等比數(shù)列學(xué)案-1

1、等比數(shù)列學(xué)案第4課時(shí)等比數(shù)列的綜合應(yīng)用知能目標(biāo)解讀進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式.掌握數(shù)列求和的常用方法錯(cuò)位相減法重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和的理解及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.難點(diǎn)：錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.方法如下：設(shè)Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,當(dāng)q=1時(shí)，bn是常數(shù)列，Sn=b1=;當(dāng)q工1時(shí)，則qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=Sn=a1b1+b2+b

2、3+bn?-anbn+仁a1b1+d?-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=中,如果令A(yù)=那么Sn=.若Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=Aqn-A,則數(shù)列an是在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和.當(dāng)q=-1且為偶數(shù)時(shí)，S,S2-S,S3-S2;當(dāng)qz-1或?yàn)槠鏀?shù)時(shí)，數(shù)列S,S2-S,S3-S2.答案1.Aqn-A等比數(shù)列不是等比數(shù)列是等比數(shù)列思路方法技巧命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1等比數(shù)列an,已知a仁5,a9a10=100,求a18;在等比數(shù)列bn中，b4=3,求該數(shù)列前七項(xiàng)之積；在等比數(shù)列an中，a2=-2,a5=54,求a8.分析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知

3、：與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)積等于首末兩項(xiàng)的積，與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方.解析Ta1a18=a9a10,a18=20.b1b2b3b4b5b6b7=b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七項(xiàng)之積為3X3=37=2187.解法一：a8=a5q3=a5?=54X=-1458.解法二：a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，542=a8X.a8二1458.說(shuō)明本題的求解，主要應(yīng)用了等比數(shù)列的性質(zhì)，若,n,lN+且+n=+l,則a?an=a?al.由此可見(jiàn)，在等比數(shù)列問(wèn)題中，合理應(yīng)用性質(zhì)，可使解法簡(jiǎn)捷.變式應(yīng)用1已知an是等比數(shù)列，且a1a10=243,a4+a7=84,求all.解析Ta4

4、?a7=a1?a10,a4a7=243,a4=81a4=3又a4+a7=84,或a7=3a7=814=或q=3.a11=3q4=3X4=或al仁81X34=6561.命題方向與前n項(xiàng)和有關(guān)的等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題例2各項(xiàng)都是正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an，前n項(xiàng)的和記為Sn,若S10=10,S30=70,貝US40等于A.150B.-200C.150或-200D.400或-50答案A分析本題思路較為廣泛，可以運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程，確定基本量a1,q后求解，也可以應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.解析解法一：設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q,由題意知q工土1.=10由，=70由以上兩式相除得q20+q10-6=

5、0,解得q10=2或q10=-3,代入有=-10,S40=-10X=150.解法二：易知q工土1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比為q10的等比數(shù)列，則S30=S10+=S10+q10S10+q20S10即q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3,S40=S10+=10=150.解法三：運(yùn)用性質(zhì)S+n=S+qSn求解，S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10從而有q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3.S40=S30+q30S10=70+8X10=150.解法四：易知q工土1,=,q20+q10-6=0,解得q10

6、=2或q10=-3.又=，所以S40=150.說(shuō)明在與等比數(shù)列的和有關(guān)的問(wèn)題中，合理應(yīng)用和的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題的解法二運(yùn)用了當(dāng)qz-1時(shí)，數(shù)列S,S2-S,S3-S2,仍成等比數(shù)列，公比為q,解法三運(yùn)用了等比數(shù)列的性質(zhì)：S+n=S+qSn解法四運(yùn)用了等比數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)qz1時(shí)，=.變式應(yīng)用2等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S5=10,S10=20,則S15等于.答案30解析Tan為等比數(shù)列，S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列，=S5,即100=10,解得S15=30.探索延拓創(chuàng)新命題方向錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和例3求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,an-1的前n項(xiàng)和.分析由題設(shè)可知數(shù)

