大學(xué)物理習(xí)題解析第八章

1、第八章電磁感覺(jué)電磁場(chǎng)81一根無(wú)窮長(zhǎng)平行直導(dǎo)線(xiàn)載有電流I，一矩形線(xiàn)圈位于導(dǎo)線(xiàn)平面內(nèi)沿垂直于載流導(dǎo)線(xiàn)方向以恒定速率運(yùn)動(dòng)（以以下圖），則（）A）線(xiàn)圈中無(wú)感覺(jué)電流B）線(xiàn)圈中感覺(jué)電流為順時(shí)針?lè)较駽）線(xiàn)圈中感覺(jué)電流為逆時(shí)針?lè)较駾）線(xiàn)圈中感覺(jué)電流方向沒(méi)法確立分析與解由右手定章可以判斷，在矩形線(xiàn)圈周邊磁場(chǎng)垂直紙面朝里，磁場(chǎng)是非均勻場(chǎng)，距離長(zhǎng)直載流導(dǎo)線(xiàn)越遠(yuǎn)，磁場(chǎng)越弱因此當(dāng)矩形線(xiàn)圈朝下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在線(xiàn)圈中產(chǎn)生感覺(jué)電流，感覺(jué)電流方向由法拉第電磁感覺(jué)定律可以判斷因此正確答案為（B）82將形狀完整相同的銅環(huán)和木環(huán)靜止擱置在交變磁場(chǎng)中，并假設(shè)經(jīng)過(guò)兩環(huán)面的磁通量隨時(shí)間的變化率相等，不計(jì)自感時(shí)則（）A）銅環(huán)中有感覺(jué)電流，木環(huán)中無(wú)

2、感覺(jué)電流B）銅環(huán)中有感覺(jué)電流，木環(huán)中有感覺(jué)電流C）銅環(huán)中感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)大，木環(huán)中感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)小D）銅環(huán)中感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)小，木環(huán)中感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)大分析與解依據(jù)法拉第電磁感覺(jué)定律，銅環(huán)、木環(huán)中的感覺(jué)電場(chǎng)大小相等，但在木環(huán)中不會(huì)形成電流因此正確答案為（A）83有兩個(gè)線(xiàn)圈，線(xiàn)圈1對(duì)線(xiàn)圈2的互感系數(shù)為M21，而線(xiàn)圈2對(duì)線(xiàn)圈1的互感系數(shù)為M12若它們分別流過(guò)i1和i2的變化電流且di1di22中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為121變化在線(xiàn)圈2中產(chǎn)生的互dtdt，并設(shè)由i變化在線(xiàn)圈1，由i感電動(dòng)勢(shì)為21，下述論斷正確的選項(xiàng)是（）（A）M12M21，2112（B）M12M21，2112（C）M12M21，2112（D）M12M21，2

3、112分析與解教材中已經(jīng)證明M21M12，電磁感覺(jué)定律21M21di1；12M12di2因此正確答案為（D）dtdt84對(duì)位移電流，下述四種說(shuō)法中哪一種說(shuō)法是正確的選項(xiàng)是（）A）位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng)B）位移電流和傳導(dǎo)電流相同是定向運(yùn)動(dòng)的電荷C）位移電流遵從傳導(dǎo)電流依照的所有定律D）位移電流的磁效應(yīng)不遵從安培環(huán)路定理分析與解位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng)變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)，在這一點(diǎn)位移電流等效于傳導(dǎo)電流，但是位移電流不是走向運(yùn)動(dòng)的電荷，也就不遵從焦耳熱效應(yīng)、安培力等定律因此正確答案為（A）85以下看法正確的選項(xiàng)是（）A）感覺(jué)電場(chǎng)是守舊場(chǎng)B）感覺(jué)電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)是一組閉合曲線(xiàn)C）mLI，因此線(xiàn)圈的自

4、感系數(shù)與回路的電流成反比D）mLI，回路的磁通量越大，回路的自感系數(shù)也必定大分析與解比較感覺(jué)電場(chǎng)的性質(zhì)，感覺(jué)電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)是一組閉合曲線(xiàn)因此正確答案為（B）86一死心上繞有線(xiàn)圈100匝，已知死心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為8.0105sin100tWb，求在1.0102s時(shí)，線(xiàn)圈中的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)分析因?yàn)榫€(xiàn)圈有N匝相同回路，線(xiàn)圈中的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)等于各匝回路的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，在此狀況下，法拉第電磁感覺(jué)定律平常寫(xiě)成Ndd，此中N稱(chēng)為磁鏈dtdt解線(xiàn)圈中總的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)Nd2.51cos100tdt當(dāng)t1.0102s時(shí)，2.51V87有兩根相距為d的無(wú)窮長(zhǎng)平行直導(dǎo)線(xiàn)，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以d

