高中數(shù)學(xué)必修二 (教案)事件的相互獨(dú)立性

1、 6/6事件的相互獨(dú)立性【教學(xué)重難點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】相互獨(dú)立事件的概念理解相互獨(dú)立事件的概念及意義數(shù)學(xué)抽象相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概念能記住相互獨(dú)立事件概率的乘法公式；能綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式及獨(dú)立事件的乘法公式解題數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建?！窘虒W(xué)過程】一、問題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：1事件的相互獨(dú)立性的定義是什么？2相互獨(dú)立事件有哪些性質(zhì)？3相互獨(dú)立事件與互斥事件有什么區(qū)別？二、基礎(chǔ)知識1相互獨(dú)立的概念設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立2相互獨(dú)立的性質(zhì)若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq o(B,sup6()，eq o(A,sup6()

2、與B，eq o(A,sup6()與eq o(B,sup6()也都相互獨(dú)立名師點(diǎn)撥 （1）必然事件，不可能事件都與任意事件相互獨(dú)立（2）事件A，B相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)P（A）P（B）三、合作探究1相互獨(dú)立事件的判斷一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩，B一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩對下述兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：（1）家庭中有兩個(gè)小孩；（2）家庭中有三個(gè)小孩【解】（1）有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4個(gè)基本事件，由等可能性知概率都為eq f(1,4).這時(shí)A(男，女)，(女，男

3、)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P（A）eq f(1,2)，P（B）eq f(3,4)，P(AB)eq f(1,2).由此可知P(AB)P（A）P（B），所以事件A，B不相互獨(dú)立（2）有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為eq f(1,8)，這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件，AB中含有3個(gè)基本事件于是P（A）eq f(6,8)eq f(3,4)，P（B）eq f(4,

4、8)eq f(1,2)，P(AB)eq f(3,8)，顯然有P(AB)eq f(3,8)P（A）P（B）成立從而事件A與B是相互獨(dú)立的eq avs4al()判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法（1）根據(jù)問題的實(shí)質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件；（2）定義法：通過式子P(AB)P（A）P（B）來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，若上式成立，則事件A，B相互獨(dú)立，這是定量判斷. 2相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率王敏某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響

5、求：（1）這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；（2）這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率【解】 用A，B，C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件則P（A）0.8，P（B）0.7，P（C）0.9，所以P(eq o(A,sup10()0.2，P(eq o(B,sup10()0.3，P(eq o(C,sup10()0.1（1）由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P1P(eq o(A,sup10()BC)P(Aeq o(B,sup10()C)P(ABeq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()P（B）P（C）P（A）P(eq o(B,sup10()P（C）P（A）P

6、（B）P(eq o(C,sup10()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398（2）三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P21P(eq o(A,sup10()eq o(B,sup10()eq o(C,sup10()1P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()P(eq o(C,sup10()10.20.30.10.9941變問法在本例條件下，求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率解：恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為P3P(Aeq o(B,sup10()eq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()Beq o(C,sup10()P(eq o(A,sup1

7、0()eq o(B,sup10()C)P（A）P(eq o(B,sup10()P(eq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()P（B）P(eq o(C,sup10()P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()P（C）0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.0922變條件若一列火車正點(diǎn)到達(dá)記10分，用表示三列火車的總得分，求P(20)解：事件“20”表示“至多兩列火車正點(diǎn)到達(dá)”，其對立事件為“三列火車都正點(diǎn)到達(dá)”，所以P(20)1P(ABC)1P（A）P（B）P（C）10.80.70.90.496eq avs4al()與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概

8、率問題的求解策略明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義一般地，已知兩個(gè)事件A，B，它們的概率分別為P（A），P（B），那么：（1）A，B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件AB（2）A，B都發(fā)生為事件AB（3）A，B都不發(fā)生為事件eq o(A,sup10()eq o(B,sup10().（4）A，B恰有一個(gè)發(fā)生為事件Aeq o(B,sup10()eq o(A,sup10() B（5）A，B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件Aeq o(B,sup10()eq o(A,sup10()Beq o(A,sup10() eq o(B,sup10().它們之

9、間的概率關(guān)系如表所示：A，B互斥A，B相互獨(dú)立P(AB)P（A）P（B）1P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()P(AB)0P（A）P（B）P(A B)1P（A）P（B）P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()3相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租用時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足一小時(shí)的部分按一小時(shí)計(jì)算)有甲、乙兩人獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次)設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為eq f(1,4)，eq f(1,2)，超過兩小時(shí)但不超過

10、三小時(shí)還車的概率分別為eq f(1,2)，eq f(1,4)，兩人租車時(shí)間都不會超過四小時(shí)（1）求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)為甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和，求P(4)和P(6)的值【解】（1）由題意可得甲、乙兩人超過三小時(shí)但不超過四小時(shí)還車的概率分別為eq f(1,4)，eq f(1,4).記甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A，則P（A）eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(5,16).所以甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為eq f(5,16).（2）P(4)eq f(1,4)eq f(1,4)e

11、q f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(5,16)，P(6)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(3,16).eq avs4al()概率問題中的數(shù)學(xué)思想（1）正難則反靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P（A）P(eq o(A,sup6()1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法（2）化繁為簡將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系“所求事件”分幾類(考慮加法公式轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)（3）方程思想利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(

12、組)，通過解方程(組)使問題獲解四、課堂檢測1如圖，在兩個(gè)圓盤中，指針落在圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是( )Aeq f(4,9)Beq f(2,9)Ceq f(2,3) Deq f(1,3)解析：選A左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq f(4,6)eq f(2,3)，右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率也為eq f(2,3)，所以兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(4,9).2已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P（A）eq f(1,2)，P（B）eq f(2,3)，則P(Aeq o(B,sup10()_；P(eq o(A

13、,sup10() eq o(B,sup10()_解析：因?yàn)镻（A）eq f(1,2)，P（B）eq f(2,3).所以P(eq o(A,sup10()eq f(1,2)，P(eq o(B,sup10()eq f(1,3).所以P(A eq o(B,sup10()P（A）P(eq o(B,sup10()eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6)，P(eq o(A,sup10() eq o(B,sup10()P(eq o(A,sup10()P(eq o(B,sup10()eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6).答案：eq f(1,6) eq f(1,6)3某人忘記了電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴枺僭O(shè)撥過了的號碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：（1）第3次撥號才接通電話；（2）撥號不超過3次而接通電話解：設(shè)Ai第i次撥號接通電話，i1，2，3（1）第3次才接通電話可表示為eq o(A1,sup10()eq o(A2,sup10() A3，于是所求概率為P(eq o(A1,sup10()eq o(A2,sup10()A3)eq f(9,10)eq f(8,9)eq f(1,8)eq f(1,10).（2）撥號不超過3次而接通電話可表示為A1eq o(A1,sup10() A2eq