二階非齊次微分方程

1、二階非齊次微分方程第1頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日一、 型設(shè)非齊方程特解為代入原方程第2頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.第3頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日特別地第4頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日例1解特征方程特征根對應(yīng)齊次方程通解代入方程, 得原方程通解為第5頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日求通解解特征方程特征根齊通解即代入（*）式非齊通解為例2 第6頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)3

2、0分，星期日分別是 的實(shí)部和虛部可設(shè)輔助方程第7頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日由分解定理分別是以 為自由項(xiàng)的非齊次線性微分方程的特解第8頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程例3解對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為（取虛部）原方程通解為這種方法稱為復(fù)數(shù)法第9頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日例4解對應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程第10頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日所求非齊方程特解為（取實(shí)部）原方程通解為注意第11頁，共24頁，2022年，5

3、月20日，8點(diǎn)30分，星期日例5解對應(yīng)齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為第12頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日例6 求通解解相應(yīng)齊方程特征方程齊通解先求 的特解設(shè)代入方程再求 的特解第13頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日考慮輔助方程可設(shè)代入方程得取實(shí)部得原方程的特解所求通解為第14頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日例7設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足求 u 的表達(dá)式解記 則第15頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日同理這是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解得第16頁，共24頁，2022年，5月2

4、0日，8點(diǎn)30分，星期日 一鏈條懸掛在一釘子上，起動時(shí)一端離釘子8米，另一端離釘子12米，若不計(jì)摩擦力，求此鏈條滑過釘子所需的時(shí)間下段重為解設(shè)時(shí)刻 t 鏈條下落了 x 米另設(shè)鏈條單位長重為則上段重為由Newton第二定律例8 第17頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日特征方程特征根齊通解特解故代入初始條件解得第18頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日三、小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解, 取特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解.第19頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日思考題寫出微分方程的待定特解的形式. 思考題解答設(shè) 的特解為設(shè) 的特解為則所求特解為特征根（重根）第20頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日練 習(xí) 題第21頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日第22頁，共24頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星