5、I的變化率增dt長(zhǎng)如有一邊長(zhǎng)為d的正方形線(xiàn)圈與兩導(dǎo)線(xiàn)處于同一平面內(nèi)，以以下圖求線(xiàn)圈中的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)分析本題仍可用法拉第電磁感覺(jué)定律d來(lái)求解因?yàn)榛芈诽幵诜蔷鶆虼艌?chǎng)中，磁通量就需用dtBdS來(lái)計(jì)算（此中B為兩無(wú)窮長(zhǎng)直電流單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B1與B2之和）S為了積分的需要，建立以以下圖的坐標(biāo)系因?yàn)锽僅與x相關(guān)，即BB(x)，故取一個(gè)平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的寬為x、長(zhǎng)為d的面元S，如圖中暗影部分所示，則dSddx，所以，總磁通量可經(jīng)過(guò)線(xiàn)積分求得（若取面元dSdxdy，則上述積分實(shí)質(zhì)上為二重積分）本題在工程技術(shù)中又稱(chēng)為互感現(xiàn)象，也可用公式EMMdl求dt解解1穿過(guò)面元S的磁通量為dBdSB1dSB2dS0I

6、0I2xdddx2ddxx所以穿過(guò)線(xiàn)圈的磁通量為2d0Id2d0Id0Id3ddxdxlnd2xdd2x24再由法拉第電磁感覺(jué)定律，有d0d3dIEd2lndtt4解2當(dāng)兩長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)有電流I經(jīng)過(guò)時(shí)，穿過(guò)線(xiàn)圈的磁通量為0dI32ln4線(xiàn)圈與兩長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)間的互感為0dln3MI24dl當(dāng)電流以變化時(shí)，線(xiàn)圈中的互感電動(dòng)勢(shì)為dtEMdI0dln3dIdt24dt試想：如線(xiàn)圈又以速率v沿水平向右運(yùn)動(dòng)，如何用法拉第電磁感覺(jué)定律求圖示地址的電動(dòng)勢(shì)呢？此時(shí)線(xiàn)圈中既有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，又有感生電動(dòng)勢(shì)設(shè)時(shí)刻t，線(xiàn)圈左端距右邊直導(dǎo)線(xiàn)的距離為，則穿過(guò)回路的磁通量BdSf1,，它表現(xiàn)為變量I和的二元函數(shù)，將代入Ed即可求解，求解

7、時(shí)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求Sdt導(dǎo)，注意，此中dv，再令d即可求得圖示地址處回路中的總電動(dòng)勢(shì)最后結(jié)果為兩項(xiàng)，此中一項(xiàng)為動(dòng)生dt電動(dòng)勢(shì)，另一項(xiàng)為感生電動(dòng)勢(shì)88有一丈量磁感強(qiáng)度的線(xiàn)圈，其截面積S4.0cm2、匝數(shù)N160匝、電阻R50線(xiàn)圈與一內(nèi)阻Ri30的沖擊電流計(jì)相連若開(kāi)始時(shí)，線(xiàn)圈的平面與均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B相垂直，而后線(xiàn)圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與B的方向平行此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測(cè)得電荷值q4.0105C問(wèn)此均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B的值為多少？分析在電磁感覺(jué)現(xiàn)象中，閉合回路中的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)和感覺(jué)電流與磁通量變化的快慢相關(guān)，而在一段時(shí)間內(nèi)，經(jīng)過(guò)導(dǎo)體截面的感覺(jué)電量只與磁通量變化的大小相關(guān)，與磁通量變化的快慢沒(méi)關(guān)工程中常經(jīng)過(guò)

8、感覺(jué)電量的測(cè)定來(lái)確立磁場(chǎng)的強(qiáng)弱解在線(xiàn)圈轉(zhuǎn)過(guò)90角時(shí)，經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈平面磁通量的變化量為21NBS0NBS所以，流過(guò)導(dǎo)體截面的電量為NBSqRRiRRi則qRRi0.050TBNS89以以下圖，一長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)中通有I5.0A的電流，在距導(dǎo)線(xiàn)9.0cm處，放一面積為0.10cm2，10匝的小圓線(xiàn)圈，線(xiàn)圈中的磁場(chǎng)可看作是均勻的今在1.0102s內(nèi)把此線(xiàn)圈移至距長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)10.0cm處求：（1）線(xiàn)圈中均勻感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)；（2）設(shè)線(xiàn)圈的電阻為1.0102，求經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈橫截面的感覺(jué)電荷分析固然線(xiàn)圈處于非均勻磁場(chǎng)中，但因?yàn)榫€(xiàn)圈的面積很小，可近似以為穿過(guò)線(xiàn)圈平面的磁場(chǎng)是均勻的，因此可近似用NBS來(lái)計(jì)算線(xiàn)圈在始、末兩個(gè)地址的磁鏈

