與 2 ，即其自回歸多項(xiàng)式有分解式：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,NanjingUniversityofFinance and Economics,2006 金融時(shí)間序列分析1?1B?2B2=(1? 1 B)(1 ?，2 則B

53、)（* ）可以作部分分式分解 xt = ? ? 1 ? 1 B ? 1 1 1 ? +at2=?at1 21 1 ? ?1 B ? ? 2 B ?1 ? 2 1 ? 1B 2 ? 1 1 ? 2 B ? ? ? =? 1 1 ? 1 ? 2 + 2? ? 1 j2j ?B ? at j=0 B2 1 j =0 ? j 1 j ? 1 ?j?= ? 1 +1 2 1j2 at ? j 2 ? 1 ? j = 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 所以，1? Gj j = ? 1 1 ?+? 1j2 ? ? ? ? ? 。? ? 12 2? ? 2 1 ? 注 ：對(duì)于 ARMA(2,1)模型

54、，僅當(dāng)兩個(gè)特征根的模均小于1 時(shí)，即| 1 | 1且 | 2 | 1，才有 G j 0 ， j ，即系統(tǒng)是平穩(wěn)的。 如果兩個(gè)特征根有一個(gè)模大于1，將導(dǎo)致 G j發(fā)散，系統(tǒng)就不平穩(wěn)了。例 1 判定 ARMA(2,1) 模型 xt = 1.3 xt ?1 ? 0.4 xt ? 2+ a t ? 0.4a t ?1的平穩(wěn)性，并計(jì)算它的格林函數(shù)求解該模型的AR 多項(xiàng)式 w 2 ? 1.3w+0.4=0的根，得 w1 = 0.8， w2 = 0.5 。 由于兩個(gè)特征根均是小于1 的正數(shù)，所以該模型是平穩(wěn)的。將特征根 w1 = 0.8， w2 = 0.5 代入格林函數(shù)計(jì)算公式有Gj = 0 .8 ? 0

55、.4 0 .5 ? 0 .4 1 0 .8 j + 0 .5 j =( 4 0.8 j ? 0 .5 j ) 0 .8 ? 0 .5 0 .5 ? 0 .8 3于是 1G0= (4 1?1)=13Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,NanjingUniversityofFinance and Economics,2006 金融時(shí)間序列分析1G1=(4 0.81 ? 0.51 ) = 0.9 3 G2 = 1(40.82 ? 0.5 2 ) =0.77 3 1 G3 = (40.8 3 ? 0.5 3 ) = 0.641 3。 。 由此可見，該模型的

56、格林函數(shù)呈現(xiàn)快速下降的趨勢(shì)。 逆函數(shù) （ I 函數(shù)） 逆函數(shù)刻畫的是時(shí)間序列模型的對(duì)于過去時(shí)刻記錄 xt 的 記憶性。 由 ARMA模型 ? ( B) xt = ( B)at解出 at，得 ? ( B) xt ( B) at =用多項(xiàng)式除法，可得at = (1 ? I 1 B ? I 2 B 2+ ?) xt = (? I j ) B j xt = (? I j ，)xt I?0j ?1 j =0 j =0 或 xt(*)= I j xt ?+j a t j =1式中的系數(shù)I j稱為逆函數(shù)。注： 1、利用逆函數(shù)， 把 xt表示為過去所有歷史時(shí)刻的xt ? j 對(duì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的影響。即系統(tǒng)對(duì)于過去

57、所有歷史時(shí)刻的xt的記憶性。因此，我們可以用一個(gè)AR 模型來逼近 xt的行為。這種表達(dá)形式稱為 “逆轉(zhuǎn)形式 ”。2、 (*) 式也說明了白噪聲序列可以由時(shí)間序列的加權(quán)平均來表示。 。AR(1)模型的逆函數(shù)I 0 ?1， I 1 = ?1 ， I j = 0， j 2 Copyright: RongbaoGu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析 由 A R(1) 模型 xt = ?1 xt ?1 + at 顯見。 。MA(1)模型的逆函數(shù)I j = ?，1j j = 0,1,2

58、, ?由 MA(1) 模型 xt = at ?1a t ?1改寫為 xt = (1 ?1 B )a，t解出 a t 得 1 1 ? 1 B at = xt =(1 + 1 B+ 12 B 2 + ?) xt = xt+ 1 xt ?1 + 12 xt ? 2 + ? = 1j xt ? j j =0所以 Ij= ? 1j。 。 ARMA(1,2)模型的逆函數(shù)? v ? ?1 ? j ? v 2 ? ?1 ? j I j = ? 1 ? v ? v ?v1 ? ? v ?v ?v 2 ? ? ? ? 1 2? ? 2 1?其中 v1， v 2為模型的MA 多項(xiàng)式的兩個(gè)根。（請(qǐng)同學(xué)自己驗(yàn)證） 注：

59、由上述結(jié)論看出： AR(1) 模型和 MA(1) 模型的格林函數(shù)和逆函數(shù)之間具有如下的對(duì)偶關(guān)系， 即 格林函數(shù) AR(1)逆函數(shù) I0=?1， I 1 = ?1 ， I j = 0 ， j 2 G j = ?1j G0= 1 ，G1 = ? 1， G j = 0 ， j 2 MA(1) I j = ?觀察表1j格可以看出：AR(1) 的 G j與MA(1) 的 I j形式一樣， 僅是符號(hào)相反， 參 數(shù)互換。 一般地， 用 ? I j 代替 G j ，用 ?代替 ， 代替 ? ，且用 AR 多項(xiàng)式 w的根代 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance,.Na

60、njing University of Finance and Economics, 2006金融時(shí)間序列分析替 MA多項(xiàng)式的根v ，即可實(shí)現(xiàn)各類林函數(shù)與逆函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。（請(qǐng)同學(xué)通過計(jì)算 ARMA(1,2)模型的格林函數(shù)和 ARMA(2,1)模型的逆函數(shù)，自己比較它們之間的對(duì)偶性質(zhì)。） 。 ARMA(p,q)模型的可逆性函數(shù) I j有界。 注：可逆性是對(duì)ARMA模型滑動(dòng)平均參數(shù)1 ， 2 ,?， q所施加的一種約束條件。由 ARMA(1,2)模型的逆函數(shù)I j與其 MA多項(xiàng)式的兩個(gè)根v1 ， v 2 的關(guān)系式可知，該模型可逆的條件為：| v1 | 1 ， | v 2 | 1。 一般地，ARM