7、列的通項(xiàng)公式為an=?an-1,數(shù)列的每一項(xiàng)可分成兩個(gè)因式，前一個(gè)因式可構(gòu)成等差數(shù)列，后一個(gè)因式可構(gòu)成等比數(shù)列，故可選用錯(cuò)位相減法求和.解析當(dāng)a=1時(shí)，Sn=1+3+5+=n2.當(dāng)az1時(shí)，有Sn=1+3a+5a2+7a3+?an-1，aSn=a+3a2+5a2+7a4+an，-得，Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-an=1+-an,Sn=+.說(shuō)明一般來(lái)說(shuō)，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，公差為d;數(shù)列bn是等比數(shù)列，公比為q,則求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和就可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.變式應(yīng)用3求數(shù)列n?2n的前n項(xiàng)和Sn.解析TSn=1?21+2?22+3?23+n?2nSn=1?22+2?

8、23+?2n+n?2n+1-得-Sn=2+22+23+2n-n?2n+1=-n?2n+1=2n+1-2-n?2n+1,-Sn=2n+1+2.名師辨誤做答例4若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=an-1，貝擻列an是A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列c.可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列D.可能是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列誤解A由Sn=an-1，得an=an-1，則有=a-1，故選A.辨析錯(cuò)誤的原因在于：當(dāng)a=1時(shí)，an=0,an是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列，這是沒(méi)有理解等比數(shù)列中an工0而造成的.正解c由Sn=an-1,得an=an-1.當(dāng)a=1時(shí)，an=0,數(shù)列an為等差數(shù)列；當(dāng)az1時(shí)，=a-1,則數(shù)列an為

9、等比數(shù)列，故選c.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題若等比數(shù)列an滿足anan+1=16n，則公比為A.2B.4C.8D.16答案B解析本題考查了靈活利用數(shù)列的特點(diǎn)來(lái)解題的能力./an?an+1=16n,an-1?an=16n-1=q2=16q=4.在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5-a4=576,a2-a仁9,則a1+a2+a3+a4+a5的值是A.1061B.1023C.1024D.268答案B解析由題意得a4=576,a1=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.在等比數(shù)列an中，a1=1,公比|q|工1,若a=a1a2a3a4a5，則=A.9B.10C.11D.1

10、2答案c解析Ta1=1,a=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又a=a1q-1=q-1,q-仁q10,-1=10,=11.二、填空題若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+1+r,則r的值為.答案-2解析解法一：a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4,a3=S3-S2=16+r-8-r=8,又an為等比數(shù)列，-a22=a1a3,16=8,r=-2.解法二：Sn=2n+1+r=2?2n+r,數(shù)列an為等比數(shù)列，Sn=A?qn-A=2?2n+r,r=-2.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為.答案-2解析Sn+1,Sn,

11、Sn+2成等差數(shù)列，-2Sn=Sn+1+Sn+2+=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,=-2,q=-2.三、解答題設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2,a3=a2+4.求an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和Sn.分析問(wèn)設(shè)出公比q,由已知建立有關(guān)q的方程，求出公比q,寫(xiě)出通項(xiàng)公式.甲分組求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得A.3B.4C.5D. Sn.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1q=2an=a1?qn-1=2?2n-1=2n數(shù)列b

12、n=1+2=2n-1Sn=+nX1+x2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.點(diǎn)評(píng)此題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比數(shù)列的公比為正數(shù)，此題屬基礎(chǔ)保分題.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題已知等比數(shù)列an中，an=2x3n-1,則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和為A.3n-1B.3c.D.答案D解析a2=6,q=9,Sn=.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,則公比q=答案BA. B.8C.9D.10解析T3S3=a4-2,3S2=a3-2,-3S3-3S2=a4-a3,-3a3=a4-a3,4a3=a4,=4,q=