9、解（1）在始、末狀態(tài)，經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈的磁鏈分別為1NB1SNIS,2NB2SNIS002r12r2則線(xiàn)圈中的均勻感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)為N0IS118E21.1110Vttr1r2電動(dòng)勢(shì)的指向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?）經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈導(dǎo)線(xiàn)橫截面的感覺(jué)電荷為Eddt810如圖（）所示，把一半徑為R的半圓形導(dǎo)線(xiàn)OP置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)以速率v水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線(xiàn)中感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)E的大小，哪一端電勢(shì)較高？分析本題及后邊幾題中的電動(dòng)勢(shì)均為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，除仍可由Ed求解外（一定想法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），dt還可直接用公式EvBdl求解l在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線(xiàn)元l上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)dEvBdl.在一般狀況下，上述

10、各量可能是l所在地址的函數(shù)矢量（vB）的方向就是導(dǎo)線(xiàn)中電勢(shì)高升的方向解1如圖（）所示，假想半圓形導(dǎo)線(xiàn)OP在寬為2R的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，二者之間形成一個(gè)閉合回路設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛?，任一時(shí)刻端點(diǎn)O或端點(diǎn)P距形導(dǎo)軌左邊距離為x，則2Rx12BR2即E2RvBd2RBdxdtdt因?yàn)殪o止的形導(dǎo)軌上的電動(dòng)勢(shì)為零，則E2RvB式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)OP段來(lái)說(shuō)端點(diǎn)P的電勢(shì)較高解2建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元l，則dEvBdlvBsin90ocosdlvBcosRdEdEvBR/2cosd2RvB/2由矢量（vB）的指向可知，端點(diǎn)P的電勢(shì)較高解3連接OP使導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)閉

11、合回路因?yàn)榇艌?chǎng)是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過(guò)回路的磁通量BS常數(shù).由法拉第電磁感覺(jué)定律Eddt可知，E0又因EEOPPOE即EOPEPO2RvB由上述結(jié)果可知，在均勻磁場(chǎng)中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零；而任意曲線(xiàn)形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線(xiàn)形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即賠償?shù)姆椒?11長(zhǎng)為L(zhǎng)的銅棒，以距端點(diǎn)r處為支點(diǎn)，以角速率繞經(jīng)過(guò)支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)與軸平行，求棒兩端的電勢(shì)差分析應(yīng)該注意棒兩端的電勢(shì)差與棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是兩個(gè)不一樣的看法，憂(yōu)如電源的端電壓與電源電動(dòng)勢(shì)的不一樣在開(kāi)路時(shí)，二者大小相等，方向相反（電動(dòng)勢(shì)的

12、方向是電勢(shì)高升的方向，而電勢(shì)差的正方向是電勢(shì)下降的方向）本題可直接用積分法求解棒上的電動(dòng)勢(shì)，亦可以將整個(gè)棒的電動(dòng)勢(shì)看作是OA棒與OB棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（）所示而EOA和EOB則可以直接利用第2節(jié)例1給出的結(jié)果解1如圖（）所示，在棒上距點(diǎn)O為l處取導(dǎo)體元l，則L-r1lBLEABABvBdllBdl2r-r2所以棒兩端的電勢(shì)差為UABEAB1lBL2r2當(dāng)L2r時(shí)，端點(diǎn)A處的電勢(shì)較高解2將AB棒上的電動(dòng)勢(shì)看作是OA棒和OB棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（）所示此中EOA1Br2,EOB1BLr222則EABEOAEOB1BLL2r2812以以下圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒OP，處于均勻磁場(chǎng)中，并繞OO軸以

13、角速度旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為，磁感強(qiáng)度B與轉(zhuǎn)軸平行求OP棒在圖示地址處的電動(dòng)勢(shì)d分析如前所述，本題既可以用法拉第電磁感覺(jué)定律E計(jì)算（此時(shí)一定構(gòu)造一個(gè)包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合dt回路，如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），也可用EvBdl來(lái)計(jì)算因?yàn)閷?duì)稱(chēng)性，導(dǎo)體OP旋轉(zhuǎn)至任何地址l時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與圖示地址是相同的解1由上分析，得EOPOPvBdlvBsin90ocosdlllsinBcos90odllB2ll1BL2sinLsind2由矢量vB的方向可知端點(diǎn)P的電勢(shì)較高解2假想導(dǎo)體OP為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO中的一部分，任一時(shí)刻穿過(guò)回路的磁通量為零，則回路的總電動(dòng)勢(shì)dE0EOPEPQEQOdt明顯，

