判斷三角形形狀的常用方法

1、 判斷三角形形狀的常用方法判定三角形的形狀，在數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，這類試題靈活多變，解決這類問題，要根據(jù)題目的特點，選用恰當?shù)姆椒?，它往往將代?shù)、幾何、三角等知識之間的聯(lián)系，用到的數(shù)學思想方法較多，具有一定的技巧，本文結(jié)合近幾年的各類數(shù)學競賽題，介紹判定三角形形狀的一些常用技法，供讀者參考。一、配方法例1.（2001年初二“希望杯”第二試）若ABC的三邊長是a、b、c,且滿足a4二b4,c4b2C2,b4二c4,a4C2a2,c4二a4,b4a2b2，貝iABC是（）鈍角三角形直角三角形等腰直角三角形等邊三角形解：由條件a4=b4,c4b2c2,b4=c4,a4C2a2,c4=a4,b4a2b

2、2，三式相加得a4,b4,c4a2b2b2C2C2a2=0配方得：12(a2b2)2+(b2c2)2+(c2a2)2=0因為a、b、c是三角形的邊長，所以a2b20,b2c20,c2a20得a=b=c，AABC為等邊三角形，故選D。例2.（2002年河南省初二數(shù)學競賽）ABC的三邊為a、b、c,且滿足TOC o 1-5 h za2,b2a,15b,3252x,則AABC是（）c2c直角三角形等腰三角形等邊三角形以上答案都不對解析：初看本題很難入手，先化簡條件等式，即去分母化簡整理得：4a2,4b2,13c28ac12bc0到此思路已經(jīng)明朗，配方得4(ac)2,(2b3c)20所以ac0且2b一

3、3c0a,b所以ABC是等腰三角形，故選B。二、因式分解例3.（2002年太原市初中數(shù)學競賽）已知a、b、c為三角形的三邊，且滿足a2,abacbc0,b2,bcbaca0,貝ABC是（）等腰三角形直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形或直角三角形解：把兩個條件等式各自因式分解得(ab)(a-c)，0(bc)(b-a)，0因為a0,b0,c0所以ab0,bc0所以a一c，0且b-a，0即a，b，c，故ABC是等邊三角形，選C三、利用解方程組例4.(2001年初二希望杯第一試)已知ABC中，B，60。,CZA,且(C)2，(A)2+(B)2,貝iABC的形狀是。解：因為B，60所以A+ZC，18

4、0B，120又(C)2，(A)2+(B)2所以(C+A)(C-A)，(B)2，3600所以CA，30所以C，75,A，45因此ABC是銳角三角形四、放縮法例5.(2001年武漢市初三數(shù)學競賽)ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c,貝這個三角形為(這三邊上的高依次為h、h、h，若ah,bh,abcabA.等邊三角形等腰非直角三角形直角非等腰三角形等腰直角三角形解：因為；ah，S2abh即ah，bhab又ah,bhab所以a2ah，bhh2,得ahb所以a，h,且C，Rtb所以bbc因此a，b且c，Rt即ABC是等腰直角三角形，故選D五、質(zhì)數(shù)分析法例6.(杭州市第三屆“求是杯”數(shù)學競賽

5、)銳角三角形中，三個內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)貝這樣的三角形()只有一個，且為等腰三角形至少有兩個，且為等腰三角形只有一個，但不是等腰三角形至少有兩個，其中有非等腰三角形解：設(shè)三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為、po、,所以+卩+,180o又、B、,都是小于90的質(zhì)數(shù)，、B、,中必有一個是偶質(zhì)數(shù)2,不妨設(shè)=2。,則卩+,178o，這兩個的度數(shù)必為89。，否則假設(shè)一個內(nèi)角為小于89。的質(zhì)數(shù)，則另一個角的度數(shù)將大于90o，與銳角三角形的條件矛盾，故三角度數(shù)為2。，89o，89o，選a。六、利用二次方程的判別式、韋達定理例7.(1987年“縉云杯”數(shù)學邀請賽試題)已知AABC的三邊a、b、c滿足b+c8，bca212a+52，試確定AABC的形狀。解：因為b+c8，bca212a+52所以b、c是方程x28x+(a212a+52)0的兩個根所以A824x(a212a+52)n0即(a6)20所以a60，即a68此時方程兩根相等bc-42x1所以AABC是等腰三角形例8.(中學生數(shù)學2002年第9期初三課外訓練題)1已知關(guān)于x的方程X22px+p2p+-0的兩