13、4.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=?2n-1+a，則a的值為A.-B.-C.D.答案B解析TSn=?2n-1+a=?2n+a,又ISn=Aqn-A,-a=-.等比數(shù)列an的公比為，且S3=1,則S6等于A.B.c.D.答案B解析Iq=,S3=2a仁a1=1,a1=.S6=.數(shù)列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,，1+2+22+2n-1的前n項(xiàng)和Sn1020,那么n的最小值是答案D解析因?yàn)?+2+22+2n-仁=2n-1,所以Sn=21-1+22-1+2n-仁2n+1-n-21020,所以n的最小值為10.已知等比數(shù)列an中，公比q=,且a1+a3+a5+a99=60,則a1+a2+a

14、3+a100=A.100B.90C.120D.30答案B解析Ia2+a4+a6+a100=a1q+a3q+a5q+a99q=q=X60=30a1+a2+a3+a100=+=60+30=90.已知2a=3,2b=6,2c=12,則a,b,cA.成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B.成等比數(shù)列不成等差數(shù)列c.既成等并數(shù)列又.成等比數(shù)列D.既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列答案A解析解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b.解法二：2a?2c=36=2,a+c=2b,故選A.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a仁1,an+1=3Sn,

15、貝Ua6=A.3X44B.3X44+1C.45D.45+1答案A解析該題考查已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an+1的關(guān)系，求通項(xiàng)公式an.注意的問(wèn)題是用an=Sn-Sn-1時(shí)的條件.an+1=3Snan=3Sn-1-得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an即an+1=4an=4.當(dāng)n=2時(shí)，a2=3a仁3,=3工=4an為從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，且公比q=4,a6=a2?q4=3?44.二、填空題等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=3n+1+,則a1=.答案6解析a1=S1=9+,a2=S2-S1=27+-9-=18,a3=S3-S2=81+-27-=54,又an為等比數(shù)列，a22=a1a3,182

16、=54,解得=-3.a1=9+=6.0.實(shí)數(shù)，1,成等差數(shù)列，實(shí)數(shù)a2,1,c2成等比數(shù)列，則=.答案1或-+=2ac=1ac=-1解析由條件，得或，a2c2=1a+c=2a+c=-2=1或-.1.已知an是公比為q的等比數(shù)列，an0,=a5+a6,=a4+a7,則與的大小關(guān)系是.答案解析-=-=a4-a6=?a4?=-a420.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,關(guān)于數(shù)列an有下列三個(gè)命題：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an=an+1;若Sn=an2+bn,則an是等差數(shù)列；若Sn=1-n，則an是等比數(shù)列.這些命題中，正確命題的序號(hào)是.答案解析對(duì)于命題，易知它是各項(xiàng)不為零的常數(shù)數(shù)列，有an=a

17、n+1.對(duì)于命題，由Sn=an2+bn得an=b+a+?2a,當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式.an為等差數(shù)列對(duì)于命題，由Sn=1-n得an=2?n-1，當(dāng)n=1時(shí)也適合上式.故an為等比數(shù)列.三、解答題3.已知等比數(shù)列an中，a1=,公比q=.Sn為an的前n項(xiàng)和，證明：Sn=；設(shè)bn=log3a1+log3a2+Iog3an,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.分析問(wèn)先利用等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式求出an,Sn,再證明Sn=,第二問(wèn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和解析因?yàn)閍n=xn-1=,Sn=,所以Sn=.bn=log3a1+log3a2+Iog3an所以bn的通項(xiàng)公式為bn=-.點(diǎn)評(píng)本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1求證bn是等比數(shù)列；求an的通項(xiàng)公式.解析Tan+1=2an+1an+1+1=2，即bn+1=2bnb仁a1+1=2工0.bnz0,.=2,.bn是等比數(shù)列.由知bn是首項(xiàng)b1=2公比為2的等比數(shù)列，.bn=2x2n-1=2n，即an+1=2n.an=2n-1.一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).解析設(shè)