14、EQO0，所以EOPEPQEQO1BPQ22由上可知，導(dǎo)體棒旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線(xiàn)數(shù)與導(dǎo)體棒等效后者是垂直切割的狀況813如圖（）所示，金屬桿AB以勻速v2.0ms1平行于一長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)挪動(dòng)，此導(dǎo)線(xiàn)通有電流I40A求桿中的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)，桿的哪一端電勢(shì)較高？分析本題可用兩種方法求解（1）用公式EvBdl求解，建立圖（a）所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元ldldx，該處的磁感強(qiáng)度B0I（2）用法拉第電磁感覺(jué)定律求解，需構(gòu)造一個(gè)包含桿AB在內(nèi)的閉合回2x路為此可假想桿AB在一個(gè)靜止的形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，如圖（）所示設(shè)時(shí)刻t，桿AB距導(dǎo)軌下端CD的距離為y，先用公式BdS求得穿過(guò)該回路的磁通量，再代入公式Ed，

15、即可求得回路的電動(dòng)勢(shì)，亦即本題桿中dtS的電動(dòng)勢(shì)解1依據(jù)分析，桿中的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)為EABvBdldxl1.1mIvln113.84105V式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)方向由B指向A，0vdx0AB0.1m2x2故點(diǎn)A電勢(shì)較高解2設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈稟BCD的正向，依據(jù)分析，在距直導(dǎo)線(xiàn)x處，取寬為x、長(zhǎng)為y的面元S，則穿過(guò)面元的磁通量為BdS0Iddyx2x穿過(guò)回路的磁通量為1.1m0Iydx0Iydln11S0.1m2x2回路的電動(dòng)勢(shì)為Ed0Iln11dy0Iy3.84105Vdt2xdt2因?yàn)殪o止的形導(dǎo)軌上電動(dòng)勢(shì)為零，所以EABE3.84105V式中負(fù)號(hào)說(shuō)明回路電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)AB導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電動(dòng)勢(shì)方

16、向應(yīng)由B指向A，故點(diǎn)A電勢(shì)較高814如圖（）所示，在“無(wú)窮長(zhǎng)”直載流導(dǎo)線(xiàn)的近旁，擱置一個(gè)矩形導(dǎo)體線(xiàn)框，該線(xiàn)框在垂直于導(dǎo)線(xiàn)方向上以勻速率v向右挪動(dòng)，求在圖示地址處，線(xiàn)框中感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向分析本題亦可用兩種方法求解此中應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1當(dāng)閉合導(dǎo)體線(xiàn)框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)框中的總電動(dòng)勢(shì)就等于框上各段導(dǎo)體中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和如圖（）所示，導(dǎo)體eh段和fg段上的電動(dòng)勢(shì)為零此兩段導(dǎo)體上到處滿(mǎn)足vBdl0，因此線(xiàn)框中的總電動(dòng)勢(shì)為EvBdlvBdlvBdlvBdlEefEhg其等效電路如圖（）所示efghefhg2用公式Ed求解，式中是線(xiàn)框運(yùn)動(dòng)至任意地址處時(shí)，穿過(guò)線(xiàn)框的磁通量為此設(shè)時(shí)刻t時(shí)，線(xiàn)框左邊距d

17、t導(dǎo)線(xiàn)的距離為，如圖（c）所示，明顯是時(shí)間t的函數(shù)，且有（）后，再令d，即可得線(xiàn)框在題目所給地址處的電動(dòng)勢(shì)解1依據(jù)分析，線(xiàn)框中的電動(dòng)勢(shì)為ddtv在求得線(xiàn)框在任意地址處的電動(dòng)勢(shì)EEEefEhgvBdlvBdlefhg0Ivl20Ivl2dl2ddll102d0IvI1I202dl1由EefEhg可知，線(xiàn)框中的電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閑fgh解2設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫€(xiàn)框回路的正向依據(jù)分析，在任意地址處，穿過(guò)線(xiàn)框的磁通量為l10Il2dx0Il2lnl102x2x相應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為dIll1E0v2dt2l1令d，得線(xiàn)框在圖示地址處的電動(dòng)勢(shì)為IllE0v212ddl1由E0可知，線(xiàn)框中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?815有一長(zhǎng)為

18、l，寬為b的矩形導(dǎo)線(xiàn)框架，其質(zhì)量為m，電阻為R在t0時(shí)，框架從距水平面y0的上方h處由靜止自由著落，以以下圖磁場(chǎng)的分布為：在y0的水平面上方?jīng)]有磁場(chǎng)；在y0的水平面下方有磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，B的方向垂直紙面向里已知框架在時(shí)刻t1和t2的地址如圖中所示求在下述時(shí)間內(nèi)，框架的速度與時(shí)間的關(guān)系：（1）t1t0，即框架進(jìn)入磁場(chǎng)前；（2）t2tt1，即框架進(jìn)入磁場(chǎng)，但還沒(méi)有所有進(jìn)入磁場(chǎng)；（3）tt2，即框架所有進(jìn)入磁場(chǎng)后分析設(shè)線(xiàn)框剛進(jìn)入磁場(chǎng)（t1時(shí)刻）和所有進(jìn)入磁場(chǎng)（t2時(shí)刻）的瞬時(shí)，其速度分別為v10和v20在狀況（1）和（3）中，線(xiàn)框中無(wú)感覺(jué)電流，線(xiàn)框僅在重力作用下作落體運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系

19、分別為vgt（tt1）和vv20g（tt2）（tt2）而在t1tt2這段時(shí)間內(nèi)，線(xiàn)框運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，因?yàn)榇┻^(guò)線(xiàn)框回路的磁通量變化，使得回路中有感覺(jué)電流存在，從而使線(xiàn)框除受重力外，還遇到一個(gè)向上的安培力FA，其大小與速度相關(guān)，即dFAFA(v)依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，此時(shí)線(xiàn)框的運(yùn)動(dòng)微分方程為mgFAvmv，解此微分方程可得t1tt2dt時(shí)間內(nèi)線(xiàn)框的速度與時(shí)間的關(guān)系式解（1）依據(jù)分析，在tt1時(shí)間內(nèi)，線(xiàn)框?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，于是v1gttt1此中tt1時(shí)，v1v102gh（2）線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)后，遇到向上的安培力為B2l2FAIlBvR依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得線(xiàn)框運(yùn)動(dòng)的微分方程B2l2dmgvmvRdtB2l2令K

20、，整理上式并分別變量積分，有mRv10dvtgKvdtt1積分后將v102gh代入，可得v21ggK2gheKtt1K（3）線(xiàn)框所有進(jìn)入磁場(chǎng)后（tt2），作初速為v20的落體運(yùn)動(dòng)，故有v3v20gtt21ggK2gheKt2t1gtt2K816有一磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，以恒定的變化率dBm的銅，拉成截面半徑為r的在變化把一塊質(zhì)量為dt導(dǎo)線(xiàn)，并用它做成一個(gè)半徑為R的圓形回路圓形回路的平面與磁感強(qiáng)度B垂直試證：這回路中的感覺(jué)電流為ImdB4ddt式中為銅的電阻率，d為銅的密度解圓形回路導(dǎo)線(xiàn)長(zhǎng)為2R，導(dǎo)線(xiàn)截面積為r2，其電阻R為Rl2RSr2在均勻磁場(chǎng)中，穿過(guò)該回路的磁通量為BS，由法拉第電磁感覺(jué)

21、定律可得回路中的感覺(jué)電流為IE1d1R2dBRr2dBRRdtRdt2dt而md2Rr2，即2m，代入上式可得Rr2dmdBI4ddt817半徑為R2.0cm的無(wú)窮長(zhǎng)直載流密繞螺線(xiàn)管，管內(nèi)磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng)，管外磁場(chǎng)可近似看作零若通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B隨時(shí)間的變化率dB為常量，且為正當(dāng)，試求：（1）管內(nèi)外由磁場(chǎng)dt變化激發(fā)的感生電場(chǎng)分布；（2）如dB0.010Ts1，求距螺線(xiàn)管中心軸r50cm處感生電場(chǎng)的大小和方dt向分析變化磁場(chǎng)可以在空間激發(fā)感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)的空間分布與場(chǎng)源變化的磁場(chǎng)（包含磁場(chǎng)的空間分布以及磁場(chǎng)的變化率dB等）親近相關(guān)，即EkdlBdS.在一般狀況下，求解感生電場(chǎng)

22、的分布是困難dtSSt的但對(duì)于本題這類(lèi)特別狀況，則可以利用處的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解可以假想，無(wú)窮長(zhǎng)直螺線(xiàn)管內(nèi)磁場(chǎng)擁有柱對(duì)稱(chēng)性，其橫截面的磁場(chǎng)分布以以下圖由其激發(fā)的感生電場(chǎng)也必定有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，考慮到感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)為閉合曲線(xiàn)，因此本題中感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)必定是一系列以螺線(xiàn)管中心軸為圓心的齊心圓同一圓周上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度Ek的大小相等，方向沿圓周的切線(xiàn)方向圖中虛線(xiàn)表示rR和rR兩個(gè)地域的電場(chǎng)線(xiàn)電場(chǎng)線(xiàn)繞向取決于磁場(chǎng)的變化狀況，由楞次定律可知，當(dāng)dBB方向滿(mǎn)足右螺旋關(guān)系；當(dāng)dBd0時(shí)，電場(chǎng)線(xiàn)繞向與0時(shí)，電場(chǎng)tdt線(xiàn)繞向與前者相反解以以下圖，分別在rR和rR的兩個(gè)地域內(nèi)任取一電場(chǎng)線(xiàn)為閉合回路l（半徑為r的圓），

23、依照右手定則，不如設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛颍?）rR，EEkdlEk2rdBdSr2dBldtdtEkrdB2dtrR，Ed2dd2dBEklEkrBSRldtdtEkR2dB2rdtdB因?yàn)?，故電場(chǎng)線(xiàn)的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針dt（2）因?yàn)閞R，所求點(diǎn)在螺線(xiàn)管外，所以EkR2dB2rdt將r、R、dB的數(shù)值代入，可得E4.0105Vm1，式中負(fù)號(hào)表示Ek的方向是逆時(shí)針的kdt818在半徑為R的圓柱形空間中存在著均勻磁場(chǎng)，B的方向與柱的軸線(xiàn)平行如圖（）所示，有一長(zhǎng)為l的金屬棒放在磁場(chǎng)中，設(shè)B隨時(shí)間的變化率dB為常量試證：棒上感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)的大小為dt分析變化磁場(chǎng)在其四周激發(fā)感生電場(chǎng)，把導(dǎo)體置于感生電場(chǎng)中，導(dǎo)體

24、中的自由電子就會(huì)在電場(chǎng)力的作用下移動(dòng)，在棒內(nèi)兩端形成正負(fù)電荷的累積，從而產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)因?yàn)楸绢}的感生電場(chǎng)分布與上題所述狀況完整相同，故可利用上題結(jié)果，由EEkdl計(jì)算棒上感生電動(dòng)勢(shì)其余，還可連接OP、OQ，假想PQOP構(gòu)成一個(gè)l閉合導(dǎo)體回路，用法拉第電磁感覺(jué)定律求解，因?yàn)镺P、OQ沿半徑方向，與經(jīng)過(guò)該處的感生電場(chǎng)強(qiáng)度Ek到處垂直，故Ekdl0，OP、OQ兩段均無(wú)電動(dòng)勢(shì)，這樣，由法拉第電磁感覺(jué)定律求出的閉合回路的總電動(dòng)勢(shì)，就是導(dǎo)體棒PQ上的電動(dòng)勢(shì)證1由法拉第電磁感覺(jué)定律，有2EPQEdSdBdBlR2ldtdtdt22證2由題17可知，在rR地域，感生電場(chǎng)強(qiáng)度的大小EkrdB2dt設(shè)PQ上線(xiàn)元x

25、處，Ek的方向如圖（b）所示，則金屬桿PQ上的電動(dòng)勢(shì)為lrdBR22EPQEkdxl/2Ekcosdxdx02dtrdBlR2l/22dt2談?wù)摷偃缃饘侔鬚Q有一段在圓外，則圓外一段導(dǎo)體上有無(wú)電動(dòng)勢(shì)？該如何求解？819截面積為長(zhǎng)方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（）所示，共有N匝（圖中僅畫(huà)出少許幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L分析憂(yōu)如電容相同，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自己性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）相關(guān)的量求自感L的方法有兩種：1設(shè)有電流I經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈，計(jì)算磁場(chǎng)穿過(guò)自己回路的總磁通量，再用公式L計(jì)算L2讓回路中通I以變化率已知的電流，測(cè)出回路中的感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)EL計(jì)算L式中EL和dIEL，由公式L都較簡(jiǎn)單

26、經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)dI/dtdt測(cè)定，所以此方法一般合適于工程中其余，還可經(jīng)過(guò)計(jì)算能量的方法求解解用方法1求解，設(shè)有電流I經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈，線(xiàn)圈回路呈長(zhǎng)方形，如圖（）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1rR2范圍內(nèi)的磁場(chǎng)分布為NIB02x因?yàn)榫€(xiàn)圈由N匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過(guò)自己回路的磁鏈為NBdSNR20NIhdx0N2hIlnR2SR12x2R1則L0N2hlnR2I2R1若管中充滿(mǎn)均勻同種磁介質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率為rr，則自感將增大倍820以以下圖，螺線(xiàn)管的管心是兩個(gè)套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1和S2，磁導(dǎo)率分別為1和2，管長(zhǎng)為l，匝數(shù)為N，求螺線(xiàn)管的自感（設(shè)管的截面很?。┓治霰绢}求解時(shí)應(yīng)注意磁介質(zhì)的

27、存在對(duì)磁場(chǎng)的影響在無(wú)介質(zhì)時(shí)，通電螺線(xiàn)管內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的，磁感強(qiáng)度為B0，因?yàn)榇沤橘|(zhì)的存在，在不一樣磁介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為B和B0經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈橫截面的總磁通量是截面積分102別為S1和S2的兩部分磁通量之和由自感的定義可解得結(jié)果解設(shè)有電流I經(jīng)過(guò)螺線(xiàn)管，則管中兩介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為B1nl1N1I,B2nl2N2ILL經(jīng)過(guò)N匝回路的磁鏈為NBSNBS121122則自感2LL1N1S12S2L2Il821有兩根半徑均為a的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)，它們中心距離為d試求長(zhǎng)為l的一對(duì)導(dǎo)線(xiàn)的自感（導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部的磁通量可略去不計(jì)）分析兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)可以看作無(wú)窮長(zhǎng)但寬為d的矩形回路的一部分設(shè)在矩形回路中通有逆時(shí)針?lè)较螂娏鱅，然后

28、計(jì)算圖中暗影部分（寬為d、長(zhǎng)為l）的磁通量該地域內(nèi)磁場(chǎng)可以看作兩無(wú)窮長(zhǎng)直載流導(dǎo)線(xiàn)分別在該地域產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加解在以以下圖的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線(xiàn)中通有圖示的電流I時(shí)，兩平行導(dǎo)線(xiàn)間的磁感強(qiáng)度為0I0IB2dr2r穿過(guò)圖中暗影部分的磁通量為BdSda0llndaBldrSaa則長(zhǎng)為l的一對(duì)導(dǎo)線(xiàn)的自感為L(zhǎng)0llndaIa如導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部磁通量不可以忽視，則一對(duì)導(dǎo)線(xiàn)的自感為L(zhǎng)L12L2L1稱(chēng)為外自感，即本題已求出的L，L2稱(chēng)為一l根導(dǎo)線(xiàn)的內(nèi)自感長(zhǎng)為l的導(dǎo)線(xiàn)的內(nèi)自感L20，有興趣的讀者可自行求解8822以以下圖，在一柱形紙筒上繞有兩組相同線(xiàn)圈AB和AB，每個(gè)線(xiàn)圈的自感均為L(zhǎng)，求：（1）A和A相接時(shí)，B和B間的自感L

29、1；（2）A和B相接時(shí)，A和B間的自感L2分析無(wú)論線(xiàn)圈AB和AB作哪一種方式連接，均可看作一個(gè)大線(xiàn)圈回路的兩個(gè)部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解求解過(guò)程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線(xiàn)圈單獨(dú)存在時(shí)穿過(guò)自己回路的磁通量為，則穿過(guò)兩線(xiàn)圈回路的磁通量為2；而當(dāng)兩組線(xiàn)圈按（1）或（2）方式連接后，則穿過(guò)大線(xiàn)圈回路的總磁通量為22，“”取決于電流在兩組線(xiàn)圈中的流向是相同或是相反解（1）當(dāng)A和A連接時(shí)，AB和AB線(xiàn)圈中電流流向相反，經(jīng)過(guò)回路的磁通量亦相反，故總通量為1220，故L10（2）當(dāng)A和B連接時(shí)，AB和AB線(xiàn)圈中電流流向相同，經(jīng)過(guò)回路的磁通量亦相同，故總通量為2224，故L22I44LI

30、本題結(jié)果在工程實(shí)質(zhì)中有適意圖義，如按題（1）方式連接，則可構(gòu)造出一個(gè)無(wú)自感的線(xiàn)圈823以以下圖，一面積為4.0cm2共50匝的小圓形線(xiàn)圈A，放在半徑為20cm共100匝的大圓形線(xiàn)圈B的正中央，此兩線(xiàn)圈齊心且同平面設(shè)線(xiàn)圈A內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的求：（1）兩線(xiàn)圈的互感；（2）當(dāng)線(xiàn)圈B中電流的變化率為50A1時(shí)，線(xiàn)圈A中感覺(jué)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向分析設(shè)回路中通有電流I1，穿過(guò)回路的磁通量為21，則互感MM2121I1；也可設(shè)回路通有電流I2，穿過(guò)回路的磁通量為1212，則MM12I2固然兩種門(mén)路所得結(jié)果相同，但在很多狀況下，不一樣門(mén)路所涉及的計(jì)算難易程度會(huì)有很大的不一樣以本題為例，如設(shè)線(xiàn)圈B中有

31、電流均勻的，因此穿過(guò)線(xiàn)圈算，因此穿過(guò)線(xiàn)圈BI經(jīng)過(guò)，則在線(xiàn)圈A中心處的磁感強(qiáng)度很易求得，因?yàn)榫€(xiàn)圈A很小，其所在處的磁場(chǎng)可視為A的磁通量BS反之，如設(shè)線(xiàn)圈A通有電流I，其四周的磁場(chǎng)分布是變化的，且難以計(jì)的磁通量也就很難求得，因而可知，計(jì)算互感必定要擅長(zhǎng)選擇方便的門(mén)路解（1）設(shè)線(xiàn)圈B有電流I經(jīng)過(guò)，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B0NBI02R穿過(guò)小線(xiàn)圈A的磁鏈近似為IANAB0SANANB0SA2R則兩線(xiàn)圈的互感為ANANB0SA6.28106HM2RI（2）EAMdI3.14104Vdt互感電動(dòng)勢(shì)的方向和線(xiàn)圈B中的電流方向相同824以以下圖，兩同軸單匝線(xiàn)圈A、C的半徑分別為R和r，兩線(xiàn)圈相距為d若r很小

32、，可以為線(xiàn)圈A在線(xiàn)圈C地方產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的求兩線(xiàn)圈的互感若線(xiàn)圈C的匝數(shù)為N匝，則互感又為多少？解設(shè)線(xiàn)圈A中有電流I經(jīng)過(guò)，它在線(xiàn)圈C所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度近似為0IR2Bd23/22R2穿過(guò)線(xiàn)圈C的磁通為BSC0IR2r22d23/22R則兩線(xiàn)圈的互感為M0r2R2I2R2d23/2若線(xiàn)圈C的匝數(shù)為N匝，則互感為上述值的N倍825以以下圖，螺繞環(huán)A中充滿(mǎn)了鐵磁質(zhì)，管的截面積S為2.0cm2，沿環(huán)每厘米繞有100匝線(xiàn)圈，通有電流I14.0102A，在環(huán)上再繞一線(xiàn)圈C，共10匝，其電阻為0.10，今將開(kāi)關(guān)忽然開(kāi)啟，測(cè)得線(xiàn)圈C中的感覺(jué)電荷為2.0103C求：當(dāng)螺繞環(huán)中通有電流I1時(shí)，鐵磁質(zhì)

33、中的B和鐵磁質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率r分析本題與題相似，均是利用沖擊電流計(jì)丈量電磁感覺(jué)現(xiàn)象中經(jīng)過(guò)回路的電荷的方法來(lái)計(jì)算磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度線(xiàn)圈C的磁通變化是與環(huán)形螺線(xiàn)管中的電流變化相聯(lián)系的解當(dāng)螺繞環(huán)中通以電流I1時(shí)，在環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度BnI0r11則經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈C的磁鏈為NBSNnISc220r11設(shè)斷開(kāi)電源過(guò)程中，經(jīng)過(guò)C的感覺(jué)電荷為qC，則有qc11N20rn1I1SRc0cRR由此得B0rn1I1Rqc0.10TN2S相對(duì)磁導(dǎo)率Rqc199rN2S0n1I1826一個(gè)直徑為0.01m，長(zhǎng)為0.10m的長(zhǎng)直密繞螺線(xiàn)管，共1000匝線(xiàn)圈，總電阻為7.76求：（1）如把線(xiàn)圈接到電動(dòng)勢(shì)E2.0V的電池上，電流穩(wěn)固后

34、，線(xiàn)圈中所存儲(chǔ)的磁能有多少？磁能密度是多少？*（2）從接通電路時(shí)算起，要使線(xiàn)圈存儲(chǔ)磁能為最大存儲(chǔ)磁能的一半，需經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？分析單一載流回路所擁有的磁能，平?？捎脙煞N方法計(jì)算：（1）如回路自感為L(zhǎng)（已知或很簡(jiǎn)單求得），則該回路通有電流I時(shí)所存儲(chǔ)的磁能Wm1LI2，平常稱(chēng)為自感磁能（2）因?yàn)檩d流回路可在空間激發(fā)磁場(chǎng)，磁能2實(shí)質(zhì)是存儲(chǔ)于磁場(chǎng)之中，因此載流回路所擁有的能量又可看作磁場(chǎng)能量，即WmwmdV，式中wm為磁場(chǎng)能量V密度，積分遍布磁場(chǎng)存在的空間因?yàn)閣mB2，因此采納這類(lèi)方法時(shí)應(yīng)第一求載流回路在空間產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度2B的分布上述兩種方法還為我們供給了計(jì)算自感的另一種門(mén)路，即運(yùn)用1LI2wmdV求解L2V解（1）密繞長(zhǎng)直螺線(xiàn)管在忽視端部效應(yīng)時(shí)，其自感存儲(chǔ)的磁能為N2S，電流穩(wěn)固后